微积分的创立数学史

1、微积分的创立数学史微积分的创立数学史第1页解析几何是代数与几何相结合产物，它把变量引入数学，使得大家借助于数学对运动改变规律进行定量分析成为可能，同时也为微积分创建奠定了基础。微积分创建是17世纪数学最主要成就之一，也是科学技术发展史上最重大事件之一。微积分的创立数学史第2页牛顿称微积分为“流数术”，这个名称以后逐步被淘汰。莱布尼茨使用了“差计算”与“和计算”。以后，“差计算”变成专门术语“微分学（calculus differentialis）”，而“和计算”变成“积分学（calculus summatorius）”，二者合起来就是微积分（calculus）。微积分的创立数学史第3页在中国，

2、1859年5月10日，上海印刷发行了李善兰和伟烈亚历合译代微积拾级。原书是罗密士解析几何与微积分基础。译名“代”指是解析几何（原译名为代数几何，解析几何为日文译名），“微”指微分，“积”指积分。Cululus译作“微积”。李善兰序中说：“是书先代数，次微分，由易而难，若阶级之渐升。”故名“拾级”。这就是中国微积分名称起源。把calculcus译成“微积分”，可能是依数书记遗“不辩积微之为量，讵晓百忆于大千”句，取“积微成著”之义，译名反应了李善兰对概念科学内容深刻了解，并表现了汉学高深造诣。微积分的创立数学史第4页微积分产生背景实际上，“无限细分，无限求和”微积分思想，在古代西方和中国早就已经

3、开始萌芽。两千多年以前古希腊时代，地中海沿岸奴隶们在繁重生产劳动中，早就认识到搬运重东西时利用滚动要比滑动省力，因而在运输中广泛应用装有圆轮和圆轴车子；那时也已经出现了水轮机，利用流水冲力推进水轮转动，水轮又经过齿轮作用带动碾磨。为了精密地制造这些工件，就需要对圆形有准确认识，在深入地研究圆形过程中，出现了“无限细分、无限求和”微积分思想萌芽。微积分的创立数学史第5页微积分产生背景古希腊科学家阿基米德在处理许多实际问题同时，研究了圆周长和面积计算问题，他利用圆内接正多边形和外切正多边形来推算，边数越多，圆和多边形就越靠近。从圆心到多边形顶点半径把多边形分成一个个三角形。也同时把圆分成一个个扇形

4、。多边形边数越多，三角形就越靠近扇形，三角形底边（即多边形一条边）便近似于扇形圆弧；三角形面积便近似于扇形面积；各个三角形底边之和便近似于圆周长；各个三角形面积之和就近似于圆面积，而且伴随边数增多，这种近似就变得越来越准确。微积分的创立数学史第6页微积分产生背景阿基米德从最简单六边形一直做到96边形，得出圆周长和圆直径比值（圆周率）是3(10/71)与3(1/7)之间数。在这个计算工作中，已包含了“无限细分，无限求和”微积分思想，多边形不停增多边数，这就是对于圆周“无限细分”，由许多三角形总和来求圆周长及圆面积，这就是“无限求和”。微积分的创立数学史第7页微积分产生背景我国古代，也早就有了微积

5、分思想萌芽。西汉刘歆在西京杂记中提到“记里车”，东汉张衡制造“浑天仪”，蜀汉诸葛亮使用并改进“木牛流马”，都要设计制造圆形物件，从而产生了魏晋时刘徽提出“割圆术”。他从圆内接正六边形做起，令边数成倍增加，逐步推求圆内接正12边形，正24边形，直到正3072边形，用这个正3076边形面积来迫近圆面积，就得到较准确值3.1416，“割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”这就包含着微积分中“无限细分，无限求和”是思想方法。 微积分的创立数学史第8页微积分产生背景到了16世纪前后，社会生产实践活动进入了一个新时期。开普勒依据长久天文观察资料，总结出行星运动三大定律；伽利

6、略发觉了自由落体运动规律，这个规律可表示成著名公式S=1/2gt2；微积分的创立数学史第9页微积分产生背景笛卡儿关于几何学工作及费马对极值问题研究，尤其是他们关于解析几何工作，开始有了变数概念，并把描述运动函数关系和几何中曲线问题研究统一起来了。微积分的创立数学史第10页微积分产生背景问题1：求自由落体在下落后1秒钟这个时刻瞬时速度？问题2：求一个曲边三角形面积。这两个问题在形式上即使很不相同，但处理这些问题基础思想却是一样。前者属于微分学问题，后者属于积分学问题。用微积分处理问题基础思想是先在局部“以不变代变”或“以直代曲”，求得所求量近似值，然后在无限改变过程中实现近似转化为准确。微积分的

7、创立数学史第11页先驱们探索17世纪以前，人类关于数学知识基础上还停留在初等数学水平上，即常量数学阶段。从17世纪中叶到18世纪末，欧洲工业革命兴起，广泛地采取了机器，为了设计和制造机器，就需要掌握机械运动规律；水运改进要求了解物体在液体中运动规律；船只稳定性研究促进了质点力学发展；为了适应对外扩张和争霸需要，战争中广泛使用枪炮，这就要研究抛射体运动，全部这些生产和技术中出现问题迫切要求力学、天文学等基础学科发展，但这些学科都是离不开数学，因而也就推进了数学发展。微积分的创立数学史第12页先驱们探索17世纪上半叶，伴随函数观念建立和对机械运动规律探求，许多实际问题摆到了数学家们面前。几乎全部科

8、学大师都把自己注意力集中到寻求处理这些难题新数学工具上来。他们在处理问题过程中，逐步形成了微积分学一些基础方法，这些问题能够分为以下四类：微积分的创立数学史第13页先驱们探索第一类是已知物体移动距离能够表示为时间函数，求物体在任意时刻速度和加速度；反之，已知物体加速度表示为时间函数，求速度和距离。第二类是求曲线切线。第三类是求函数最大值与最小值，比如抛射体取得最大射程时发射角，行星离开太阳最远和最近距离等问题，这方面工作是由开普勒观察开始。第四类是求曲线长、曲线围成面积、曲面围成体积、物体重心以及一个体积相当大物体（比如行星）作用与另一个物体上引力等。微积分的创立数学史第14页科学巨人牛顿牛顿

9、（Isaac Newton，16421727）诞生于英格兰林肯郡小镇乌尔斯索普一个农民家庭。在他出生之前，他父亲已逝世。3年后，他母亲迫于贫苦再嫁给一位牧师，把牛顿留给祖母抚养。8年之后，牧师病故，牛顿母亲带着和后夫所生一子二女又回到乌尔斯普。牛顿自幼缄默寡言，性格倔强，这种习性可能来自他家庭处境。微积分的创立数学史第15页科学巨人牛顿牛顿12岁时才进入离家不远格兰瑟姆中学学习。牛顿母亲原希望他成为一个农民，赡养家庭，但牛顿本人却酷爱读书，以至经常忘了干活。伴随年岁增大，牛顿越发兴趣读书，喜欢沉思，做科学小试验。他在格兰瑟姆中学读书时，曾寄寓在一位药剂师家里，使他受到化学试验熏陶。牛顿在中课时

10、代学习成绩并不出众，只是兴趣读书，对自然现象有好奇心，比如颜色、日影四季移动，尤好几何学、哥白尼日心说等等。他还分门别类地记读书心得笔记，又喜欢别出心裁地做些小工具、小技巧、小创造、小试验。微积分的创立数学史第16页科学巨人牛顿当初英国社会渗透基督教新教思想，牛顿家里有两位都以神父为职业亲戚，这可能影响牛顿晚年宗教生活。从这些平凡环境和活动中，看不出幼年牛顿是一个才能出众异于常人儿童。然而格兰瑟姆中学校长J.斯托克斯，还有牛顿一位当神父叔父W.艾斯库别具慧眼，勉励牛顿上大学读书。在他们勉励下，牛顿于1661年以减费生身份进入剑桥大学三一学院，1664年成为奖学金取得者，1665年获学士学位。微

11、积分的创立数学史第17页科学巨人牛顿17世纪中叶，剑桥大学教育制度还渗透着浓厚中世纪经院哲学气味。当牛顿进入剑桥大课时，那里还在传授一些经院式课程，如逻辑、古文、语法、古代史、神学等等。 微积分的创立数学史第18页科学巨人牛顿两年之后三一学院出现了新气象。H.卢卡斯创设了一个独辟蹊径讲座，要求讲授自然科学知识如地理、物理、天文和数学课程。讲座第一任教授就是巴罗。在巴罗指导下，牛顿掌握了算术、三角，学习了欧几里得几何原本。并阅读了开普勒光学、笛卡儿几何学和哲学原理、伽利略关于托勒密和哥白尼两大世界体系对话、R.胡克显微图集和华莱士无穷算术等著作，尤其是笛卡儿几何学和华莱士无穷算术对他数学思想形成

12、尤为主要。微积分的创立数学史第19页科学巨人牛顿1665年8月，剑桥大学因为瘟疫流行而停课放假，牛顿回到故乡乌尔斯索普，在故乡躲避瘟疫这两年间，牛顿思索了自然科学领域中一些前人从未思索过问题，踏进前人没有包括领域，创建了前所未有惊人业绩。微积分的创立数学史第20页科学巨人牛顿1665年初他创建了级数近似法以及把任何幂二项式化为一个级数规则。同年11月，创建了正流数法（微分）；第二年1月，研究颜色理论；5月，开始研究反流数法（积分）。这一年内，牛顿还开始研究重力问题，并试图把重力理论推广到月球运行轨道上去。他还从开普勒定理中推导出使行星保持在他们轨道上力必定于它们到旋转中心距离平方成反比。微积分

13、的创立数学史第21页科学巨人牛顿牛顿见苹果落地而悟出地球引力传说，说也是在此时发生轶事。总之，在故乡居住这两年中，是牛顿科学生涯黄金岁月，他一生中许多重大科学思想和创造都是在这短短两年期间孕育、萌发和形成。牛顿自然哲学数学原理发表300周年纪念邮票。微积分的创立数学史第22页科学巨人牛顿1667年牛顿重返剑桥大学，10月1日被选为三一学院仲院侣，第二年3月16日选为正院侣。巴罗对牛顿才华非常赏识，1669年10月27日巴罗便让年仅26岁牛顿接替他担任卢卡斯讲座教授。1672年起他被接纳为皇家学会会员，1703年被选为皇家学会主席直到逝世。剑桥大学三一学院教堂内牛顿塑像 微积分的创立数学史第23

14、页科学巨人牛顿牛顿在写作自然哲学之数学原理之后，厌倦了大学教授生活，他得到在大学学生时代认识一位贵族后代C.蒙塔古帮助，于1696年谋得造币厂监督职位，1699年升任厂长，1701年辞去剑桥大学工作。当初英国币制混乱，牛顿利用他冶金知识，制造新币。因改革币制有功，1705年受封为爵士。晚年研究宗教，著有圣经里两大错讹历史考证等文。牛顿于1727年3月31日在伦敦郊区肯辛顿寓中逝世，以国葬礼葬于伦敦威斯敏斯特教堂。微积分的创立数学史第24页科学巨人牛顿牛顿关于微积分问题研究起始于1664年秋，当初他认真研究了笛卡儿几何学，对笛卡儿求曲线切线方法产生了浓厚兴趣并试图寻找更加好、更普通方法。1666

15、年10月，牛顿写出了第一篇关于微积分论文流数短论，在该文中首次提出流数概念，所谓流数就是速度，在变速运动中速度旅程对时间微商。至于速度改变情况就要用速度微商来反应，即加速度是速度微商。微积分的创立数学史第25页科学巨人牛顿1669年，牛顿又完成了关于微积分第二篇论文利用无穷多项方程分析学。牛顿在这里不但给出了求一个变量对于另一个变量瞬时改变率普通方法，而且还证实了面积能够由改变率逆过程得到。这一事实实际上已经初步给出了微积分基础定理。不过也能够显著看出，牛顿在这里回避了运动改变观点而将无限小增量“瞬”看作是静止无限小量，并在一些情况下直接令其为0，这就带有了浓厚不可分量色彩。微积分的创立数学史

16、第26页科学巨人牛顿1671年，牛顿关于微积分第3本论著流数术和无穷级数写成（1736年出版）。在这部著作中，他恢复了在流数短论中采取运动观点。对以物体运动为背景提出流数概念作了深入叙述，并清楚地称述了流数术所提出中心问题是：已知流量间关系，求流数关系（即微分法）；已知表示量流数间关系方程，求流量间关系（即积分法）。微积分的创立数学史第27页科学巨人牛顿1676年，牛顿完成了他第4篇论文曲线求积论（1704年发表），这是他最成熟一部微积分论著。在这部著作中，他改变了过去那种“略去全部含瞬项”做法，认为“数学量不是由非常小个别组成，而是用连续运动来描述。”为此他引入了最初比和最终比概念，并借助于

17、几何解释把流数了解为增量消逝时最终比。 微积分的创立数学史第28页科学巨人牛顿牛顿流数术，除了他少数几个朋友之外，长久没有些人知道，上述论著也都是在写出很长一段时间后才正式发表。牛顿微积分学说最早公开表述是在1687年出版巨著自然哲学之数学原理中，这本书也是在他朋友哈雷勉励和敦促下出版，这是他一生主要工作总结，也是科学史上一件大事。微积分的创立数学史第29页科学巨人牛顿微积分的创立数学史第30页科学巨人牛顿在这部著作中，牛顿以几何语言介绍了他“首末比喻法”，并对此作出解释：“量在其中消逝发最终比，严格地说，不是最终量比，而是无限降低这些量比所趋近极限。它与这个极限即使比任何给出差更小，但这些量

18、在无限缩小以前既不能超出也不能到达这个极限。”表现出牛顿曾经试图以极限方式作为微积分基础强烈倾向。但牛顿并没有完全放弃无穷小观念，他在创导首末比同时也保留了无限小瞬即不可分量思想，尽管这种做法被有些人认为是自相矛盾，但客观上也反应了牛顿曾试图对微积分基础给出不一样解释，这正表明了他对怎样建立严格微积分基础进行了慎重思索。微积分的创立数学史第31页科学巨人牛顿除了对微积分主要贡献之外，牛顿还在函数理论、无穷级数、微分方程、变分法、代数和解析几何等领域都有出色贡献。许多人对他由衷敬仰，连与他同时代莱布尼茨也对牛顿倍加赞誉：“在从世界开始到牛顿生活年代全部数学中，牛顿工作超出了二分之一。”拉格朗日更

19、不是不吝言辞地说道：“他是历史上最有才能人，也是最幸运人因为这个宇宙体系只能被发觉一次。”连诗人蒲普在诗中说：“宇宙和自然规律隐藏在黑夜里，神说：让牛顿降生吧！一切都会是光明。”微积分的创立数学史第32页科学巨人牛顿然而就这么一位科学巨人，却是十分谦虚，他曾经说过：“我不知道世人把我看成什么样人。不过，对于我自己来说，就像一个在海边玩耍孩子，有时找到一块比较平滑或格外漂亮贝壳，感到高兴，而在我面前却是完全没有被发觉真理海洋。”并称：“假如我比他人看得更远，那只是因为我站在了巨人肩上。” 微积分的创立数学史第33页科学巨人牛顿1727年牛顿逝世，被葬于伦敦威斯特敏斯特大教堂，葬仪十分盛大。正如法

20、国文学家伏尔泰所说：“我曾见过一位数学教授，只是因为他贡献非凡，死后葬仪之显赫如同一位贤君。”微积分的创立数学史第34页多才多艺数学大师莱布尼茨与牛顿分享微积分创建荣誉德国数学家莱布尼茨（Gottfrid Wilhelm Leibniz，16461716）出生与德国莱比锡，是微积分另一个奠基者，他学识包含哲学、历史、生物学、机械、物理、数学、神学等等。微积分的创立数学史第35页多才多艺数学大师莱布尼茨莱布尼茨于1661年（15岁）考入莱比锡大学学习法律，同时努力学好各门功课。那时德国大学水平是很低，欧几里得几何学老师讲解含糊不清，除了莱布尼茨外，便没有些人能听懂。高等数学是完全没有。1666年

21、莱布尼茨发表了一篇关于数理逻辑论文，即使是极不成熟作品，但已显示出他数学才能。微积分的创立数学史第36页多才多艺数学大师莱布尼茨1672年，他在巴黎见到了惠更斯，在惠更斯勉励下，开始深入研究数学，在1673年访问伦敦时，他会见了许多数学家，学到了不少关于无穷级数知识，取得了一本巴罗几何讲义，还知道了牛顿一些工作。回巴黎后，他研究了卡瓦列利、伽利略、帕斯卡、笛卡儿等人数学著作。他在求积问题研究中第一批结果之一是求出一个单位圆面积是无穷级数1-1/3+1/5-1/7+四倍，即5/=1-1/3+1/5-1/7+。微积分的创立数学史第37页多才多艺数学大师莱布尼茨在他以后研究中，主要以后研究中，主要致

22、力于切线问题以及求积问题，并依据巴罗“微分三角形”，终于在1684年（牛顿自然哲学之数学原理出版前3年）发表了他第一篇微分学论文，这是世界上最早微积分文件。这篇论文有一个很长而古怪标题：“一个求极大极小和切线新方法，它也适合用于分式和无理量，以及这种新方法奇妙类型计算。”微积分的创立数学史第38页多才多艺数学大师莱布尼茨微积分的创立数学史第39页多才多艺数学大师莱布尼茨这篇仅6页纸、内容并不丰富、说理也颇为含混文章，却含有划时代意义。它已含有当代微积分符号和基础微分法则：dax=adx；d(z-y+w+x)=dz-dy+dw+dx；duv=udv+vdu。导数记作dx:dy，在1675年手稿中

23、记作dx/dy，1676年记作dy/dx，以后在1693年另一篇论文中用ddx:dy2表示2阶导数。1684年论文还给出极值条件是dy=0，拐点条件是d2y=0。微积分的创立数学史第40页多才多艺数学大师莱布尼茨莱布尼茨断定一个事实：作为求和过程积分是微分逆。这种想法已出现在巴罗和牛顿著作中，他们用反微分求得面积，但莱布尼茨是第一次表示出求和与微分之间关系。这一关系当代表述就是众所周知牛顿-莱布尼茨公式：设f(x)是a,b上连续，且当xa,b时，F(x)=f(x)，则 f(x)dx=F(b)-F(a)。这一结论出现在莱布尼茨1677年一篇手稿中。 微积分的创立数学史第41页多才多艺数学大师莱布

24、尼茨1686年，莱布尼茨在学艺上发表了题为深奥几何不可分量及无限分析第一篇积分学论文。在这篇论文中，他初步叙述了求积（积分）问题与切线（微分）问题互逆关系。莱布尼茨还是历史上最大符号学者之一。他所创设微积分符号，远远优于牛顿符号，这对微积分发展有极大影响。他煞费苦心地研究，要把记号选得最好。当然，他dx,dy和dx /dy依然是标准。 微积分的创立数学史第42页多才多艺数学大师莱布尼茨莱布尼茨在数学方面成就是巨大，他研究及结果渗透到高等数学许多领域。他一系列主要数学理论提出，为以后数学理论奠定了基础。莱布尼茨曾讨论过负数和复数性质，得出复数对数并不存在，共轭复数和是实数等结论。在以后研究中，莱

25、布尼茨证实了自己结论是正确。他还对线形方程组进行研究，对消元法从理论上进行了探讨，并首先引入了行列式概念，提出行列式一些理论。微积分的创立数学史第43页多才多艺数学大师莱布尼茨另外，莱布尼茨还创建了符号逻辑学基础概念。1673年莱布尼茨特地到巴黎去制造了一个能进行加、减、乘除及开方运算计算机。这是继帕斯卡加法机后，计算工具又一进步。他还系统地阐述了二进制记数法，并把它和中国八卦联络起来，为计算机当代发展奠定了坚实基础。微积分的创立数学史第44页多才多艺数学大师莱布尼茨莱布尼茨物理学成就也是非凡。在光学方面，莱布尼茨也有所建树。另外，莱布尼茨对中国科学、文化和哲学思想十分关注，他是最早研究中国文化和中国哲学德国人。