matlab人口预测和数据曲线拟合市公开课金奖市赛课一等奖课件

1、Mathematics Laboratory阮小娥博士Experiments in Mathematics赵小艳数学试验办公地址：理科楼214第1页试验13 人口预测与数据拟合2、了解利用最小二乘法进行数据拟合基本思想，掌握用数据拟正当寻找最正确拟合曲线方法。3、了解多元函数极值在数据拟正当中应用。实验目1、学会用MATLAB软件进行数据拟合。4、经过对实际问题进行分析研究，初步掌握建立数据拟合数学模型方法。第2页据人口统计年鉴，知我国从1949年至1994年人口数据资料以下： (人口数单位为：百万)（1）在直角坐标系上作出人口数图象。（2）建立人口数与年份函数关系，并估算1999年人口数。试

2、验问题年份19491954 1959 1964 1969人口数 541.67602.66 672.09 704.99 806.71 年份 1974 1979 1984 1989 1994人口数 908.59 975.42 1034.751106.761176.74 第3页怎样确定a,b?线性模型第4页1 曲线拟合问题提法: 已知一组（二维）数据，即平面上n个点),(iiyx， ixni,2,1L=互不相同，寻求一个函数（曲线）)(xfy=，使)(xf在观察点x处所取得值f(x)分别与观察值y在某种 xy0+一、曲线拟合准则下最为靠近，即曲线拟合得最好，如图第5页从几何上讲，并不要求曲线严格经过

3、已知点，但要求曲线在各数据点和已知数据点之间总体误差最小，通常称为数据拟合。到达最小。 最小二乘准则 而我们经常是确定f(x)使得偏差平方和第6页数据插值已知一组（二维）数据，即平面上n个点),(iiyx， ixni,2,1L=互不相同，寻求一个函数（曲线）)(xfy= 数据插值第7页. 用什么样曲线拟合已知数据?惯用曲线函数系ri(x)类型：）画图观察）理论分析指数曲线： 双曲线（一支): 多项式： 直线： 第8页比如指数函数拟合三角函数拟合多项式拟合第9页 拟合函数组中系数确定第10页4 用matlab软件进行数据拟合（1）lsqcurvefit命令最小二乘拟合a= lsqcurvefit

4、(fun,x0,xdata,ydata)a,resnorm=lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata) 是依据给定数据xdata,ydata，按照函数文件fun给定函数，以x0为初值做最小二乘拟合，返回函数中系数向量a和残差平方和resnorm。第11页例首先编写函数文件function y=f(a,x)f=a(1)*exp(x)+a(2)*x.2+a(3)*x.3保留为f.m，其次调用该函数x=0:0.1:1;y=3.1,3.27,3.81,4.5,5.18,6,7.05,8.56,9.69,11.25,13.17;a0=0 0 0;x,resnorm=lsqcurvef

5、it(f,a0,x,y)第12页也能够用inline命令定义函数x=0:0.1:1;y=3.1,3.27,3.81,4.5,5.18,6,7.05,8.56,9.69,11.25,13.17;f=inline(a(1)*exp(x)+a(2)*x.2+a(3)*x.3,a,x);a0=0 0 0;a,resnorm=lsqcurvefit(f,a0,x,y)plot(x,y,*)hold ong=a(1)*exp(x)+a(2)*x.2+a(3)*x.3;plot(x,g,r-)第13页 a = polyfit(xdata,ydata,n)其中n表示多项式最高阶数 xdata，ydata 为要

6、拟合数据，它是用向量方式输入。输出参数a为拟合多项式 y = anxn + + a1x + a0系数a = an, , a1, a0。多项式在x处值y可用下面程序计算。 y = polyval (a, x) 因为高次多项式曲线改变不稳定，所以多项式次数选取不宜过高。(2) polyfit命令多项式曲线拟合第14页比如clear;clc;x=0:0.1:1;y=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66,9.56,9.48,9.3,11.2;plot(x,y,k.,markersize,25);axis(0 1.3 -2 16);p3=polyfit(x,y,3)

7、p6=polyfit(x,y,6)t=0:0.01:1.2;s=polyval(p3,t);s1=polyval(p6,t);hold onplot(t,s,r-,linewidth,2);plot(t,s1,b-,linewidth,2);grid第15页第16页编写程序调用matlab命令x=1949:5:1994;y=541.67,602.66,672.09,704.99,806.71,908.59,975.42,1034.75,1106.76,1176.74;plot(x,y,r*,linewidth,2)gridf=inline(a(1)+a(2)*x,a,x);a0=0 5;a,r

8、esnorm=lsqcurvefit(f,a0,x,y)hold ong=a(1)+a(2)*x;plot(x,g,b-,linewidth,2)二、人口预测线性模型第17页或者调用M函数function f=nihe(a,x)f=a(1)+a(2)*x;保留成nihe.m,在新窗口编写程序x=1949:5:1994;y=541.67,602.66,672.09,704.99,806.71,908.59,975.42,1034.75,1106.76,1176.74;a0=10 10;a,resnorm=lsqcurvefit(nihe,a0,x,y)注意：该命令与初值相关系。第18页也能够直接

9、编写程序以下：clc;clf;x=1949:5:1994;y=541.67,602.66,672.09,704.99,806.71,908.59,975.42,1034.75,1106.76,1176.74;plot(x,y,r*,linewidth,2)grida11=10;a12=sum(x);a21=a12;a22=sum(x.2);d1=sum(y);d2=sum(x.*y);A=a11,a12;a21,a22;D=d1;d2;ab=inv(A)*Dplot(x,g,b-,linewidth,2)t=1949:5:;g=ab(1)+ab(2)*t;hold onplot(t,g,b-,

10、linewidth,2)y=ab(1)+ab(2)*y=ab(1)+ab(2)*y=ab(1)+ab(2)*axis(1945 500 1450)plot(,1295.3,g*,linewidth,2)plot(,1306.28,g*,linewidth,2)plot(,1370.5,g*,linewidth,2)第19页计算得从而得到人口数与年份函数关系为线性预测模型年份预测（百万）1266.61339.11411.7真实值（百万）1295.331306.281370.5并预测2000,2005,年人口第20页仿真结果表明： 线性模型在短期内基本上能比较准确地反应人口自然增加规律，但长久预测

11、误差较大。第21页 英国统计学家Malthus于1798年提出了一个关于生物种群繁殖指数增加模型：假设种群数量增加率与该时刻种群个体数量成正比。三、人口预测Malthus模型基本假设 : 人口(相对)增加率 r 是常数x(t) 时刻t 人口,t=0时人口数为x0指数增加模型实际中，惯用第22页解：取得最小值.其中,表示人口数量。表示年份,解方程组:即得参数值.使得问题转化为求参数第23页计算得从而得到人口数与年份函数关系为指数预测模型年份预测（百万）1363.6 1488.8 1625.4真实值（百万）1295.331306.281370.5并预测2000,2005,年人口第24页仿真结果表明

12、： 人口增加指数模型在较短期内基本上能比较准确地反应人口自然增加规律，但长久预测误差很大。第25页四、人口预测Logistic模型假如人口增加符合Malthus模型，则当人口增加到一定数量后，增加率下降原因：资源、环境等原因对人口增加阻滞作用 1838年，荷兰生物学家Verhulst对Malthus模型作了深入分析后指出：造成上述不符合实际情况主要原因是未能考虑“密度制约”原因。即最终造成地球上人口爆炸，这与实际是不相符。且阻滞作用随人口数量增加而变大r是x减函数第26页假设r固有增加率(x很小时)k人口容量（资源、环境能容纳最大数量）第27页结果显示： Logistic模型在长久预测时基本上

13、能比较准确地反应人口自然增加规律，在2005,年较为吻合。第28页五、人口预测多项式模型仿真结果表明, 人口模型用低阶多项式拟合能比较准确地反应人口自然增加规律，而高阶多项式拟合预测效果很差。青色二次多项式蓝色三次多项式紫红色四次多项式第29页例2: 海底光缆线长度预测模型某一通信企业在一次施工中,需要在水面宽为20m河沟底沿直线走向铺设一条沟底光缆.在铺设光缆之前需要对沟底地形做初B2468101214161820986420ADC探测到一组等分点位置深度数据以下表所表示.25步探测,从而预计所需光缆长度,为工程预算提供依据.基本情况如图所表示.第30页10.9310.809.818.867

14、.957.959.1510.2211.2912.6113.32201918171615141312111013.2812.2611.1810.139.058.027.967.968.969.01深度(m)9876543210分点21个等分点处深度(1) 预测经过这条河沟所需光缆长度近似值.(2) 作出铺设沟底光缆曲线图.第31页解： 用12次多项式函数拟合光缆走势曲线图以下仿真结果表明,拟合曲线能较准确地反应光缆走势图.The length of the label is L= 26.3809 (m)假设所铺设光缆足够柔软,在铺设过程中光缆触地走势光滑,紧贴地面,而且忽略水流对光缆冲击.第32页% prog45.m This program is to fit the data by polynomial %format longt=linspace(0,20,21);x=linspace(0,20,100);P=9.01,8.96,7.96,7.97,8.02,9.05,10.13,11.18,12.26,13.28,13.32,12.61,11.29,10.22,9.15,7.90,7.95,8.86,9.81,10.80,10.93;a,s=polyfit(t,P,12);yy=polyval(a,x);disp(yy=);dis