Pythagoras完全比例的推广研究

1、PAGE PAGE 3Pythagoras完全比例的推广研究（110001 中国医科大学数学教研室 李明 362000 福建省泉州市现代中学 富明远）摘要：运用类比思想试着将Pythagoras完全比例从2元推广至一般的元()，提出了“元平均完全比例”的概念，并运用归纳法对“元平均完全比例”成立的充要条件进行了研究.最后，定义了更一般的“元次幂平均完全比例”，并指出它成立的条件和“元平均完全比例”成立的条件一致.关键词：完全比例 推广 元平均 充要条件 幂平均Absttracct:TTry to exttendd thhe PPythhagoorass peerfeect prooporrti

2、oon ffromm 2vvariiablles to thee geenerral n() vaariaablees byyanaaloggy,aand raiise thee coonceept “n-vvariiablle mmeann peerfeect prooporrtioon ”, tthenn reeaserrh tthe suffficciennt aand neccesssaryy coondiitioon ffor thee hooldiing of thee “n-vaariaablee meean perrfecct ppropportioon ”. Finnalll

3、y, deffinee a mucch mmoreegenneraal cconcceptt “n-vvariiablle aand -poowerr meean perrfecct ppropporttionn”, aand inddicaate thaat tthe conndittionn maakinng iit hholdd iss juust thaat mmakiing thee “n-vvariiablle mmeann peerfeect prooporrtioon” hoold.Keywwordds:pperffectt prropoortiion genneraalizz

4、atiion n-vvariiablle mmeann suuffiicieent andd neecesssarry ccondditiion poowerr meean一、问题题的提出出若为两正正数，其其算术平平均，几几何平均均，调和和平均，则这三三个2元元平均恒恒满足,该该式被PPythhagoorass学派称称为完全全比例【1】.一般地，若为()个正数数，其算算术平均均，几何何平均，调和平平均，我们称为由生成的的“元平均均完全比比例”.作为Pyythaagorras完完全比例例的推广广，时它恒恒成立；而时，它成立的的充要条条件是什什么呢？下文将将给出此此问题的的部分答答案.二、“33元

5、和4元元平均完全全比例”成立的充充要条件件定理我们研究究发现“3元平均均完全比比例”成立的的充要条条件可归归结为如如下的定定理：定理1：由三个正数数生成的的“3元平均均完全比比例”成立，当且仅仅当能够够按照某某个顺序序排成等比比数列.证明：能够按照照某个顺顺序排成等比比数列.类似地，我们也也得到了了“4元平均均完全比比例”成立的的充要条条件，归归结为如如下的定定理：定理2：由四个正数数生成的的“4元平均均完全比比例”成立，当且仅仅当中有有两个数数的乘积积等于另另两个数数的乘积积.证明：中有两个个数的乘乘积等于于另两个个数的乘乘积.三、“（）元平均均完全比比例”成立的充分条件件证明及及必要条条件

6、探究究由定理11和定理理2，通过类类比和归归纳，我我们给出出如下猜猜测：猜测1：由（）个正正数生成成的“元平均均完全比比例”成立，当当且仅当当单调重排排后，所所有对称称项之积积均相等等.下面来证证明猜测测1给出出的条件件是“元平均均完全比比例”成立的充分条条件.证明：设设是的单调调重排.（1）当当为偶数数时，由由于，于是，又，于是是，即成立立.（2）当当为奇数数时，由由于.于是，又，于是是，即成立立.综合（11）、（2），我们便便证实了了“（）元平均均完全比比例”成立的的充分条条件.至于该该充分条条件是否否为“（）元平均均完全比比例”成立的的必要条条件，还还有待进进一步研研究.四、“元元次幂平

7、平均完全全比例”成立的的充要条条件探究究事实上，对于个正正数的算算术平均均、几何何平均和和调和平平均，我我们有一一个统一一且更加加广泛的的平均概概念，即即“元次幂平平均”【2】，记为：显然，PPythhagoorass完全比比例就是是，而“元平均均完全比比例”就是，于是我我们可以以定义更更一般的的“元次幂平平均完全全比例”为：若为()个正正数，则则我们称称为由()个正正数生成成的“元次幂平平均完全全比例”.这个更更一般的的完全比比例成立立的充要要条件如如何呢？实际上上，稍加加推理就就会发现现其成立立的充要要条件与与“元平均均完全比比例”成立的的充要条件件是一致致的，即即：（1）时时，“2元次幂

8、平平均完全全比例”恒成立立.（2）时时，“3元次幂平平均完全全比例”成立，当当且仅当当生成此此完全比比例的三三个正数数能够按按照某个个顺序排排成等比比数列.（3）时时，“4元次幂平平均完全全比例”成立，当当且仅当当生成此此完全比比例的四四个正数数中有两两个数的的乘积等等于另两两个数的的乘积.（4）时时，“元次幂平平均完全全比例”成立的的充分条条件是：生成此此完全比比例的个个正数单单调重排排后，对对称项之之积相等等.至于此此充分条条件能否否成为“元次幂平平均完全全比例”成立的的必要条条件，还还有待于于猜测1的解解决.参考文献献1美莫莫里斯克莱因因著.古今今数学思思想（第一册册），张理京京，张锦锦炎，江江泽涵译译.上海海科学技技术出版版社.220022年7月月第一版版.第337页.2靳靳平 主主编.数学的的1000个基本本问题.山西科学学技术出出版社.20004年1月第一一版.第第1055页.作者简介介：李明，男男，19981年年生，辽辽宁沈阳阳人，应应用数学学硕士，讲师，中国数