数学相关线性代数二章x2-2new

1、2.2 向量组的秩 定义2.2.1 设 是m个n元向量。若其中存在r个向量线性无关，但任意r+1个向量都线性相关，则称向量组 的秩为r,记为秩 。 定理2.2.1 向量组 线性相关的充分必要条件是：秩 m 一 向量组的秩 定义2.2.2 设向量组 的秩为r,则 中任意r 个线性无关的向量都称为 的极大线性无关部分组，简称为极大无关组。 性质2.2.1 向量组与其任一极大无关组都等价。定理.2.2的一个部分组。若 定义2.2.2 设 是向量组 线性无关，并且每个 （j=1,2,m）均可由 线性表出，则 是向量组 的极大无关组。 例 已知向量组 假设每个 ( j = s +1, s+2, , m)

2、均可由 线性表出，则秩 =秩 例如二 矩阵的秩向量组 , , ， 称为矩阵A的行向量组 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.例1 考虑阶梯形矩阵故得 A 的行向量组的秩 = r = 秩(A)。其行向量组为结论1 阶梯形矩阵的秩等于其行向量组的秩。线性无关, 且任意r+1个向量都线性相关例 设 A是矩阵。对A按行分块，对A作一次初等行变换得到矩阵A 因为 可由 线性表出，故的行向量组的秩 的行向量组的秩。故 A的行向量组的秩 的行向量组的秩。又 结论2 矩阵的初等行变换不改变行向量组的秩。定理2.2.3矩阵的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩. 定理2.2.4 设 A

3、是方阵，则 A 是可逆矩阵的充分必要条件是：A 的行（列）向量组线性无关。更进一步矩阵的初等行变换不改变其列向量间的线性相关性解例分析解例 已知向量组求其秩及一组极大无关组。令设（阶梯形）（1） 设 有 r 个非零行， 秩则 (2) 设的主元（各非零行的首非零元）在第 列，则 是一个极大无关组 说明为行简化的阶梯矩阵。则定理2.2.5矩阵，是矩阵，是设BA ,AB）秩（Amin）秩（）秩（B证例2.2.7 设A是mn矩阵，B是nm矩阵，并且AB = I，则B的列向量组线性无关。证明（法一）因为 AB = I，所以 秩(B)秩(AB) = 秩(I) = m . 即B的列向量组的秩为m，恰等于列向

4、量的个数m ，于是B的列向量组线性无关。 故秩(B) = m，秩(B)min n ，m m，又（法二）设B 的列向量组为 ，即 。令 由此得 线性无关。则上式可表为说明向量组 的秩为2，而显然的极大线性无关向量组的概念： 极大性、线性无关性 矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩 关于向量组秩的一些结论 求向量组的秩以及极大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换化为阶梯型四、小结向量组线性相关性判别方法的小结： 1.利用齐次方程组有无非零解 2.利用矩阵的秩； 3.利用线性表出； 4.利用其他性质。 1. 向量组 线性相关的充分必要条件是： m。秩2. 若向量组 可由向量组 线性表出，则秩秩3. 初等行变换不改变向量组的秩极大线性无关向量组的概念： 极大性、线性无关性 矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩 关于向量组秩的一些结论 求向量组的秩以及极大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换四、小结极大线性无关向量组的概念： 极大性、线性无关性 矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩矩阵列向量