创意平板折叠桌

1、2014 高教社杯大学生数学建模竞赛承诺书仔细阅读了大学生数学建模竞赛章程和大学生数学建模竞赛参赛规则（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从大学生数学建模竞赛）。完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子邮件、网上等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、与赛题有关的问题。知道，别人的成果是竞赛章程和参赛规则的，如果别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文处和参考文献中明确列出。郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。竞赛章程和参赛规则的行为，受到严肃处理。大学生数学建模竞赛，可将的以进行公开展示（包括进行网

2、上，在书籍、期刊和其他进行正式或非正式等）。参赛选择的题号是（从 A/B/C/D 中选择一项填写）：B的报名参赛队号为（8 位数字组成的）：10061050所属学校（请填写完整的全名）：邮电大学参赛队员 (打印并签名) ：1.2.3.王 珏(打印并签名)：指导教师或指导教师组（纸质版与中的以上信息必须一致，只是中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，消评奖资格。）可能被取日期： 2014 年 9 月 15 日赛区评阅（由赛区评阅前进行）：2014 高教社杯大学生数学建模竞赛页赛区评阅（由赛区评阅前进行）：赛区评阅（可供赛区评阅时使用）：（由赛区送交前）：评阅（由

3、评阅前进行）：创意平板折叠桌摘要本文主要研究了在实用性和美观性要求下，平板折叠桌的设计问题。针对问题一，首先确定了桌面位置和桌腿长度，得到最长桌腿长度为52.19cm，最短桌腿长度为 35.03cm，其余桌腿长度请见正文。考虑到当桌子折叠时，由于钢筋的作用，内侧桌腿的位置由最外侧桌腿的位置决定，因此折叠桌的动态变化过程人为地分成最外侧四根桌腿的运动和内侧桌腿的运动，并分别用钢筋的运动轨迹曲线和桌脚边缘曲线的变化来描述二者的动态变化过程，具体模型请见正文。在求解桌腿木条开槽长度时，首先证明钢筋在内侧桌腿上的运动方向是不变的，那么开槽长度就是钢筋在桌腿上的初始位置与最终位置之间的距离，求解得到结果

4、如下表所示：表 1桌腿木条开槽长度：cm注：右侧 21 至 40 号桌腿木条开槽长度依次与 1 至 20 号桌腿木条的开槽长度相等。折叠桌的三个设计指标转化成桌子最长桌腿的 和针对问题二，最短桌腿与竖直线间夹角 的大小，建立多目标优化模型，然后多目标综单目标来进行求解，并针对题目中的具体例子给出了最优设计参数，得到平板尺寸为159.2cm80cm3cm ，钢筋在最外侧桌腿上的固定点到铰链的距离与该桌腿长度的比值k 0.51，各木条开槽长度请见正文。针对问题三给出了根据客户任意设定的相关参数设计折叠桌的步骤和数学模型，具体请见正文。根据所建模型，设计了方桌和椭圆桌，求出了相关设计加工参数以及动态

5、变化示意图，具体数值和示意图请见正文。：折叠桌、动态变化、边缘线、开槽长度、AutoCAD1桌腿号12345678910开槽长度0.004.367.6610.3712.5914.3915.8016.8417.5317.87桌腿号11121314151617181920开槽长度17.8717.5316.8415.8014.3912.5910.377.664.360.00一、 问题重述有一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。下面

6、要求建立数学模型以下问题：给定长方形平板尺寸、每根木条的宽度和连接桌腿木条的钢筋位置，在折叠后桌子的高度为 53 cm 的要求下建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求设计加工参数。3. 公司计划开发一种折叠桌设计长方形平板材料和折叠桌的最优，根据客户期望设计折叠桌，要求给出这一桌。设计的数学模型，并根据所建立的模型给出自己设计的创意平板折叠二、 问题假设1、假设桌面各木条之间无缝连接；2、假设桌子平摊时桌腿与桌面之间无缝；3、 假设平板厚

7、度为 3cm 不变化；4、 计算中假设桌腿木条为宽度和厚度不计的线段；5、 假设加工方便度主要与木条根数有关；6、 假设木条加工过程均为精确裁剪，没有其他损耗；7、 假设桌脚边缘线为连续光滑曲线；8、 不考虑铰链对桌腿旋转角度的影响。三、 符号说明L : 长方形平板的长；e ：长方形平板的厚度；H ：折叠桌的高度；r ：圆形桌面的半径；li ：第i 根桌腿的长度； ：最外侧桌脚所在直线与竖直线之间的锐角夹角； ：最外侧桌脚所在直线与水平线之间的锐角夹角；h ：桌面下表面到地面的距离，即折叠桌高度减去平板厚度；(xA , zA )：折叠桌正视图中钢筋的投影点坐标；l槽i ：第i 根桌腿的开槽长度

8、；s1 ：折叠桌正视图上外侧最长桌腿的铰链位置投影点到桌面圆心投影点的距离；s2 ：折叠桌正视图上内侧最短桌腿的铰链位置投影点到桌面圆心投影点的距离； ：正视图上两侧最长桌腿的桌脚之间距离的一半；k ：钢筋在最外侧桌腿上的固定点到铰链的距离与该桌腿长度的比值。2四、 问题分析创意平板折叠桌使用灵活方便，既能折叠成造型优美的边桌，又能平摊成平板，节省空间。但是在设计折叠桌时需要考虑多方面的，从产品实用性方面需要考虑稳固性、材料使用量等面边缘线和桌脚边缘线形状等，从产品美观性方面则应考虑桌子高度、桌需要解决就是了解折叠桌变化的动态过程，并兼顾折叠桌的实用性和美观性设计出更好的折叠桌。4.1 问题一

9、的分析问题一要求在长方形平板尺寸、每根木条宽度、钢筋位置以及折叠后桌子高度确定的情况下建立数学模型描述折叠桌的动态变化过程，并在此基础上给出设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。首先要做的是确定圆形桌面的位置以及桌腿的长度，根据题目所给图示，就以长方形平板的中心作为圆形桌面的圆心，以平板的宽作为圆形桌面的直径。已知平板宽度和桌腿宽度后，通过简单计算得到折叠桌每组桌腿有 20根，那么将平板的宽进行 20 等分就得到了每根桌腿的位置，每根桌腿中位线与圆形桌面外边缘线交于一点，该点与桌腿宽的中点的连线段长度即桌腿的长度。在从平板变化到折叠桌的过程中，起决定作用的是每组最外侧的桌腿，根据问题一中给出的桌

10、子折叠后高度，在求出桌腿长度之后，就可以求出外侧四根桌腿最终位置的。起支撑作用的四根桌腿位置确定后，就能够得到连接每组木条的钢筋位置，则桌子折叠后这一组中的其余桌腿所在直线都与钢筋所在直线垂直相交，那么折叠桌内侧桌腿的变化过程就可以看作是每根桌腿都绕着连接桌腿与桌面的铰链旋转到与钢筋相交的位置为止。按照这个可以人为地将桌腿的动态变化过程分为最外侧桌腿的运动和内侧桌腿的运动，分别用钢筋的运动轨迹和桌脚边缘线的变化来描述二者的动态变化过程。很明显桌脚的边缘线是一条三维曲线，也就是要在建立合适的三维直角坐标系之后，得到边缘曲线上每一点坐标 x、y、z 之间的关系，直接求解较为，这里可以针对边缘曲线上

11、的每一点，利用折叠桌的三视图，将三维转化为二维，再通过寻找等式关系，得到边缘曲线的表达式。为了在桌子折叠过程中使钢筋能够地在内侧的木条滑动，需要在内侧的木条上开空槽，每根桌腿上空槽的长度就决定于折叠过程中钢筋在该根桌腿上的最大移动距离。可以证明在桌子折叠过程中钢筋在桌腿上的移动方向是不变的，因此只需要根据起始时钢筋在桌腿上的位置以及桌子折叠后钢筋的位置，就能够得到每根桌腿空槽的长度。4.2 问题二的分析问题二要求在稳固性好、加工方便和用材最少的条件下，对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径，给出设计加工参数。首先对设计要求逐个进行分析，加工的方便程度主要取决于桌腿的根数以及桌腿的开槽长度，若仍

12、然以长方形平板的宽度作为圆形桌面的直径，那么桌腿的根数就决定于桌腿的宽度，桌腿的宽度比较难确定，而且对于折叠桌的其他性能没有本质的影响，因此这里就设桌腿的宽度不变，仍然为 2.5cm，这样加工方便程度就只与桌腿的开槽长度有关，开槽总长度越小，加工越便利。影响折叠桌稳固性的是桌子内侧桌腿与外侧最长的桌腿在钢筋轴上的相互作用力，可以证明当桌子的两组桌腿中间最短的那根桌腿的延长线经过桌面中心在地3面上的投影点时，折叠桌最稳固。另外在用材最少方面由于仍然以长方形平板的宽度作为圆形桌面的直径，那么给定桌面圆的直径之后，长方形平板的宽就确定了，用材的多少就取决于桌腿的长度，根本上决定于最外侧桌腿的长度，对

13、于任意给定的桌子高度，最外侧桌腿的长度与桌腿有关，越小，桌腿长度就越短，因此问题就转化为寻找最小的件的优化问题。，使得桌子的其他设计参数满足一定条4.3 问题的分析问题三要求建立数学模型，根据客户任意给定的折叠桌高度、桌面边缘线形状和尺寸以及桌脚边缘线的大致形状设计折叠桌。对于桌面边缘线形状，要求客户给出的图形是对称的，然后就以稳定性为前提，以平板宽度作为图形对称轴长度，以正方形为例，理论上可以将平板宽度作为正方形边长长度或者对角线长度理论上若将平板宽度作为正方形边长长度，那么在折叠过程中，桌子每侧的所有桌腿都在一个平面上，钢筋起不到固定的作用，因此这种设计方案是不可行的，只能将平板的宽度作为

14、正方形对角线的长度。这样根据客户给定的桌面边缘线形状和尺寸就能确定平板的宽度。在确定桌腿宽度时，采用比例分配法，也就是假定桌腿根数不变为 20根，那么根据平板的宽度就能求出桌腿的宽度，接着根据具体的桌面形状可以根据问题一中的方法决定铰链的安装位置。为了使客户设计的折叠桌具有实用性，桌子必须满足一定的稳固性要求，我们在设计时，就让桌子达到最稳固的状态，即桌子最中间的那根桌腿的延长线经过桌面在地面上的投影的中心，在铰链位置和桌子高度一定后，那么折叠桌最中间那根桌腿的方向就唯一确定了。接着需要客户给出桌脚边缘线的形状，由于桌脚的边缘线是一条三维曲线，一般的客户不可能给出这三维曲线的确切表达式，那么就

15、让客户给出折叠桌左视图中桌脚边缘线的大致形状以及最基本的参数，假设指定左视图中桌脚边缘线为抛物线，并给出抛物线最高点距离地面的高度，这样中间最短的那根桌腿的长度就可以求得。同时还需要客户给出正视图中桌子两侧最长桌腿的桌脚之间的距离，这样最外侧桌腿的长度也能够确定，同时最外侧桌腿和最中间桌腿在正视图上的投影直线的交点就是钢筋的位置。由于在此之前各桌腿铰链位置确定，同时根据客户给出的左视图上桌脚边缘曲线的形状可以确定正视图上各桌腿桌脚的位置，那么连接桌腿铰链位置和桌脚位置，就得到了各个桌腿的长度和折叠后的位置。通过以上的过程可以得到各桌腿铰链安装位置、各桌腿长度以及折叠后的位置、钢筋位置，那么根据

16、问题一中的方法，就可以方便地求得桌腿开槽的长度，折叠桌的设计工作也就基本完成了。五、 模型建立与求解5.1 问题一的建模与求解5.1.1 确定圆形桌面位置以及桌腿长度根据题目中给出的折叠桌示意图，确定以长方形平板的中心作为圆形桌面的圆心，以平板的宽作为圆形桌面的直径，因此桌面的半径r 25cm 。平板的宽为 50cm，每根木条的宽为 2.5cm，那么在不考虑桌腿之间缝隙的4三条件下，桌子每组桌腿有 20 根，则可以将长方形平板的宽 20 等分，作为折叠桌的桌腿。下面的主要问题就是每根桌腿的长度，也就是桌腿与桌面的连接位置，这里的思路是过桌腿木条的中位线与圆形桌面外边缘线的交点作木条宽边的平行线

17、段，以此作为该根桌脚与桌面的连接位置，利用 AutoCAD 作出示意图如图 5.1.1 所示。图 5.1.1 圆形桌面位置及桌腿长度确定为说明方便，这里对折叠桌的桌腿进行，在图 5.1.1 中将桌腿从上到下，用i 表示桌腿（1 i 40）。从左至右依次对上图作局部放大说明，示意图如下：(a)(b)图 5.1.2 桌腿长度局部放大图以图 5.1.2(a)中第i 根桌腿为例，线段M N 为长方形平板宽边的第i 等份，点 P 为线段M N 的中点，过点 P 作桌腿长边的平行线，交圆形桌面外边缘圆于5点 P ，过点 P 作木条宽边 M N 的平行线段，交木条长边于点M、N ，则线段 MN就是第i 根桌

18、腿与圆形桌面的连接位置，也就是铰链安装的位置。线段M N 和线段 MN 之间的距离li 就是第i 根桌腿的长度。第 1 至 10 根桌腿和第 11 至 20 根桌腿是对称的，因此在这里具体计算第 11 至 20 根桌腿的长度。如图 5.1.2(b)所示，第i 根桌腿的长度li 等于长方形平板长度的一半 L 减去该桌腿铰链位置到圆形桌面平行于平板宽的方向的直径的2距离d ，即l L d L r2 y2i22 L r2 2.5 (i 11) 1.252(11 i 20)2根据上式利用编程求解（具体程序请见附录），得到桌腿长度为表 5.1.1 桌腿长度：cm注：右侧 21 至 40 号桌脚长度依次与

19、 1 至 20 号桌脚长度相等。5.1.2 折叠桌动态变化过程描述首先建立三维直角坐标系，以长方形平板下表面的中心作为原点，以平板宽的中点和中心的连线方向作为 x 轴方向，以平板长的中点和中心的连线方向作为 y 轴方向，过中点垂直于平板方向作为 z 轴方向，使其满足右手螺旋法则，示意图如图 5.1.3 所示:图 5.1.3 坐标轴的建立为下面叙述方便，给出如下定义：定义一 旋转角（ ）：定义在桌子折叠过程中，最外侧桌脚所在直线与水平线之间的锐角夹角为该桌腿的旋转角。（ ）：定义在桌子折叠过程中，最外侧桌脚所在直线与竖直定义二线之间的锐角夹角为该桌腿的。6桌腿12345678910桌腿长52.1

20、946.8343.4641.0039.1237.6736.5835.7935.2835.03桌腿11121314151617181920桌腿长35.0335.2835.7936.5837.6739.1241.0043.4646.8352.19由于桌子两侧是对称的，因此细说明。为了说明方便起见，只对桌子左侧桌腿的动态变化过程进行详桌子折叠的过程人为划分为两个步骤：1）桌子最外侧起关键支撑作用的桌腿的动态变化在桌子折叠过程中，旋转角 增大， 减小，根据题目中给出的折叠桌的高度和上述求出的桌腿长度，可以得到最终位置的 min ，角度确定之后，折叠桌的大致形状就确定了，连接各桌腿的钢筋位置也就确定。也

21、就是在从长方形平板变化到折叠桌的过程中，最外侧的桌腿绕着铰链位置向下转动至旋转角最大max ，最小min 的位置。由于钢筋是固定在最外侧桌腿上，因此可以用钢筋的运动来描述最外侧桌腿的动态变化过程。从折叠桌的正视图看，钢筋投影到 xoz 面时汇集为一点 A ，这一点的轨迹图如下所示：图 5.1.4 钢筋运动轨迹图图中曲线 A0 A 就是钢筋在 xoz 面上的投影点的运动轨迹，可以写出钢筋正投影点的坐标随 变化的关系式为x L l l20 sin2022 m,ax lz cos 20 2其中 L 表示长方形平板的长，h 表示桌面下表面到地面的距离，即h H e ，hl 表示最外侧桌腿（为 20）的

22、长度， arccos。2020minl代入具体数值进行计算，得到钢筋正投影点轨迹表达式为x 7.8 16.1sin , 16.7,90z 16.1 cos2）其余内侧桌腿的动态变化在最外侧的桌腿旋转到位之后，钢筋最终位置确定，中间桌腿的变化过程就是从起始位置绕铰链旋转至与钢筋相交的位置，对于内侧桌腿的动态变化，利用桌脚边缘曲线的变化来对其进行描述。在求解桌脚边缘曲线时，利用微分7，假设折叠桌有无数根桌腿，也就是令桌腿宽度趋于 0，将长方形平板的宽分成无数份，这样折叠桌的每个桌脚都对应边缘曲线上的一个点，就可以通过寻找每根桌腿位置满足的等式来求解边缘曲线的表达式。很明显桌脚的边缘线应该是一条三维

23、曲线，直接求解较为，在这里利用降维，研究折叠桌的正视图和俯视图，找到曲线上任意一点坐标(x, y, z)中 x、y、z 之间的关系，最后通过转化得到桌脚边缘曲线的参数表达式。利用 AutoCAD 画出正视图和俯视图如下图所示：图 5.1.5 折叠桌正视图图 5.1.6 长方形平板俯视图假设桌子折叠后桌脚边缘曲线上任意一点坐标为(x, y, z) ，其在 xoz 平面的正投影点坐标为(x, z) ，图中最外侧的桌腿的长度为l ，坐标为(x, z )。在正视图中，钢筋投影成一点 A，其坐标为(xA , zA ) ，设最外侧桌腿与竖直线的夹角，即最外侧桌腿的为 ，那么可以得到点 A 坐标与角 之间的

24、关系为lxA x 2 sinlzcosA2另外，用r 表示圆形桌面的半径，O 表示圆形桌面的圆心在正视图上的投影点，Di 表示第i 根桌腿的铰链安装位置在正视图上的投影点，m1i 表示第i 根桌腿与圆形桌面的连接位置到钢筋在该根桌腿位置的线段，m2i 表示第i 根桌腿所段，要得到 x、y、z 之间的关系就需要得到若干等式。首先由图 5.1.5 得到线段OD 的长度为 r2 y2 ，根据线段m 和m 的斜率i1i2i相等，可以得到等式r2 y2 xx r2 y2A zAz此外，线段m2i 的长度加上线段ODi 的长度应等于长方形平板长的一半，即8 L(xr2 y2 )2 z2 r2 y22最终希

25、望得到的是桌脚边缘曲线的参数表达式，考虑到桌脚的 y 值是等间距变化的，这里就令 y 值等于参数t 。综上得到桌脚边缘曲线的方程组如下所示：l xA x 2 sinlzA cos2r 2 y2 xx r 2 y2AzAz L2(xr 2 y2 )2 z2r 2 y2 y t 从90 减小到最小值，在每一个确定的张min在折叠桌变化的过程中，角 的位置，钢筋在正视图上的投影点坐标为(xA , zA ) 则左侧桌脚边缘线的参数表达式为x r2 t 2 xL r 2 t 2r 2 t 2 AzA r 2 t 2 x1 (A )zA2 y tL r 2 t 2z r 2 t 2 x1 (A )2zA其

26、中t 的取值范围为： r t r ，右侧桌脚边缘曲线与左侧曲线关于 yoz 面对称。折叠桌的动态变化过程示意图如下图所示：(a)(b)9(c)(d)图 5.1.7 折叠桌动态变化过程示意图桌子折叠完成后桌脚的边缘线（即题目中所给图 4 中红色曲线）的表达式就是当 min 时的参数表达式。已经得到最外侧桌腿的长度为 52.19cm ， 地面到桌面下表面的高度hh H e 50cm ，因此 arccos 16.7 ，此时钢筋在正视图上的投影点坐minl20标为(15.3, 25) ，则左侧桌脚边缘曲线方程为x 252 t 2 15.3120 252 t 225 t 22 25252 t 2 15.

27、31 (2)25 y t120 252 t 2z 252 t 2 15.3251 ()2其中t 的取值范围为： 25 t 25。右侧桌脚边缘曲线与左侧曲线关于 yoz 面对称，如图 5.1.8 所示：图 5.1.8 桌脚边缘曲线图105.1.3 确定桌腿木条开槽长度根据题意，钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，为了在桌子折叠过程中使钢筋能够在内侧的木条上移动，就需要在内侧木条上开空槽，至于每根桌腿空槽的长度就决定于钢筋在该根桌腿上移动的最大距离。图 5.1.9 钢筋运动方向示意图上图表示在桌子折叠过程中钢筋在内侧桌腿上的运动，其中 Di 表示第i 根桌腿铰链的位置，曲线 A0 A 为钢筋的运动

28、轨迹。在实际折叠过程中，外侧和内侧桌腿是同时运动的，当旋转角为1 时，钢筋在第i 根桌腿上的位置为 A 1 ，当旋转角为2（2 1 ）时，钢筋在第i 根桌腿上的位置为 A 2 ，从图中可以明显看出线段 Di A 2 的长度大于线段 Di A 1 的长度，也就是在这过程中线段 Di A 的长度是不断增大的，所以桌子折叠时，钢筋相对内侧桌腿的运动方向是不变的，一直都是从起始位置朝桌脚方向运动。所以内侧桌腿空槽的长度就等于钢筋在该根桌腿上运动的距离，即钢筋初始位置距该根桌腿桌脚的距离减去桌子折叠完成后钢筋的位置距桌脚的距离，表达式如下所示： l20 (x x )2 (z zl)2槽iiAiA2其中l

29、槽i 表示第i 根桌腿上的空槽长度， (xi , zi ) 是桌子折叠后第i 根桌腿的桌脚在正视图上投影点的坐标， (xA , zA ) 表示桌子折叠后钢筋在正视图上投影点的坐标。根据上式用长度为：编程求解（具体程序请见附录），得出桌腿木条开槽的表 5.1.2 桌腿木条开槽长度：cm注：右侧 21 至 40 号桌腿木条开槽长度依次与 1 至 20 号桌腿木条的开槽长度相等。5.1.4 模型改进实际上当桌子平摊成平板时，桌腿与桌腿之间肯定有缝隙，这样才能使桌腿在折叠过程中能够转动，因此在实际制作时各组桌腿最多只有 19 根，也就是最11桌腿号12345678910开槽长度0.004.367.66

30、10.3712.5914.3915.8016.8417.5317.87桌腿号11121314151617181920开槽长度17.8717.5316.8415.8014.3912.5910.377.664.360.00中间的一根桌腿最短，在其两侧对称安装 9 根桌腿，桌腿长度和桌腿木条的开槽长度的计算方法与 20 根时的计算方法相同。5.2 问题二的建模与求解5.2.1 模型建立问题二要求在稳固性好、加工方便和用材最少的要求下，对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径，给出设计加工参数。这也就是在折叠桌设计的基本参数之间数量关系的约束下，寻求使得折叠桌稳固性最好、加工最方便、用材最少的设计方案。

31、下面1、目标函数分别来探寻这个优化问题的目标函数和约束条件。对设计要求逐个进行分析：1）加工的方便程度折叠桌需要加工的地方主要是桌腿，加工方便程度就决定于桌腿的多少以及桌腿上开槽长度的大小，若仍然以长方形平板的宽度作为圆形桌面的直径，那么桌腿的根数就决定于桌腿的宽度，但是桌腿的宽度是一个比较难以确定的量，而且对于折叠桌的其他性能并没有本质的影响，因此这里仍然保持问题一中的桌腿宽度不变，那么桌子每组桌腿的根数n 就等于平板的宽度除以桌腿的宽度。这里仍然按照问题一的方式对桌腿进行。加工的方便程度就只取决于桌腿开槽的长度，问题就转换为所有桌腿的开槽总长度最小，即l槽iimin2）稳固性影响折叠桌稳固

32、性的是桌子内侧桌腿与外侧最长的桌腿在钢筋轴上的相互作用力。从图 5.2.1（a）可以清楚的看出，随着最短桌腿逐渐向内靠拢直至延长线过桌面中心在地面的投影，最短桌腿延长线和地面及桌面围成的图形由梯形逐渐变化为三角形，由三角形的稳定性可知当最短桌腿的延长线经过桌面中心在地面上的投影点时，折叠桌最稳固。(a)(b)图 5.2.1 稳固性示意图12图 5.2.1（b）画出了折叠桌左半面最外侧桌腿和最中间的桌腿的正视图，其中s1和s2 分别表示外侧最长桌腿和内侧最短桌腿的铰链到桌面圆心正投影点的距离，当桌面直径和和桌腿宽度确定之后这两个值就可以通过问题一中的方法求解得到。令正视图中折叠桌最中间桌腿的铰链

33、安装点与钢筋投影点的连线与竖直线的锐角夹角为 角。图中画出了最短桌腿延长线经过桌面圆心在地面上的投影点的情形，也就是折叠桌最稳固的时候，此时 角达到最佳值best ，那么要想使折叠桌的稳固性达到最佳，就要使设计得到的 角实际值与最佳值best 之间的差距尽量小，即 bestmin3）用材最少在用材最少方面由于仍然以长方形平板的宽度作为圆形桌面的直径，那么给定桌面圆的直径之后，长方形平板的宽就确定了，用材的多少就取决于桌腿的长度，根本上决定于最外侧桌腿的长度，那么对于任意给定的桌子高度，最外侧桌腿的长度与桌腿有关，越小，桌腿长度就越短，因此的另外一个目标就是寻找满足约束条件的最小的 值，即min

34、2、约束条件图 5.2.2 折叠桌左侧正视图图 5.2.3 示意图当桌子放在地面上时，地面到桌面下表面的距离 h 等于折叠桌的高度减去平板的厚度，即h H e其中 H 表示桌子高度， e 表示平板厚度。从图 5.2.2 正视图来看，每根桌腿的长度加上该根桌腿铰链位置正投影点到桌面圆心正投影点的距离应相等。这里需明的是在最理想的情况下最短桌腿的桌脚正投影点 M 2 应恰好在钢筋的正投影点位置，即图中点 M 2 与点 A 重合，因为若不重合，点 M 2段D2 A 的延长线上，如图 5.2.3 所示，由示意图可知，只要lextra 0 ，那么就说明最13外侧桌腿仍然可以向内靠拢来减小 值使用料量减少

35、，因此有lextra 0 ，但是在实际加工时， lextra 应略大于 0。从最外侧和最内侧桌脚来看，要求二者满足上述关系，也就是图中线段D2 M2 的长度加上线段OD2 的长度等于线段 D1M1 的长度加上线段OD1 的长度，即| OD1 | | D1M1 | OD2 | | D2M2 |这里引入一个比例系数k ，其值等于点 A 到桌面所在平面的距离与地面到桌面下表面距离h 的比值。因此上述等式可表示为khcos khcoss s21在三角形 AD1D2 中，边 AD1 在边 D1D2 上的投影长度加上边 AD2 在边D1D2上的投影长度应等于边 D1D2 的长度，即 s2 s1钢筋轴是用来

36、连接木条的，因此钢筋固定的位置应该在圆形桌面之外，在正视图上看也就是线段 AD1 的长度加上线段OD1 的长度不能小于圆形桌面的半径，即| AD1 | | OD1 | rkhcoss r15）内侧桌腿空槽的长度等于钢筋在该根桌腿上运动的距离，即钢筋初始位置距该根桌腿桌脚的距离减去桌子折叠完成后钢筋的位置距桌脚的距离，在这里 l槽i 是关于和 的函数，由于具体表示过于复杂，这里就先用函数 表示，即l槽i =( , )i综上，建立多目标优化模型如下： best目标函数： minminl槽iimin h H ekhcos khcoss s21约束条件 kh tan kh tan s2 s1khcos

37、s1 r ( , )l槽i i14其中 H 表示桌子高度， e 表示平板厚度， s1和s2 分别表示最长桌腿和最短桌腿的铰链位置在正视图上的投影点到桌面圆心正投影点的距离。5.2.2 模型求解对于上面建立的多目标优化模型，直接求解比较，希望能将多个目标综合为单目标来进行求解，首先相对来说用材量和桌子稳固程度更加重要，因此 对这两个目标优先考虑，因为 和 都表示角度，数量级相同，因此可以两个目标函数合并为一个目标函数，即： bestmin min + bestmin则原模型转化为: + best目标函数： min h H ekhkhcos s2 s1cos 约束条件 kh tan kh tan

38、s2 s1khcoss r1针对题目中给定桌高 70cm，桌面直径 80cm 的情况，假设木板厚度不变仍然为 3cm，利用 LINGO 编程计算（具体程序见附录），得到最优解为 =16 ， 30. ， 钢筋在最外侧桌腿上的固定点到铰链的距离与该桌腿长度比值k 0.51，长方形平板的长为 159.2cm，宽为 80cm，平板的厚度还是沿用问题一中的厚度为 3cm，即长方形平板的尺寸为159.2cm80cm3cm ，钢筋在最外侧桌腿的固定位置与桌脚距离为 20.6cm，此时各桌腿长度和开槽长度如下表所示：表 5.2.1 桌腿长度和开槽长度：cm注：右侧 33 至 64 号桌腿木条长度和开槽长度依次

39、与 1 至 32 号的相等。15桌腿12345678桌腿长度72.1765.1960.6357.1354.2951.9149.9148.21开槽长度0.008.0512.6715.9318.4920.6422.4824.07桌腿910111213141516桌腿长度46.7645.5544.5343.7143.0742.5942.2742.12开槽长度25.4326.5727.4928.2128.7529.1229.3529.46桌腿1718192021222324桌腿长度42.1242.2742.5943.0743.7144.5345.5546.76开槽长度29.4629.3529.1228

40、.7528.2127.4926.5725.43桌腿2526272829303132桌腿长度48.2149.9151.9154.2957.1360.6365.1972.17开槽长度24.0722.4820.6418.4915.9312.678.050.005.2.3 模型改进在上面建立模型时对折叠桌桌腿的根数没有多加考虑，在实际中为了简化加工，可以减少桌腿的根数，方法之一就是使桌腿的宽度与平板的宽度等比例变化，也就是保持桌腿的根数为 20 根不变，此时桌腿宽度为 4cm，桌腿长度、桌腿开槽长度等其它设计加工参数的计算与上面相同。5.3 问题三的建模与求解5.3.1 模型建立问题三要求建立数学模型

41、，根据客户任意给定的折叠桌高度、桌面边缘线形状和尺寸以及桌脚边缘线的大致形状设计折叠桌。对折叠桌的设计工作分以下步骤进行：Step 1：确定平板宽度对于桌面边缘线形状，要求客户给出的图形是对称的，然后就以稳定性为前提，以平板宽度作为图形对称轴长度，以正方形为例，理论上可以将平板宽度作为正方形边长长度或者对角线长度理论上若将平板宽度作为正方形边长长度，那么在折叠过程中，桌子每侧的所有桌腿都在一个平面上，钢筋起不到固定的作用，因此这种设计方案是不可行的，只能将平板的宽度作为正方形对角线的长度。这样根据客户给定的桌面边缘线形状和尺寸就能确定平板的宽度。Step 2：确定桌腿宽度和铰链安装位置在确定桌

42、腿宽度时，采用比例分配法，也就是桌腿宽度和平板宽度等比例变化，即假定桌腿根数不变为 20 根，那么根据平板的宽度就能求出桌腿的宽度，接着根据具体的桌面形状可以决定铰链的安装位置。Step 3：确定各桌腿长度和钢筋安装位置（以桌脚边缘线为抛物线为例）（a）左视图图 5.3.1折叠桌左视图和正视图（b）正视图为了使客户设计的折叠桌具有实用性，桌子必须满足一定的稳固性要求，我16们在设计时，就让桌子达到最稳固的状态，即桌子最短的那根桌腿的延长线经过桌面在地面上的投影的中心，在铰链位置和桌子高度一定后，那么折叠桌最短的那根桌腿的方向就唯一确定了，如图 5.3.1（b）中OD 所示，其中 D为中间最短最

43、短最短的桌脚上铰链安装位置的正投影点。接着需要客户给出桌脚边缘线的形状，由于桌脚的边缘线是一条三维曲线，一般的客户不可能给出这三维曲线的确切表达式，那么就让客户给出折叠桌左视图中桌脚边缘线的大致形状以及最基本的参数，假设指定左视图中桌脚边缘线为抛物线，并给出抛物线最高点T 距离地面的高度，将左视图中的点T 对应到正视图中的点T ，这样中间最短的那根桌腿的长度就可以求得，即为线段 TD最短 的长度。同时还需要客户给出正视图中桌子两侧最长桌腿的桌脚之间的距离，那么外侧最长桌腿的桌脚位置也就随之确定了，如图中点 M最长 所示，这样最外侧桌腿的长度就可以求解， 即为图中线段 OM最长 的长度，同时线段

44、 TD最短 和线段 M最长D最长 的交点 A 就是钢筋轴的正投影点，于是钢筋位置一定。由于在此之前各桌腿铰链位置 D 确定，则线段 D A 的延长线和左视图中点M 对应到正视图中iii的水平线的交点Mi 就是第i 条桌腿的桌脚位置，然后连接桌腿铰链位置和桌脚位置，就得到了各个桌腿的长度和折叠后的位置。Step 4：确定桌腿开槽长度通过以上的步骤得到了各桌腿铰链安装位置、各桌腿长度以及折叠后的位置、钢筋位置之后，根据问题一中的方法，就可以方便地求得桌腿开槽的长度，折叠桌的设计工作也就基本完成了。下面给出设计折叠桌的数学模型：图 5.3.2模型图解假设客户给定折叠桌高度为 H ，正视图中两最外侧桌

45、腿的桌脚之间的距离为2 ，同时通过客户给出的桌面边缘线形状大小和桌脚边缘曲线在左视图上投17影曲线的形状和基本参数，可以得到桌面边缘曲线为 x f ( y) ，桌脚边缘曲线在 xOz 面内的投影曲线为 z g( y)。令平板厚度e 仍然为 3cm，则地面到桌面下表面的距离h H e 。根据图 5.3.2 上点 Di、A、Mi 共线，由坐标关系得到如下关系式： xAzA h max 0 zhA g( yi )zMix iMi 0 zMi 0 zAx f ( y )ii求解上述方程组，得到设计加工参数的表达式为：（1）第i 根桌腿的长度l f ( y ) x 2 g( y )2 ；iiMii（2）

46、钢筋在最外侧桌腿上的固定点到铰链的距离与该桌腿长度比值k zA ；h（3）第i 根桌腿上的开槽长度l l (x x )2 z g( y )2 ；槽iiAMiAif ( y ) f ( yi ) xA g( yi ) 。hxmax 其中ax ， zmax， xA xMiizmaxA5.3.2 具体设计方案1、方桌客户要求：折叠桌高度为 53cm，桌面边缘线形状为对角线长度是 50cm 的正方形，桌脚边缘线在左视图上的投影曲线为抛物线，且最高点距地面高度为 20cm，正视图中最外侧桌腿的桌脚之间的距离为 36cm。设计方案：桌腿宽度为 2.5cm，钢筋在最外侧桌腿上的固定点到铰链的距离与该桌腿长度

47、比值k 0.625 ，桌子平摊时平板形状如图 5.3.3 所示，可以用尺寸为57cm50cm3cm 的长方形平板加工制成。图 5.3.3 方桌平摊图（注：图中的水平线段表示各桌腿的中位线）桌腿长度和桌腿上开槽长度如下表所示：18表 5.3.1 方桌桌腿长度和桌腿开槽长度：cm折叠桌的动态变化过程示意图如下：（1）（2）（3）（4）（5）（6）19桌腿12345678910桌腿长度50.4145.6241.6838.5236.0634.2733.0932.4932.4833.04开槽长度0.001.843.886.128.5811.2614.1417.2320.5123.97桌腿11121314

48、151617181920桌腿长度33.0432.4832.4933.0934.2736.0638.5241.6845.6250.41开槽长度23.9720.5117.2314.1411.268.586.123.881.840.00（7）（8）图 5.3.4 方桌动态变化过程示意图2、椭圆桌x2y2402 1 ，桌脚客户要求：折叠桌高度为 73cm，桌面边缘线表达式为352边缘线在左视图上的投影曲线为等腰三角形，且最高点距地面高度为 20cm，正视图中最外侧桌腿的桌脚之间的距离为 60cm。设计方案：桌腿宽度为 4cm，钢筋在最外侧桌腿上的固定点到铰链的距离与该桌腿长度比值k 0.546 ，桌子

49、平摊时平板形状如图 5.3.5 所示，可以用尺寸为 95.1cm80cm3cm 的长方形平板加工制成。图 5.3.5 椭圆桌平摊图（注：图中的水平线段表示各桌腿的中位线）桌腿长度和桌腿上开槽长度如下表所示：表 5.3.2 椭圆桌桌腿长度和桌腿开槽长度：cm折叠桌的动态变化过程示意图如下：20桌腿12345678910桌腿长度69.6667.1266.1165.3764.5763.5662.3060.7859.0156.99开槽长度0.007.2212.5016.7320.1522.8825.0026.5627.5928.10桌腿11121314151617181920桌腿长度56.9959.0

50、160.7862.3063.5664.5765.3766.1167.1269.66开槽长度28.1027.5926.5625.0022.8820.1516.7312.507.220.00（1）（2）（3）（4）（5）（6）图 5.3.6 椭圆桌动态变化示意图（7）（8）21六、 模型评价与改进6.1 模型评价6.1.1 模型优点（1）在对桌脚边缘线的中，首先以桌面下表面为原点建立了空间直角坐标系，通过将边缘线投影到 xOz 和 yOz 平面内找到了桌脚三个坐标之间的关系，进而得到了桌脚坐标的参数方程，而参数方程又很好的表示了桌脚坐标与是最外侧桌腿与竖直方向的夹角 的关系，通过改变 角就可以很好

51、的表示出桌腿折叠的动态变化过程。（2）问题二中适当地忽略了加工方便性对加工参数的影响，建立了稳固性与用料最少的双目标函数，得到的最优解对应的折叠桌不仅外形美观，并且与符合的很好，同时也反过来验证了模型的正确性。（3）问题三中图的描述。6.1.2模型缺点同样采用了投影的，简化了客户对桌脚边缘线这一空间（1）对于多目标的求解考虑的约束不够全面，结果可能有一定误差；（2）在涉及桌腿的计算中都将桌腿简化为宽度与厚度不计的线段，可能会对结果的精确性造成一定影响6.2 模型推广问题三中建立的模型适用于绝大多数的对称桌面的情形，只要客户给出桌高，桌面形状大小，以及桌脚边缘线相关参数，该模型就能求得相应平板材

52、料的加工参数，具有一般性。七、参考文献.数学模型.：高等教育，200312.数学建模算法与应用.：国防工业，201422附录问题 1：%计算边缘线的函数方程以及图像%clc,clear t=0:0.01:50; y=t-25;m,n=size(t);x=(252-y.2).0.5;lt=60-x;%桌腿长 waice=lt(find(y=23.75);%最长腿长度 waice1=x(find(y=23.75);k=25;%点A的高p=(waice.2-(2*k).2).0.5)/2+waice1;%点A的长 xishu=1+(p-x).2./252;z=-(lt.2)./xishu).0.5;

53、 x1=-(p-x)./25.*z+x; a=find(y=23.75); b=find(y=-23.75); y2=y(b:a);x2=x1(b:a);z2=z(b:a);plot3(x2,y2,z2) %画桌脚边缘线 xlabel(x),ylabel(y),zlabel(z) hold onplot3(-x2,y2,z2) hold oncao=(waice/2-(z+k).2+(x1-p).2).0.5); cao2=cao(b:a);cao3=cao2(1:2.5/0.01:end);%画出动态图%clc,clear t=0:0.01:50; y=t-25;a=find(y=23.75

54、); b=find(y=-23.75); yt=y(b:2.5/0.01:end);m,n=size(t);x=(252-y.2).0.5;xtm=x(b:2.5/0.01:end); lt=60-x;%桌腿长waice=lt(find(y=23.75);%最长腿长度23waice1=x(find(y=23.75); sita=0:0.1:(90-16.7);sita=90-sita; k=waice.*cos(sita*pi/180)./2;%点A的高p=(waice.2-(2*k).2).0.5)/2+waice1;%点A的长z0=zeros(size(x); xm=ones(size(x

55、); for i=1:length(sita)xishu(i,:)=1+(p(i)-x).2./(k(i).2;z(i,:)=-(lt.2)./xishu(i,:).0.5;x1(i,:)=-(p(i)-x)./(k(i).*z(i,:)+x;plot3(x1(i,b:a),y(b:a),z(i,b:a) axis(-50 50 -50 50 -50 5)hold onplot3(-x1(i,b:a),y(b:a),z(i,b:a) hold onplot3(x,y,z0) hold onplot3(-x,y,z0) hold on%画铁棒x4=xm.*p(i); z4=xm.*(-(k(i)

56、; plot3(x4,y,z4) hold onplot3(-x4,y,z4) hold on%画木棍zt(i,:)=z(i,b:2.5/0.01:end);xt(i,:)=x1(i,b:2.5/0.01:end); for tw=1:20 xh=xtm(tw):(xt(i,tw)-xtm(tw)/100:xt(i,tw); zh=0:zt(i,tw)/100:zt(i,tw); yh=ones(1,length(xh).*yt(tw); plot3(xh,yh,zh)hold onplot3(-xh,yh,zh) hold onend pause(0.01) hold offend24问题2

57、：m:min=sita+abs(beta-30.8/180*3.1415926); x=30.06;h=67; beta=3.1415926/2;!beta=x; bnd(0,k,1);%-计算槽长和腿长%clc,clear sita=0.2792360; beta=0.5375614; xx=30.06000; h=67; k=0.5081931;lth=9.92+h/cos(sita);%尺寸：木板长的一半 t=1.25:2.5:80-1.25;y=t-40;m,n=size(t);x=(402-y.2).0.5;lt=lth-x;waice=lt(find(y=38.75);%最长腿长度

58、 ak=h*k;%点A的高 ap=9.92+k*h*tan(sita);%点A的长 xishu=1+(ap-x).2./ak2;z=-(lt.2)./xishu).0.5; x1=-(ap-x)./25.*z+x;wai=(z(1)+ak).2+(x1(1)-ap).2).0.5;cao=wai-(z+ak).2+(x1-ap).2).0.5;问题3：clc,clear%方桌设计% n=20;t=0:0.01:50; y=t-25;xzhuo=25-abs(y);z=-4/125*y.2-30;25xa=(25*18)/(25+18);za=-(50/18)*xa;x=(xa-xzhuo)./

59、za.*z+xzhuo; plot3(x,y,z)lt=(z.2+(x-xzhuo).2).0.5;%腿长； l=lt+xzhuo;%形状plot(y,l) mo=find(y=(25-1.25); sho=find(y=-23.75); zt=z(sho:250:end); xt=x(sho:250:end); yt=y(sho:250:end);xzhuot=xzhuo(sho:250:mo);wei=l(sho)-(x(sho)-xa).2+(z(sho)-za).2)0.5;%外侧桌腿到A的长度 kaicao=xzhuot+(za.2+(xa-xzhuot).2).0.5-wei;lt

60、t=lt(sho:250:end); lzhuang=l(sho:250:end); plot(yt,lzhuang);k=za/z(sho);%方桌变化图%clc,clear n=20; t=0:0.01:50; y=t-25;xzhuo=25-abs(y); z=-4/125*y.2-30;xa=(25*18)/(25+18);za=-(50/18)*xa;x=(xa-xzhuo)./za.*z+xzhuo; lt=(z.2+(x-xzhuo).2).0.5;%腿长； l=lt+xzhuo;%形状mo=find(y=(25-1.25); sho=find(y=-23.75); zt=z(s