2021-2022学年黑龙江省大庆市高二年级上册学期数学开学考试试题【含答案】

1、2021-2022学年黑龙江省大庆市高二上学期数学开学试题一、单选题1从一个容量为的总体中抽取一个容量为的样本，当选取简单随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是，则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是（）ABCDD【分析】利用随机抽样每个个体被抽到的概率相等即得解【详解】随机抽样每个个体被抽到的概率相等，选取分层抽样抽取样本时总体中每个个体被抽中的概率仍为故选：D本题考查了随机抽样每个个体被抽到的等可能性，考查了学生概念理解能力，属于基础题2图（）是某品牌汽车年月销量统计图，图（）是该品牌汽车月销量占所属汽车公司当月总销量的份额统计图，则下列说法错误的

2、是（）A该品牌汽车年全年销量中，月份月销量最多B该品牌汽车年上半年的销售淡季是月份，下半年的销售淡季是月份C年该品牌汽车所属公司月份的汽车销量比月份多D该品牌汽车年下半年月销量相对于上半年，波动性小，变化较平稳C根据图（）中的条形统计图可判断出A、B、D选项的正误，结合图（）和图（）比较该品牌汽车所属公司月份和月份销量的大小，可判断出C选项的正误.【详解】根据图（）中的条形统计图可知，该品牌汽车年全年销量中，月份月销量最多，A选项正确；该品牌汽车年上半年销量最少的月份是月份，下半年销量最少的月份是月份，B选项正确；由条形统计图中的波动性可知，该品牌汽车年下半年月销量相对于上半年，波动性小，变化

3、较平稳，D选项正确；由图（）和图（）可知，该品牌汽车月份和月份的销量相等，但该品牌汽车月份的销量占该品牌汽车所属公司当月总销量的比例较月份的大，所以，年该品牌汽车所属公司月份的汽车销量比月份少，C选项错误.故选：C.本题考查条形统计图与频率分布折线图的应用，考查学生数据处理的能力，属于中等题.3如图，正方体中，下面结论错误的是A平面B异面直线与所成的角为45C平面D与平面所成的角为30D【详解】/,所以/平面；因为/,所以异面直线与所成的角为 45;因为，所以平面;与平面所成的角为30,选D.4已知角，且点在直线上，则（）ABCDA【分析】根据点在线上，以及的范围，求出的值，然后用正切和公式求

4、出的值【详解】解：因为点在直线上，代入可得：，即，解得，故选：5在三角形中，点在直线上，且，点在直线上，且.若，则（）ABCDB【分析】利用向量的线性运算可得的表示形式，从而可求的值.【详解】因为，故，故，所以，故，则，故选：B.6已知正三角形的边长为，是的中点，则等于（）ABCDC【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法计算出.【详解】过分别作和的平行线，依题意可知是线段离较近的三等分点，以为坐标原点，为平面直角坐标系，则，则，.故选：7如图所示，用、三个元件连接成一个系统，、能否正常工作相互独立，当正常工作且、至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知、正常工作的概率均为，则系统正常工作的概率

5、为（）ABCDC【分析】题目考察离散型概率的计算公式，算出、至少有一个正常工作的概率，与正常工作的概率相乘即可【详解】解：、都不工作的概率为，故、至少有一个正常工作的概率是；又元件正常工作的概率为，所以系统正常工作的概率为故选：8在中，角，的对边分别为，b，若，则角的值为（）ABC或D或D【分析】利用余弦定理先计算出的值，然后即可求解出的值.【详解】解：，即，且有意义即，在中，为或，故选：9在中，角，的对边分别为，其面积为，若，则一定是A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形B【分析】先根据余弦定理得到从而得到，再根据得到，因此或，根据勾股定理可判断三角形的形状.【详解】因为，所以

6、，而，故.又，所以，所以即，故或.若，则，故，故为直角三角形；若，则，故，故为直角三角形；综上，故选B.在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件. 而三角形面积的计算有两种基本的方法：（1）底和高乘积的一半；（2）；解题中注意合理选择.10如图，在单位正方体中，点P在线段上运动，给出以下四个异面直线与间的距离为定值；三棱锥的体积为定值；异面直线与直线所成的角为定值；二面角的大小为定值其中真命题有A1个B2个C3个D4个D【详解】对于，异面直线与间的距离即为两平行平面和平面间的距离，即为正方体的棱长，为定值故正确对于，由于，而为定值，又PAD1，AD1平面BD

7、C1，所以点P到该平面的距离即为正方体的棱长，所以三棱锥的体积为定值故正确对于，由题意得在正方体中，B1C平面ABC1D1，而C1P平面ABC1D1，所以B1CC1P，故这两条异面直线所成的角为故正确；对于，因为二面角PBC1D的大小，即为平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角的大小，而这两个平面位置固定不变，故二面角的大小为定值故正确综上正确选D二、多选题11关于复数，下列说法正确的是（）A复数（为虚数单位）的虚部为B复数（为虚数单位）的模为C若（，为虚数单位），则D若，则为实数BCD【分析】A根据复数的概念判断；B根据复数模的计算公式进行判断；C根据复数相等先求解出的值，然后再进行判断

8、；D根据共轭复数的概念进行计算并判断.【详解】解：复数（为虚数单位）的虚部为，故错误；复数（为虚数单位）的模为，故正确；若（，为虚数单位），则有，可得，则，故正确；若，令（，为虚数单位），则有，可得，故为实数，故正确故选：12已知，是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是A若，则B若，则C若，则D若，则与所成的角和与所成的角相等BCD【分析】根据线面、面面关系的性质定理与判定定理判断即可；【详解】解：对于A若，则或与平行或，与相交不垂直，故A错误；对于B：，设过的平面与交于，则，又，B正确；对于C：，内的所有直线都与平行，且，C正确；对于D：根据线面角的定义，可得若，则与所成

9、的角和与所成的角相等，故D正确故选：BCD三、填空题13从集合中任取两个不同的数，则的概率为_【分析】用列举法列出所有基本事件的数量，以及满足条件的事件个数，即可求出概率【详解】解：从集合中任取两个不同的数，一一列举可得所有基本事件有个，其中的情况有，共个，故所求概率为故14为了了解甲工厂生产的轮胎的宽度是否达标，随机选取了个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：）记录下来并绘制出如下的折线图，则甲厂轮胎宽度的第百分位数为_【分析】将甲厂这个轮胎的宽度（单位：）由小到大进行排列，结合百分位数的定义可得结果.【详解】甲厂这个轮胎的宽度（单位：）由小到大依次为：、，因为，因此，甲厂轮胎宽度的第百分位数为.

10、故15海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得m，则两点的距离为_m【分析】先将实际问题转化为解三角形的问题，再利用正、余弦定理求解。【详解】解：易知在中，为等腰三角形，则，在中，所以由正弦定理得，即，得，在中，由余弦定理得，所以，即，两点的距离为，故16在我国古代数学名著九章算术中，将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.如图，已知三棱柱是一“堑堵”，点为的中点.则三棱锥的外接球的表面积为_.【分析】取的中点，的中点，连接，设该球的球心为，设的外心为，连接

11、，由球的性质得出平面，平面，得四边形为矩形，然后可计算出外接球半径，得表面积【详解】解析：如图，取的中点，的中点，连接，则，且.所以，又，,平面，所以平面，连接，则，且，所以平面.设该球的球心为，设的外心为，连接，则平面，所以.连接，由是的外心得平面，所以，可得四边形为矩形.，所以为等边三角形，可知，所以，所以三棱锥的外接球的表面积为.故四、解答题17为了了解居民的用电情况,某地供电局抽查了该市若干户居民月均用电量(单位:),并将样本数据分组为, ,其频率分布直方图如图所示.(1)若样本中月均用电量在的居民有户,求样本容量;(2)求月均用电量的中位数;(3)在月均用电量为,的四组居民中,用分层

12、随机抽样法抽取户居民,则月均用电量在的居民应抽取多少户?(1)200(2)224(3)4户(1)因为,所以月均用电量在的频率为,即可求得答案;(2)因为,设中位数为,即可求得答案;(3)月均用电量为,的频率分别为, 即可求得答案.【详解】(1),得. 月均用电量在的频率为.设样本容量为N,则, .(2), 月均用电量的中位数在内.设中位数为, 解得,即中位数为.(3)月均用电量为,的频率分别为 应从月均用电量在的用户中抽取(户)本题考查了用样本估计总体的相关计算,解题关键是掌握分层抽样的计算方法和样本容量, 中位数定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.18函数的部分图象如图，M是图象的一

13、个最低点，图象与x轴的一个交点的坐标为，与y轴的交点坐标为.(1)求A，的值;(2)若关于x的方程在上有一解，求实数m的取值范围.(1)，;(2)(1)由图象得出函数的周期，由周期公式得出，再由，代入的解析式得出A，的值;(2) 方程在上有一解，等价于直线与函数的图象在上只有一个交点，画出函数在区间的图象，结合图象即可得出实数m的取值范围.【详解】(1)如图，由题图可知，函数的周期，. 图象与x轴的一个交点坐标为，故.由，得，.当时，.综上可知，.(2)由得，要使方程在上有一解，只需直线与函数的图象在上只有一个交点.由(1)可知结合函数在区间上的图象可知:当或时，满足题意，故m的取值范围为本题

14、主要考查了由图象确定正弦型函数的解析式以及正弦函数图象的应用，属于中档题.19如图，在四棱锥中，四边形ABCD为直角梯形，底面ABCD，且，M为PD的中点（1）求证：平面PAB；（2）求证：平面PAC；（3）求三棱锥的体积（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【分析】（1）E为PA中点，连接EM、EB，由已知易证为平行四边形，即，根据线面平行的判定证平面PAB.（2）由线面垂直的性质及勾股逆定理证明、，根据线面垂直的判定证面.（3）由（2），求得的高及，结合三棱锥体积公式求体积即可.【详解】（1）若E为PA中点，连接EM、EB，由M为PD的中点，且，又且，即且，四边形为平行四边形，故，面

15、，面，平面PAB.（2）连接AC，过C作交于F点，即且，中，而在中，有，又面ABCD，面，则，面.（3）由（2）知，是三棱锥的高，而，.关键点点睛：（1）综合应用平行四边形的性质，线面平行的判定证线面平行；（2）应用线面垂直的性质、勾股逆定理证线线垂直，再根据线面垂直的判定证线面垂直；（3）利用三棱锥的体积公式求体积.20甲乙进行射击比赛，两人轮流朝一个靶射击，若击中靶心得分，击中靶心以外的区域得分，两人得分之和大于或等于分即结束比赛，且规定最后射击的人获胜，假设他们每次击中靶心的概率均为且不会脱靶，经过抽签，甲先射击.（1）求甲需要射击三次的概率.（2）比赛结束时两人得分之差最大为多少？求这

16、个最大值发生的概率.（3）求乙获胜的概率.（1）；（2）；（3）.【分析】（1）依题意甲需要射击三次，则两人前四次射击均只得分，根据相互独立事件的概率公式计算可得；（2）比赛结束时，两人得分之差最大为分，即甲分，乙分，甲分，再根据相互独立事件的概率公式计算可得；（3）要使乙获胜，即到乙射击之和积分之和恰好满足大于或等于分，分四种情况讨论，分别计算所对应的概率，最后相加即可；【详解】解：（1）甲需要射击三次，则两人前四次射击均只得分，所以甲需要射击三次的概率为.（2）比赛结束时，两人得分之差最大为分，他们得分情况为：甲，乙，甲，所以这个最大值发生的概率为.（3）根据他们轮流射击的得分，分四种情况

17、：甲，乙，概率为；甲，乙，甲，乙，概率为；前三次射击中有一次分，两次分，概率为；前五次射击均得分，概率为.所以乙获胜的概率为.21的内角，所对的边分别为，已知.（1）求；（2）若，且，求（1）A；（2）【分析】（1）将正切转化为正余弦，借助两角和的正弦公式及，可求出的值，再根据的范围即可得解；（2）利用面积公式求出的值，再由余弦定理求出的值，借助即可得出，的值，最后根据正弦定理即可得解.【详解】（1）由，得，即，所以，因为在三角形中，所以，由， 所以.（2），所以，由余弦定理可得：，所以，所以，且，因为，所以，解得：，由正弦定理 ，得.本题考查的是解三角形问题，涉及的知识点包括三角恒等变换、正

18、弦定理、余弦定理以及三角形面积公式等，熟记公式并准确计算是解题关键，属于基础题.22如图，在三棱锥中，分别是线段，的中点，二面角的大小为60.（1）证明：平面平面；（2）求直线和平面所成角的余弦值.（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）要证平面平面，需证线面垂直，根据条件可知，再根据勾股可证，从而可证平面，进而证出结论.（2）法一：以B为坐标原点，为x轴，为y轴，建立空间直角坐标系，用空间向量法可求；法二： 由（1）可知平面，取的中点E，连接，可证平面，即为直线和平面所成的角，利用直角三角形即可求出结果.【详解】解：（1）在中，N是斜边的中点，所以.因为，是，的中点，所以，且，所以，.又因为，所以，且，故平面，因为平面，所以平面平面.（