彩漆销售问题的模型分析

1、彩漆销售问题的模型分析摘要针对题目的要求，本题采用分块逐层深入的方法，首先分析售价与预期销售 量之间的关系以及销售增长因子与广告费之间的关系，广告费会影响销售增长因 子，实际销售量与销售因子和预期销售量存在一定关系，又因为售价与预期销售 量存在一定关系，因此最终由售价和广告费决定彩漆销售的利润，建立它们之间 函数关系即可解决问题。问题一，根据题目中表一的数据，利用多项式拟合的方法，通过计算和分析， 建立起售价与预期销售量的函数关系，得到它们之间的函数关系式。问题二，根据题目中表二的数据，利用多项式函数拟合的方法，通过计算和 分析，建立起广告费与销售增长因子的函数关系式。问题三，找出彩漆销售得到

2、的利润与广告费和售价的关系，进一步分析得到 它们之间的函数关系式，构造方程，利用最优化问题中的单纯形计算法求出最优 解以及最优解对应的点，进而得出结果。关键词：函数关系、多项式拟合、最优化、1问题重述某公司有一批以每桶2元购进的彩漆，为了获得较高的利润，希望以较高的 价格卖出，但价格越高，售出量就越少，二者之间的关系由表一给出。于是打算 增加广告投入来促销。而广告费与销售量的关系可由销售增长因子来描述。例如， 投入3万元的广告费，销售因子为1.85,意味着做广告后的销售量将是未做广 告销售量的1.85倍。根据经验，广告费与销售因子的关系如表2,现请你作出决策：投入多少广告费和售价为多少时所获得

3、的利润最大?表1售价2. 002. 503. 003. 504. 004. 505. 005. 506. 00预期销售量（千桶）413834322928252220表2广告费（千元）010203040506070销售增长因子1. 001. 401. 701. 851. 952. 001. 951. 802问题分析本题是一道关于销售利润最大化的问题。利润的制约因数有彩漆销售过程中 的广告费用、销售增长因子、售价以及预期销售量，主要问题是要找出各个制约 因数之间的关系，建立函数关系式，运用MATLAB中的相关知识来求解，最终得 到结果。在问题一中，根据题目中表一提供的数据，进行曲线拟合，以得到售价

4、与预 期销售量之间的函数关系。在问题二中，根据题目中表二提供的数据，利用多项式拟合的方法进行曲线 拟合，通过计算和分析，建立广告费与销售增长因子的函数关系式。在问题三中，通过问题一和问题二的分析，可以找出彩漆销售得到的利润与 广告费和售价的关系，再进行进一步分析得到它们之间的函数关系式，构造方程， 再利用最优化问题的解决办法求解。3模型假设1）售价与预期销售量存在严格的函数关系2）销售因子与广告费之间存在严格的函数关系3）广告的效果完全达到理想效果4）实际销售量等于未做广告的销售量与销售因子的乘积5）所有彩漆不存在质量问题6）彩漆在销售过程中不会出现任何亏损的现象7）所有彩漆全部按照预期价格售

5、完4符号说明s:售价g:广告费y：预期销售量f：获得的利润X：销售增长因子z:做广告后的销售量fl:售价与预期销售量的关系f2:广告费与销售增长因子的关系5模型建立及求解在本模型中，利用多项式函数拟合的方法，建立起售价与预期销售量的函数 关系式以及广告费与销售增长因子的函数关系式，再根据题目意思建立起彩漆销 售得到的利润与广告费和售价的关系，再进行进一步分析得到各变量之间的函数 关系式，构造方程，再利用最优化求出最大利润以及对应的广告费和售价。【问题一】根据表一提供的数据，利用多项式拟合的方法进行曲线拟合，以得到售价与 预期销售量之间的函数关系。表1售价2. 002. 503. 003. 50

6、4. 004. 505. 005. 506. 00预期销售量（千桶）413834322928252220首先画出售价与预期销售量的散点图，初步分析他们之间可能存在的关系， 以便进行函数拟合，因此编辑程序如下：s=2.00:0.50:6.00;y=41,38,34,32,29,28,25,22,20;plot（s,y,*r）xlabel（s售价（元），ylabel（y预期销售量（千桶）title（售价与预期销售量的散点图）运行以上程序得到售价与预期销售量的散点图由下图所示：通过分析得知，售价与预期销售量可能存在形如y=a*x+b的一次线性关系， 于是利用多项式拟合的方法，运用多项式拟合的函数po

7、lyfit()对售价与预期销 售量的关系进行进行一项式拟合，于是编辑程序如下：s=2.00:0.50:6.00;y=41,38,34,32,29,28,25,22,20;f1=polyfit(s,y,1)运行以上程序结果得到下面的结果，其中-5.1333为一次项系数，50.4222 为常数项。f1 =-5.133350.4222紧接着对函数进行拟合，于是运行以下程序，得到售价与预期销售量的拟合效果图如下图所示:si=linspace(2,6,40);z=polyval（f1,si）;plot（s,y,*,s,y,si,z,-）xlabel（s售价（元），ylabel（y预期销售量（千桶）tit

8、le（售价与预期销售量的拟合效果图）售价与预期销售量的拟合效果图s售价（元）遍千量售销期预通过上面的函数拟合效果，可以得到售价与预期销售量的函数关系式为y=-5.133*s+50.4222,于是就建立起售价与预期销售量的确切关系。【问题二】根据表二的数据，利用多项式函数拟合的方法，通过计算和分析，建立起广 告费与销售增长因子的函数关系式。表2广告费（千元）010203040506070销售增长因子1. 001. 401. 701. 851. 952. 001. 951. 80首先画出广告费与销售增长因子的散点图，初步分析他们之间可能存在的关 系，以便进行函数拟合，因此编辑程序如下：g=0:10

9、:70;x=1.00,1.40,1.70,1.85,1.95,2.00,1.95,1.80;plot（g,x,，+b，）xlabel（g广告费（千元），），ylabel（，x销售增长因子，）title（，广告费与销售增长因子的散点图，）运行以上程序得到广告费与销售增长因子的散点图有下图所示，通过初步 分析可知，广告费与销售增长因子之间存在形如y=a*x”2+b*x+c的一元二次函数 关系，其中广告费为自变量，销售增长因子为因变量。广告费与销售增长因子的散点图70-T-+987654321 - - - - - - - - - 1111 1111子因长增售销X6020304050g广告费(千元)1

10、0利用多项式拟合的方法，运用多项式拟合的函数polyfit()对广告费与销售 增长因子的关系进行进行二项式拟合，于是编辑程序如下:g=0 10 20 30 40 50 60 70;x=1.00 1.40 1.70 1.85 1.95 2.00 1.95 1.80;f2=polyfit(g,x,2)运行以上程序结果得到下面的结果，其中-0.0004为二次项系数，0.0409为 一次项系数，1.0188为常数项。f2 =-0.00040.04091.0188紧接着对函数进行拟合，于是运行以下程序，得到售价与预期销售量的拟 合效果图如下图所示:gi=linspace(0,70,700);z=poly

11、val(f2,gi);plot(g,x,o,g,x,gi,z,-)xlabelC广告费(g),ylabel(销售增长因子(x)title(广告费与销售增长因子的拟合效果图)子因长增售销X通过上面的函数拟合效果，可以得到广告费与销售增长因子的函数关系式为 x=-0.0004*g2+0.0409*g+1.0188,于是就建立起广告费与销售增长因子的确切 函数关系。【问题三】找出彩漆销售得到的利润与广告费和售价的关系，进一步分析得到它们之间 的函数关系式，构造方程，利用最优化问题中的单纯形计算法求出最优解以及最 优解对应的点，进而得出结果。由于售价与预期销售量的函数关系式为y=-5.133*s+50

12、.4222,而广告费与销 售增长因子的函数关系式为x=-0.0004*g”2+0.0409*g+1.0188,且广告费与销售 量的关系可由销售增长因子来描述，由题意，投入3万元的广告费，销售因子为 1.85，意味着做广告后的销售量将是未做广告销售量的1.85倍，我们可以得知 销售增长因子与预期销售量和实际销售量的关系为z=x*y。现在建立各个变量之 间的函数关系：销售彩漆获得的利润二销售总额一成本一广告费=实际销售量*售价一实际销量*2 广告费用符号表示既是：f = s*z-2*z-g= (s-2) *z-g=(s-2)*(-5.133*s+50.4222)*( -0.0004*g2+0.04

13、09*g+1.0188) -g其中s,g的取值范围分别为：s=2,6,g=0,70。其实这道题是关于求最大利润的问题，于是利用最优化问题进行求解，由于 f是二元二次方程，因此运用基于单纯形算法求多元函数的极小值点和最小值， 由于本题中要求对f求最大值，因此有必要对f的形式进行略微的变换，变为 f=-(x(1)-2)*(-5.133*x(1)+50.4222)*(-0.0004*x(2)2+0.0409*x(2)+1.0188) +x(2)进而求f的最小值，所求得的结果的相反数即是本来题意中的最大利润。首先建立M文件fxy.m，其中x(1)=s,x(2)=g命令如下：function f=fxy

14、(x)f=-(x(1)-2)*(-5.133*x(1)+50.4222)*(-0.0004*x(2).2+0.0409*x(2)+1.0188 )+x(2);接着运行以下程序: x0=2,70;U,fmin=fminsearch(fxy,x0)得到的结果为：U =5.911635.2089fmin =-118.9573由此根据本模型所得结论，当投入35.2089千元广告费和售价为5.9116元时 所获得的销售利润最大，最大利润为118.9573千元。6模型评价与改进在问题一和问题二中，先绘制散点图，然后再进行函数拟合，过程直观易懂。 问题三中利用最优化问题进行求解，过程简洁明了，且计算精度较高。但是此模型存在的不足时在问题一和问题二中，函数拟合会