合作对策模型

1、合作对策模型第1页，共10页，2022年，5月20日，7点38分，星期二例7 有三个位于某河流同旁的城镇城1、城 2、城3(如图）三城镇的污水必须经过处理后方能排入河中，他们既可以单独建立污水处理厂，也可以通过管道输送联合建厂。为了讨论方便起见，我们再假设污水只能由上游往下游。用Q表示污水量，单位为米3/秒，L表示管道长度，单位为公里，则有经验公式：建厂费用C1=730Q0.712（万元）管道费用C2=6.6Q0.51L(万元）已知三城镇的污水量分别为：Q1=5米3/秒，Q2=3米3/秒，Q3=5米3/秒，问：三城镇应怎样处理污水方可使总开支最少？每一城镇负担的费用应各为多少？ 城一城二城三

2、38公里 20公里第2页，共10页，2022年，5月20日，7点38分，星期二分析 本问题中三城镇处理污水可以有五种方案： (1)每城镇各建一个处理厂（单干）。 (2)城1,城2合建一个,城3单独建一个(1、2城合作建于城2处)。 (3)城2,城3合建一个,城1单独建一个(2、3城合作建于城3处)。 (4)城3,城1合建一个,城2单独建一个(1、3城合作建于城3处)。 (5)三城合建一个污水处理厂（建于城3处） 城一城二城三 38公里 20公里 容易计算：方案总投资(：万元) 1 6200 2 5800 3 5950 4 6230 5 5560以三城合作总投资为最少 第3页，共10页，2022

3、年，5月20日，7点38分，星期二费用怎么分摊呢？建厂费用按三城污水量之比5：3：5分摊，管道是为城1、城2建的，应由两城协商分摊。 城一城二城三 38公里 20公里建厂处同意城3意见，由城2城3的管道费用可按污水量之比5：3：5分摊，但城1城2的管道费用应由城1承担。 分摊方案有道理，但得作一番 “可行性论证”， 城1的“可行性论证”：联合建厂费 ： （万元）城1负担 ： （万元）城1城2管道费： （万元）全部由城1负担城2城3管道费： （万元）城1负担 ： （万元）城1的总负担 ：约为2457万元 城1自己建厂费用 ：2300万元 合作后城1费用增加！差点做了冤大头！第4页，共10页，20

4、22年，5月20日，7点38分，星期二怎样找出一个合理的分摊原则，以保证合作的实现呢？ N人合作对策模型 设有一个n人的集合I=1,2,n，其元素是某一合作的可能参加者。 (1)对于每一子集S I，对应地可以确定一个实数V(S)，此数的实际意义为如果S中的人参加此项合作，则此合作的总获利数为V(S)，十分明显，V(S)是定义于I的一切子集上的一个集合函数。根据本问题的实际背景，还应要求V(S)满足以下性质: =0（没有人参加合作则合作获利不能实现） 对一切满足 的S1、S2成立具有这种性质的集合函数V（S）称为I的特征函数。第5页，共10页，2022年，5月20日，7点38分，星期二 (2)定

5、义合作结果V（S）的分配为 ，其中 表示第i人在这种合作下分配到的获利。显然，不同的合作应有不同的分配，问题归结为找出一个合理的分配原则 来， 被称为合作对策 1953年Shapley采用逻辑建模方法研究了这一问题。首先，他归纳出了几条合理分配原则 应当满足的基本性质（用公理形式表示），进而证明满足这些基本性质的合作对策 是唯一存在的，从而妥善地解决了问题。 是否存在合理分配原则 第6页，共10页，2022年，5月20日，7点38分，星期二Shapley提出了以下公理： 设V是I上的特征函数， 是合作对策，则有公理1合作获利对每人的分配与此人的标号无关。 公理2 ，即每人分配数的总和等于总获利

6、数。公理3若对所有包含的i的子集S有： V(S-i)=V(S)， =0。即若第i人在他参加的任一合作中均不作出任何贡献，则他不应从合作中获利 公理4若此n个人同时进行两项互不影响的合作，则两项合作的分配也应互不影响，每人的分配额即两项合作单独进行时应分配数的和。 第7页，共10页，2022年，5月20日，7点38分，星期二利用上述公理可以证明满足公理14的 是唯一存在的(证明略) 存在 的公式吗Shapley指出， 可按下列公式给出： (11.1)i=1,n Si是I中包含i的一切子集所成的集合， |S|表示集合S中的元素个数，而 (11.2) 可视为i在合作S中所作的贡献 W(|S|)可看作

7、这种贡献的权因子 第8页，共10页，2022年，5月20日，7点38分，星期二合作的获利真的不少于他单干时的获利吗 对每一iI，有 求证:证明:|S|=K时，包含i的子集S共有 个 即 个 故 = 1/n 从而 又根据性质，有 故有 第9页，共10页，2022年，5月20日，7点38分，星期二城1 获利 =67+130=197（万元）承担总费用： 2300-197=2103（万元）1300670W(|S|)V(S)-V(S-I)1/31/61/61/3W(|S|)3221|S|39004000V(S)-V(S-I)250000V(S-I)64004000V(S)1，2，31，31，21S城一城二城三 38公里 20公里建厂处 解决三城镇污水处理问题 城1究竟应当承担多少费用首先不难看出 ： S1=1,1,2,1,3,1,2