12押题班重点押题终极版本理科

1、2017 高考卷（理科）一、选择、填空题部分数列已知函数 f（x）=x21，数列xn为1把满足：的数列xn叫做数列，设，已知 a1=2，则 a3= 8【解答】解：f（x）=x21，数列xn为数列，=xn=（xn+），=ln=ln=2=2an，又 a1=2，数列an是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，a3=222=8故为：82我国南宋时期著名的数学家在其著作数学九章中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即ABC 的面积 S=其中 a，b，c 分别为ABC 内角 A、B、C 的对边若b=2，且 tanC=，则ABC 的面积 S 的最大值为【解答】解：tanC=，sinC=sin（B

2、+C）=sinA，c=a，b=2，S=，a=2 时，ABC 的面积 S 的最大值为，故为3九章算术是我国古代数学成就的杰出代表，是“算经十书”中最重要的一种，是当时世界上最简练有效的应用数字，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系其中章有面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一其大意是，面积计算公式为：面积=（弦矢+矢矢），是由圆弧（简称为）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弦的长，“矢”等于所在圆的半径与圆心到弦的距离之差现有一，其弦长 AB 等于 6 米，其弧所在圆为圆 O，若用上述面积计算公式算得该的面积为平方米，则 cosAOB=（

3、）ABCD【解答】解：如图，由题意：AB=6，面积 S=（弦矢+矢 2）=（6矢+矢 2）=平方米解得矢=1，或矢=7（舍），设半径为 r，圆心到弦的距离为 d，则，解得 d=4，r=5，cosAOD=，cosAOB=2cos2AOD1=1=故选：D4已知双曲线的左、右焦点分别为 F1、F2，|F1F2|=2c若双曲线 M 的右支上存在点 P，使，则双曲线 M 的离心率的取值范围为（）ABC（1，2） D（1，2【解答】解：由，在PF1F2 中，由正弦定理=，3cPF2=aPF1，且 PF1PF2=2a联立PF2=0，即得 3ca0，即 e=，又 PF2ca（由 P 在双曲线右支上运动且异于顶

4、点），3c24aca20，PF2=ca，化简即 3e24e10，得e又 e1，由，e 的范围是（1，）故选：A4已知 A（2，0），B（2，0），斜率为 k 的直线 l 上存在不同的两点 M，N 满足：|MA|MB|=2，|NA|NB|=2，且线段 MN 的中点为（6，1），则 k 的值为（）A2 BCD2【解答】解：由题意，M，N 是双曲线的右支上的两点，a=，c=2，b=1，双曲线方程为=1（x），设 M（x1，y1），N（x2，y2），则 x1+x2=12，y1+y2=2，代入双曲线方程，作差（x1x2）2（y1y2）=0，k=2，故选 D5（2017江西模拟）若实数 x，y 满足不等式

5、组，则 z=|x|+|y|的最小值是 2【解答】解：可行域为一个三角形 BCD 及其，其中 A（0，2），D（4，3），C（8，0），B（1，3），当 x0 时，直线 z=x+y 过点 A（0，2）取最小值 2；当 x0 时，直线 z=x+y 过点 A（0，2）取最小值 2，因此|x|+|y|的最小值是 2；故为：26设不等式，表示的平面区域为 M，若直线 y=k（x+2）上存在 M 内的点，则实数 k 的最大值是 2【解答】解：由约束条件作出可行域如图，直线 y=k（x+2）过定点 P（2，0），联立，解得 B（1，2），满足条件的 k 的最大值为 2故为：27已知数列an的前 n 项和为

6、Sn，若 a1=1，a2n=nan，a2n+1=an+1，则 S100= 1306【解答】解：a2n=nan，a2n+1=an+1，a2n+a2n+1=n+1，由 a2n=nan，a2n+1=an+1，a100+a50=50，a50+a25=25，a25=a12+1，a12+a6=6，a6+a3=3，a3=a1+1，a1=1a100=31S100=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+（a98+a99）+a100=1+（1+1）+（2+1）+（49+1）+31=+31=1306故为：13068已知函数 f（x）=cos（2x）sin（2x）（|）的图象向移个后关于 y 轴对称，则 f（x）在区

7、间上的最小值为（）A1 BCD2【解答】解：知函数 f（x）=cos（2x）sin（2x）=2cos（2x+），（|）的图象向移个后，y=2cos（2x+）=2cos（2x+） 的图象，再根据所得图象关于 y 轴对称，+=k，kZ，故=，f（x）=2cos（2x+）在区间上，2x+，cos（2x+），1，故 f（x） 的最小值为 2（）=，故选：C9在ABC 中，若最大边长为 63，则最小边长为 25【解答】解：若 A 为钝角，sinA=，cosB=，150A180，30B60，A+B180，故 A 为锐角，sinA=，cosB=，0A30B60，且 cosA=，sinB=C 为钝角，c 最大

8、，最大为 63，a 最小，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=+=，由正弦定理=，a=25，故最小为 a=25，故为：2510执行的程序框图，若输入 n=10，则输出 k 的值为（）A7B6C5D4【解答】解：当 n=10，k=0，T=1，S=1，则 T=1=10，则=101，则 k=1，T=10，S=10，则 T=10=45，则=4.51，k=2，T=45，S=45，则 T=45=120，则=1，k=3，T=120，S=120，则 T=120=210，则=1.751，k=4，T=210，S=210，则 T=210=252，则=1.21，k=5，T=252，S=25

9、2，则 T=252=210，则=1，结束循环，输出 k=5，故选 C11某小区一号楼共有 7 层，每层只有 1 家住户，已知任意相邻两层楼的住户在同一天至多一家有快递，且任意相邻三层楼的住户在同一天至少一家有快递，则在同一天这 7 家住户有无快递的可能情况共有种 12【解答】解：有快递用符号#，没有快递用符号 o，由题意，有 2 组 2 户相邻住家收不到快递，有#OO#OO#；OO#OO#O；O#OO#OO；OO#O#OO；4 种；只有 1 组 2 户相邻住家收不到快递，6 种；1、2 层，2、3 层，3、4 层，4、5 层，5、6 层，6、7 层，有 6 种；没有相邻 2 户收不到快递，有

10、O#O#O#O；#O#O#O#O，2 种情况共有 12 种可能故为：12（ n N* ） 且12 已 知 数 列 an 与 bn 满 足， 若对一切 nN*恒成立，则实数的取值范围是 （，+）【解答】解：bn=3n，bn+1=3n+1，代入，化简得 an+1an=2（bn+1bn）=43n，an=（anan1）+（an1an2）+（a2a1）+a1=4（3n1+3n2+3）+9=23n+3故可化为+令 cn=+，则1=，当 n5，cn单调递减，当 1n4 时，cn单调递增，当 n=4 时 cn 取得最大值 c4=，故为（，+）13已知ABC 的外接圆圆心为 O，且A=60，若，则+的最大值为【

11、解答】解：延长 AO 交 BC 于 D，设=m+n，（m0，n0），又，易得=即有 m=，n=，则 m+n=+，由 B，C，D 三点共线，+=1，即有+=，由于|AO|=r 是定值，只需|OD|最小，过 O 作 OMBC，垂足为 M，则 ODOM，即有BOM=BAC，BAC=60，cosBAC=，则|OM|=r则+=即有+的最大值为故为：14某工厂生产一种螺栓，在正常情况下，螺栓的直径 X（：mm）服从正态分布 XN（100，1）现加工10 个螺栓的尺寸（：mm）如下：101.7，100.3，99.6，102.4，98.2，103.2，101.1，98.8，100.4，100.0XN（，2）有

12、 P（2X+2）=0.954，P（3X+3）=0.997根据行业标准，概率低于0.003 视为小概率事件，工人随机将其中的 8 个交与质检员检验，则质检员认为设备需检修的概率为（）ABCD【解答】解：10 个螺栓的尺寸，只有 103.2103，工人随机将其中的 8 个交与质检员检验，质检员认为设备需检修的概率为=，故选 B成绩（：分）X 服从正态分布 N（110，102），从中抽取一个同学的15某校高三年级学生一次数学数学成绩，记该同学的成绩 90110 为事件 A，记该同学的成绩 80100 为事件 B，则在 A 事件发生的条件下 B 事件发生的概率 P（B|A）=（用分数表示）附：X 满足

13、 P（X+）=0.68，P（2X+2）=0.95，P（3X+3）=0.99【解答】解：由题意，P（A）=0.475，P（B）= （0.990.68）=0.155P（AB）= （0.950.68）=0.135，P（B|A）=，故为16数列an的前项和为 Sn，且，用x表示不超过 x 的最大整数，如0.1=1，1.6=1，设 bn=an，则数列bn的前 2n 项和 b1+b2+b3+b4+b2n1+b2n=n【解答】解：由，a2S1=，a2=a1+=，将 n 换为 n1，anSn1=，n2由 an=SnSn1，an+1=2an，则 an=a22n2=2n2=2n，上式对 n=1 也成立则 an=2

14、n，bn=an=2n，当 n=1 时，b1+b2=0+1=1=1；当 n=2 时，b1+b2+b3+b4=0+1+2+5=8=2；当 n=3 时，b1+b2+b3+b4+b5+b6=0+1+2+5+10+21=39=3；当 n=4 时，b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8=0+1+2+5+10+21+42+85=166=4；则数列bn的前 2n 项和为 b1+b2+b3+b4+b2n1+b2n=n 故为：n17已知函数 f（x）=ex+aex+2（aR，e 为自然对数的底数），若 y=f（x）与 y=f（f（x）的值域相同，则a 的取值范围是（）Aa0 Ba1C0a4 Da0 或 0

15、a4【解答】解：a=1 时，f（x）=ex+ex+24，此时 g=f（x）与 y=f（f（x）的值域不相同，排除 C，D；a0 时，y=f（x）与 y=f（f（x）的值域相同，均为 R，故选 A18已知函数 f（x）=x2（2x2x），则不等式 f（2x+1）+f（1）0 的解集是 x|x1【解答】解：根据题意，函数 f（x）=x2（2x2x），其定义域为 R，f（x）=（x）2（2x2x）=x2（2x2x）=f（x），即函数 f（x）为奇函数；函数 f（x）=x2（2x2x），其导数 f（x）=x2（2x2x）=2x（2x2x）+x2ln2（2x+2x）0，为增函数；而 f（2x+1）+f（

16、1）0f（2x+1）f（1）f（2x+1）f（1）2x+11，解x1；即不等式 f（2x+1）+f（1）0 的解集x|x1，故为：x|x119设实数0，若对任意的 x（0，+），不等式 ex0 恒成立，则的最小值为（）ABCD【解答】解：实数0，若对任意的 x（0，+），不等式 ex0 恒成立，即为（ex）min0，设 f（x）=ex，x0，f（x）=ex，ex=令 f（x）=0，由指数函数和反函数在第一象限的图象，y=ex 和 y=有且只有一个交点，设为（m，n），当 xm 时，f（x）0，f（x）递增；当 0 xm 时，f（x）0，f（x）递减即有 f（x）在 x=m 处取得极小值，且为最

17、小值即有 em=，令 em=0，m=e，=则当时，不等式 ex0 恒成立则的最小值为故选：A20数列an的通项公式为则“c1”是“an为递增数列”的（）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解答】解：数列an的通项公式为，若“an为递增数列”，则 an+1an=|n+1c|nc|0，即（n+1c）2（nc）2，解得 cn+，n+c1”是“an为递增数列充分不必要条件，故选：A21已知数列an的前 n 项和为 Sn，若函数 f（x）=sinx+cosx（xR）的最大值为 a1，且满足 ananSn+1=anSn，则数列an的前 2017 项之积 A2017=

18、2【解答】解：函数 f（x）=sinx+cosx=22，a1=2ananSn+1=anSn，an=1+an（Sn+1Sn），an=1+anan+1，anan+1=an1，n2 时，an1anan+1=an1anan1=1数列an的前 2017 项之积 A2017=A6723+1=a1（1）672=2故为：222在ABC 中，C=，O 为外心，且有=m+n，则 m+n 的取值范围是 ，1）【解答】解：设圆的半径为 1，则由题意 m、n 不能同时为正，m+n1C=，O 是ABC 的外心，AOB=，即出 1=m2+n2+2mncosAOBm2+n2=1，两边平方=m+n（），由得m+n1故为：，1）

19、23将五个 1，五个 2，五个 3，五个 4，五个 5 共 25 个数填入一个 5 行 5 列的表格内（每格填入一个数），使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过 2每行中五个数之和，记这五个和的最小值为 m，则 m 的最大值为（）A8B9C10D11【解答】解：依据 5 个 1 分布的列数的不同情形进行，确定 m 的最大值（1）若 5 个 1 分布在同一列，则 m=5；（2）若 5 个 1 分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为 3，故 2m51+53=20，故 m10（3）若 5 个 1 分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为 3，故 3m51+52+53=30，故

20、m10（4）若 5 个 1 分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于 3，这与已知综上所述，M10另一方面，如下表的例子说明 可以取到 10故 m 的最大值为 10故选：C24已知关于 x 的方程 x3+ax2+bx+c=0 的三个实根分别为一个椭圆，一个抛物线，一个双曲线的离心率，则的取值范围（）A（1，0）BCD（2，+）【解答】解：令 f（x）=x3+ax2+bx+c，抛物线的离心率为 1，则 1 是方程 f（x）=x3+ax2+bx+c=0 的一个实根，a+b+c=1，c=1ab，代入 f（x）=x3+ax2+bx+c，f（x）=x3+ax2+bx1ab=（x1）（x2+x+1）

21、+a（x+1）（x1）+b（x1）=（x1）x2+（a+1）x+1+a+b，设 g（x）=x2+（a+1）x+1+a+b，则 g（x）=0 的两根满足 0 x11，x21，由定理：x1+x2=（a+1）0，则 a1，x1x2=1+a+b，g（0）=1+a+b0，g（1）=3+2a+b0，解得：，作出可行域，的几何意义是区域内的点与原点连线的斜率，2，故选 C25已知棱长为的正方体 ABCDA1B1C1D1有一圆柱，此圆柱恰好以直线 AC1 为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（）ABCD【解答】解：由题知，只需考虑圆柱的底面与正方体的表面相切的情况，由图形的对称性可知，圆柱的上底面必与过 A 点的三

22、个面相切，且切点分别段 AB1，AC，AD1 上，设线段 AB1 上的切点为 E，AC1面 A1BD=O2，圆柱上底面的圆心为 O1，半径即为 O1E 记为 r，则，由O1EO2F知，则圆柱的高为，故选：A26如图，RtABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足：，点M，N 在过点P 的直线上，若，（，0），则+2的最小值为（）A2BC3D【解答】解：若，（，0），=+=（1）；M，P，N 三点共线，存在实数 k，使=k=k（）=k+k，=；（k）+（k）=（1）；由得，k=代入得，=1；=；+2=+；设 f（）=+，0；f（）=，令 f（）=0 得，=0，或；（0，）时，f（）0，（，+）时

23、，f（）0；=时，f（）取极小值，也是最小值；f（）的最小值为；即+2的最小值为故选：B27已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，满足 f（x）+f（2x）=0，且当 x0，1）时，f（x）=ln（ex+），则函数 g（x）=f（x）+x 在区间6，6上的零点个数是（）A4B5C6D7【解答】解：由 f（x）+f（2x）=0，令 x=1，则 f（1）=0，f（x）+f（2x）=0，f（x）的图象关于点（1，0）对称，又 f（x）是定义在 R 上的奇函数，f（x）=f（2x）=f（x2），f（x）是周期为 2 的函数当 x0，1）时，f（x）=ln（ex+）=ln（ex+1）为增函数，画出 f

24、（x）及 y=在0，6上的图象，经计算，结合图象，函数 f（x）的图象与直线 y=，在0，6上有 3 个不同的交点，由函数的奇偶性可知，函数 g（x）=f（x）+x 在区间6，6上的零点个数是 5故选：B28已知函数 f（x）=ax+elnx 与 g（x）=的图象有三个不同的公共点，其中 e 为自然对数的底数，则实数 a 的取值范围为（）AaeBa1 Cae Da3 或 a1【解答】解：由 ax+elnx=，整理得：a+=，令 h（x）=，且 t=h（x），则 t2+（a1）ta+1=0，求导 h（x）=0，解得：x=e，h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+）单调递减，则当 x+时，h（

25、x）0，由题意可知方程有一个根 t1 在（0，1）内，另一个根 t2=1 或 t2=0 或 t2（，0），当 t2=1 方程无意义，当 t2=0 时，a=1，t1=0 不满足题意；则 t2（，0），由二次函数的性质可知：，即，解得：a1，故选：B29定义在 R 上的函数 f（x）的导函数为 f（ x），满足 xf（ x）+f（x）x，则不等式的解集为 （，8）【解答】解：定义在 R 上的函数 f（x）的导函数为 f（x），满足 xf（x）+f（x）x，不妨取 f（x）=1+，则不等式，化为：（x4）（1+）43，解得 x8；故为：（，8）30已知 f（x）是定义在（0，+）上的单调函数，且x（

26、0，+），ff（x）lnx=e+1，设 a=f（），b=f（ ），c=f（log2），则 a，b，c 的大小关系是 cab（用“”号连接表示）【解答】解：根据题意，对任意的 x（0，+），都有 ff（x）lnx=e+1，又由 f（x）是定义在（0，+）上的单调函数，则 f（x）lnx 为定值，设 t=f（x）lnx，则 f（x）=lnx+t，又由 f（t）=e+1，即 lnt+t=e+1，解得：t=e，则 f（x）=lnx+e，（x0）则 f（x）为增函数，又由（）=，（）=，log21，则有（）（）log2；则有 cab；故为：cab31已知当 xR，x表示不超过 x 的最大整数，称 y=x

27、为取整函数，例如1.2=1，2.3=3，若 f（x）=x，且偶函数 g（x）=（x1）2+1（x0），则方程 f（f（x）=g（x）的所有和为 3【解答】解：设 x0，则x0，偶函数 g（x）=（x1）2+1（x0），g（x）=g（x）=（x1）2+1=（x+1）2+1，由 f（x）=x得，f（f（x）=x，在同一个坐标系中画出 f（f（x）和 g（x）的函数图象，：由图，两个图象有四个交点，交点的纵坐标分为 1、0、3、4，当 x0 时，方程 f（f（x）=g（x）的解是 0 和 1；当 x0 时，令 g（x）=（x+1）2+1=3，解得 x=3，令 g（x）=（x+1）2+1=4，解得 x

28、=1，综上得，f（f（x）=g（x）的解是：0、1、3、1，所有和是3，故为：32有三名男生和 3 名参加比赛，每人依次按顺序出场比赛，若出场时相邻两个之间至少间隔一名男生，则共有（）种不同的排法A108 B120 C72D144【解答】解：根据题意，分 2 步进行分析：、先排好 3 名男生，将 3 人全排列，有 A33=6 种情况，排好后有 4 个空位，3、在 4 个空位中，任选 3 个，安排 3 名，有 A4 =24 种情况，则一共有 624=144 种排法；故选：D二、三角函数1已知函数 f（x）=sinxsin（+x）+sin（+x）sinx，xR（1）求函数 f（x）的最小正周期和单

29、调递增区间；（2）设 A，B，C 是ABC 的三个内角，且 f（）=0，f（）=，求 f（）的值【解答】解：（1）f（x）=sinxcosxsin2x=sin2x+=sin（2x+），函数的最小正周期 T=，当 2k2x+2k时，即 kxk时，kZ，函数单调增，故函数的单调增区间为k，k（kZ）（2）f（）=sin（A+）=0，sin（A+）=，0A，A=，cos（A+）=，同理 f（）=sin（B+）=，sin（B+）=，0B，cos（B+）=，cos（A+B+）=cos（A+）cos（B+）sin（A+）sin（B+）=，sin（C+）=sin（AB+）=cos（A+B+）=，f（）=si

30、n（C+）=三、解三角形1.在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2csinC=（2b+a）sinB+（2a3b）sinA（1）求角 C 的大小；（2）若 c=4，求 a+b 的取值范围【解答】（本题满分为 12 分）解：（1）2csinC=（2b+a）sinB+（2a3b）sinA2c2=（2b+a）b+（2a3b）a，整理：a2+b2c2=ab，3 分cosC=，C（0，），C=6 分（2）由 c=4 及（1）：16=a2+b2ab=（a+b）23ab（a+b）2，8 分解得：a+b8，10 分又a+bc=4，a+b（4，812 分2如图，在ABC 中，点 D 在 B

31、C 边上，CAD=，AC=，cosADB=（1）求 sinC 的值；（2）若 BD=5，求ABD 的面积【解答】（本小题满分 13 分）解：（）因为，所以又因为，所以所以=（7 分）（）在ACD 中，由，得所以（13 分）四、数列1已知在数列an中，a1=1，其前 n 项和为 sn，且（n2）（1）证明是等差数列，并求数列的前 n 项和 Pn（2）若求数列的前项和 Tn【解答】解：（1）证明：当 n2 时，化简得 sn1sn=snsn1，即，又，所以数列为以 1 为首项，2 为公差的等差数列，=n2，则 Pn=（2）由（1）得，所以，=，所以，得，=（32n）2n+16，2已知数列an的前 n

32、 项和为 Sn，且 Sn=3n22n（1）求数列an的通项公式（2）设 bn=，数列 bn 的前 n 项和为 Tn，求证：Tn【解答】解：（1）当 n=1 时，a1=S1=32=1；当 n2 时，an=SnSn1=3n22n3（n1）22（n1）=6n5当 n=1 时，上式也成立an=6n5（2）=因此 Tn成立五、几何（理科）1如图 1，在等腰直角三角形 ABC 中，B=90，将ABC 沿中位线 DE 翻折得到如图 2 所示的空间图形，使二面角 ADEC 的大小为（0）（1）求证：平面 ABD平面 ABC；（2）若=，求直线 AE 与平面 ABC 所成角的正弦值【解答】（1）证明：由题意，D

33、EBC，DEAD，DEBD，ADBD=D，DE平面 ADB，BC平面 ABD；面 ABC，平面 ABD平面 ABC；（2）由已知二面角 ADEC 的平面角就是ADB设等腰直角三角形 ABC 的直角边 AB=4，则在ADB 中，AD=DB=AB=2，取 DB 中点 O，AODB，由（1）得平面 ABD平面 EDBC，AO面 EDBC，所以以 O 为原点，建立如图坐标系，则 A（0，0，），B（1，0，0），C（1，4，0），E（1，2，0）设平面 ABC 的法向量为，由，取，直线 AE 与平面 ABC 所成角的，sin=|cos|=|=即直线 AE 与平面 ABC 所成角的正弦值为：2如图，在四

34、棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是直角梯形，ABAD，ABCD，PC底面 ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E 是 PB 的中点（1）求证：平面 EAC平面 PBC；（2）若 a=2，求二面角 PACE 的余弦值【解答】（1）证明：在直角梯形 ABCD 中，ABAD，ABCD，AB=2AD=2CD=4，BC=，AC=，则 AC2+BC2=AB2，ACBCPC底面 ABCD，PCAC，得 AC平面 PBCAC平面 EAC，平面 EAC平面 PBC；（2）取 AB 中点 F，以 C 为原点，CF，CD，CP 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，则 C（0，0，0），A

35、（2，2，0），B（2，2，0），P（0，0，4），E（1，1，2），设平面 PAC 的法向量为，则，取 x=1，则；设平面 EAC 的法向量为，则，取 x=1，则cos=即二面角 PACE 的余弦值六、概率统计1春节来临，有农民工兄弟 A、B、C、D 四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响若 A、B、C、D 获得火车票的概率分别是，其中 p1p3，又成等比数列，且 A、C 两人恰好有一人获得火车票的概率是（1）求 p1，p3 的值；（2）若 C、D 是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家设 X 表示 A、B、C、D 能够

36、回家过年的人数，求 X 的分布列和期望 EX【解答】解：（1）A、C 两人恰好有一人获得火车票的概率是，（1 分）联立方程组，（3 分）由 p1p3，解得（5 分）（2）由题意知 X 的可能取值为 0，1，2，3，4，（6 分）（7 分）（8 分）（9 分）（10 分）X 的分布列为：（11 分）（12 分）2参加某的闯关活动，该活动共 3 关设他通过第一关的概率为 0.8，通过第二、第三关的概率分别为 p，q，其中 pq，并且是否通过不同关卡相互独立记为他通过的关卡数，其分布列为：0123P0.048ab0.192X01234P（）求至少通过 1 个关卡的概率；（）求 p，q 的值【解答】解

37、：（）设事件 Ai（i=1，2，3）表示“通过第 i 个关卡”，由题意知 P（A1）=0.8，P（A2）=p，P（A3）=q（2 分）由于事件“至少通过 1 个关卡”与事件“=0”是对立的，所以至少通过 1 个关卡的概率是 1P（=0）=10.048=0.952（6 分）（）由题意 P（=0）=0.2（1p）（1q）=0.048，P（=3）=0.8pq=0.192整理得 p+q=1，pq=0.24，又 pq，所以 p=0.6，q=0.4 （12 分）3为了解某班学生喜好体育运动是否与有关，对本班 50 人进行了问卷得到了如下的列联表：已知按喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为 10 的样

38、本，则抽到喜好体育运动的人数为 6（1）请将上面的列联表补充完整；（2）能否在犯错概率不超过 0.01 的前提下认为喜好体育运动与有关？说明你的理由（参考公式：K2=（n=a+b+c+d）独立性检验临界值表：P（K2k0）0.100.050.0250.010k02.73.85.06.6喜好体育运动不喜好体育运动合计男生 205 2510 15 25合计 30 2050【解答】解：（1）设喜好体育运动的人数为 x 人，由已知得解得x=30，（2 分）列联表补充如下：（7 分）（2）K2=8.3336.635（10 分）可以在犯错概率不超过 0.01 的前提下认为喜好体育运动与有关（12 分）4.

39、未来制造业对零件的精度要求越来越高.3D 打印通常是采用数字技术材料来实现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造，已经有使用这种技术打印而成的零该技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广阔的发展空间某制造企业向 A 高校 3D 打印实验团队租用一台 3D 打印设备，用于打印一批对内径有较高精度要求的零件该团队在打印出了一批这样的零件，从中随机抽取 10 件零件，度量其内径的茎如（：m）（） 计算平均值与标准差；的零件内径 Z 服从正态分布 N（，2），该团队到工厂安装调试后，试打（） 假设这台 3D 打印设备打印了 5 个零件，度量其内径分别为（：m）：86

40、、95、103、109、118，试问此打印设备是否需要进一步调试，为什么？参考数据：P（2Z+2）=0.9544，P（3Z+3）=0.9974，0.95443=0.87，0.99744=0.99，0.04562=0.002喜好体育运动不喜好体育运动合计男生20525101525合计30205006412435【解答】解：（I）平均值=100+=105标准差=6（II）需要进一步调试，Z 服从正态分布 N（105，36），P（3Z+3）=0.9974，内径在（87，123）之外的概率为 0.0026，而 86 （87，123），根据 3原则，若机器异常，需要进一步调试5.对某地区儿童的身高与体重

41、的一组数据，用两种模型y=bx+a，y=cedx 拟合，得到回归方程分别为，作残差分析，如表：（）求表中空格内的值；（）根据残差比较模型，的拟合效果，决定选择哪个模型；（）残差大于 1kg 的样本点被认为是异常数据，应剔除，剔除后对（）所选择的模型重新建立回归方程（结果保留到小数点后两位）附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），（xn，yn），其回归直线 y=bx+a 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，【解答】解：（）根据残差分析，把 x=80 代入得.1010.39=0.39所以表中空格内的值为0.39（）模型残差的绝对值和为 0.41+0.01+0.39+1.21+0.19+0.

42、41=2.62，身高 x（cm）60708090100110体重 y（kg）68101415180.410.011.210.190.410.360.070.121.690.341.12模型残差的绝对值和为 0.36+0.07+0.12+1.69+0.34+1.12=3.7.2.623.7，所以模型的拟合效果比较好，选择模型（）残差大于 1kg 的样本点被剔除后，剩余的数据如表由公式：，得回归方程为 y=0.24x8.76七、几何1已知椭圆 C 的两个焦点坐标分别是（2，0），（2，0），并且经过（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l，直线 l 与椭圆 C 相交

43、于 A、B 两点，与圆 O：x2+y2=6 相交于 D、E 两点，当OAB 的面积最大时，求弦 DE 的长【解答】（1）根据题意，椭圆的椭圆 C 的两个焦点坐标分别是（2，0），（2，0），则其焦点在 x 轴上，且 c=2；设椭圆的标准方程为，依椭圆的定义：，c=2，b2=2，椭圆的标准方程为：（2）设直线 l 的方程为 x=ky+2，代入椭圆方程 c 化简得：（k2+3）y2+4ky2=0，设 A（x1，y1），B（x2，y2），则，OAB 的面积，令，则，当且仅当，即 k=1 时取等号此时，直线 l 的方程为 x=y+2，圆心 O 到 l 的距离为，又圆半径为，故所求弦长为2已知焦点在 y

44、 轴上的椭圆 E 的中心是原点 O，离心率为双曲线 y2=1 离心率的一半，直线 y=x 被椭圆 E截得的线段长为直线 l：y=kx+m 与 y 轴交于点 P，与椭圆 E 交于 A，B 两个相异点，且=（1）求椭圆 E 的方程；（2）是否存在实数 m，使+=4？若存在，求 m 的取值范围；若不存在，请说明理由（ab0），双曲线双曲线 y2【解答】解：（1）设椭圆的方程为=1 离心率 e=，由椭圆的离心率 e=，则 a=2b，将 y=x 代入椭圆，解得：x=，2=，解得：a=2，椭圆 E 的方程为；（2）假设存在实数 m，使+=4成立，由题意P（0，m），当 m=0 时，O，P 重合，=1 显然

45、成立，当 m0 时，由=，=（），则+=（1+），=3，设 A（x1，y1），B（x2，y2），由=3，x1=3x2，整理得：（k2+4）x2+2kmx+m24=0，x1+x2=，x1x2=，由：m2k2+m2k24=0，则 k2=，m21，由=（2km）24（k2+4）（m24）0，则 k2+4m20，k2+4m2=+4m2=0，则 1m24，解得：2m1 或 1m2，综上：m 的取值范围是（2，1）（1，2）03椭圆 E：+=1（ab0）经过点（1，），且离心率为，过点 P 的动直线 l 与椭圆相交于 A，B两点（1）求椭圆 E 的方程；（2）若椭圆 E 的右焦点是P，其右准线与 x 轴交

46、于点Q，直线 AQ 的斜率为k1，直线 BQ 的斜率为k2，求证：k1+k2=0；（3）设点 P（t，0）是椭圆 E 的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点 P 不同的定点 Q，使得=恒成立？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由【解答】解：（1）椭圆 E：+=1（ab0）经过点（1，），且离心率为，解得 a=2，b=1椭圆 E 的方程为（4 分）证明：（2）设 A（x1，y1），B（x2，y2），则由题意 P（1，0），Q（2，0），若 y1=y2，则 k1=k2=0，结论成立（此处不交代扣 1 分）若 y1y2，则 x1y2+x2y1=2（y1+y2），（10 分）

47、备注：本题用相似三角形有关知识证明同样给分，用定理解决也相应给分解：（3）当直线 l 与 y 轴平行时，设直线 l 与椭圆相交于 C，D 两点，如果存在定点 Q 满足条件，则有，即 QC=QD，Q 在 x 轴上，可设 Q 点的坐标为（x0，0）当直线 l 与 y 轴垂直时，设直线与椭圆相交于 M，N 两点，则 M，N 的坐标分别为，由，有，解得若存在不同于点 P 不同的定点 Q 满足条件，则 Q 点坐标只可能为（12 分）下面证明：对任意直线 l，均有记直线 AQ 的斜率为 k1，直线 BQ 的斜率为 k2，设 A（x1，y1），B（x2，y2），则由题意，若 y1=y2，则 k1=k2=0点

48、 B 于 x 轴对称的点 B的坐标为（x2，y2）kQA=kQB，Q，A，B三点共线对任意直线 l，均有（16 分）4已知椭圆 E：=1（ab0）的离心率为，A1，A2 是椭圆 E 的长轴的两个端点（A2 位于 A1 右侧），B 是椭圆在 y半轴上的顶点， 点 F 是椭圆 E 的右焦点， 点 M 是 x 轴上位于 A2 右侧的一点， 且满足=2（1）求椭圆 E 的方程以及点 M 的坐标；（2）是否存在经过点且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 P 和 Q，使得向量与共线？如果存在，求出直线 l 的方程，如果不存在，说明理由【解答】解：（1）设点 F（c，0），M（x，0），xa

49、，由=2，得，解得 x=，b2=a2c2，又a=，b=c=1，椭圆方程为，M 点坐标为 M（2，0）（2）由题意，直线 l 的方程为 y=kx+，联立方程，得，直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 P，Q，k2，令 P（x1，y1），Q（x2，y2），=，=（）=，由题知，要使向量与共线，则 2k=，即 k=，但不满足，故不存在符合题意的直线 l（14 分）八、导数1已知 e 是自然对数的底数，f（x）=mex，g（x）=x+3，（x）=f（x）+g（x），h（x）=f（x）g（x2）2017（1）设 m=1，求 h（x）的极值；（2）设 me2，求证：函数（x）没有零点；（3）若 m0，x0

50、，设，求证：F（x）3【解答】（1）解：f（x）=mex，g（x）=x+3，m=1，f（x）=ex，g（x2）=x+1，h（x）=f（x）g（x2）2017=exx2018h（x）=ex1，由 h（x）=0 得 x=0e 是自然对数的底数，h（x）=ex1 是增函数当 x0 时，h（x）0，即 h（x）是减函数；当 x0 时，h（x）0，即 h（x）是增函数函数 h（x）没有极大值，只有极小值，且当 x=0 时，h（x）取得极小值h（x）的极小值为 h（0）=2017（2）证明：f（x）=mex，g（x）=x+3，（x）=f（x）+g（x）=mex+x+3，（x）=mex+1me20，（x）=

51、mex+1 是减函数由（x）=mex+1=0 解得时，（x）=mex+10，此时函数（x）是增函数，当时，（x）=mex+10，此时函数（x）是减函数，当当时，函数（x）取得最大值，最大值为me2，2ln（m）0，（x）0，当 me2 时，函数（x）没有零点（3）证明：f（x）=mex，g（x）=x+3，=+x0，F（x）3 化为（x2）ex+x+20设 u（x）=（x2）ex+x+2，则 u（x）=（x1）ex+1设 v（x）=（x1）ex+1，则 v（x）=xexx0，v（x）0又当 x=0 时，v（x）=0，函数 v（x）在0，+）上是增函数x0，v（x）v（0），即 v（x）0又x=0

52、，v（x）=0，当 x0 时，u（x）0；当 x=0 时，u（x）=0，函数 u（x）在0，+）上是增函数当 x0 时，u（x）u（0），即当 x0 时，F（x）32已知函数 f（x）=a（lnx1）+的图象与 x 轴相切，g（x）=（b1）logbx（）求证：f（x）；（）若 1x，求证：0g（x）【解答】证明：（）函数 f（x）=a（lnx1）+的导数为，设 f（x）的图象与 x 轴相交于点（x0，0），则即，解得 a=x0=1所以，等价于 lnxx1设 h（x）=lnxx+1，则，当 0 x1 时，h（x）0，h（x）单调递增；当 x1 时，h（x）0，h（x）单调递减，所以 h（x）h

53、（1）=0，即 lnxx1，所以（）设，则，由（）可知，当 x1 时，从而有 h（x）0，所以 h（x）单调递增，所以 1x2b，又从而有 h（x2）h（b），即，所以，即 g（x）0，=，又，所以，又 1x2b，所以综上可知，3已知函数 f（x）=x21+aln（1x），aR（）若函数 f（x）为定义域上的单调函数，求实数 a 的取值范围；（）若函数 f（x）存在两个极值点 x1，x2，且 x1x2证明：【解答】解：（）函数 f（x）的定义域为（，1），求导：f（x）=2x=，x1，令 g（x）=2x2+2xa，则=44（2）（a）=48a，当 48a0 时，即 a，则2x2+2xa0 恒成

54、立，则 f（x）在（，1）上单调减函数，当 48a0 时，即 a，则2x2+2xa=0 的两个根为 x1=，x2=，当 x（，x1）时，f（x）0，函数 f（x）单调递减，当 x（x1，），f（x）0，函数 f（x）单调递增，不符合题意，综上可知：函数 f（x）为定义域上的单调函数，则实数 a 的取值范围（，+）；（）证明：由函数有两个极值点，则 f（x）=0，在 x1 上有两个不等的实根，即2x2+2xa=0，在 x1 有两个不等式的实根，x1，x2，由 0a，则，且 x1（0，），x2（，1），则=（1+x1）+2x1ln（1x1），同理：=（1+x2）+2x2ln（1x2），则=（x2x

55、1）+2x1ln（1x1）2x2ln（1x2），=2x21+2（1x2）lnx22x2ln（1x2），令 g（x）=2x1+2（1x）lnx2xln（1x），x（，1），求导，g（x）=2lnx（1x）+，x（，1），由 x（，1），则+0，则 g（x）0，则 g（x）在 x（，1），上单调递增，则 g（x）g（）=0，则0，成立4已知函数 f（x）=（x2）ex x2，其中 aR，e 为自然对数的底数（）函数 f（x）的图象能否与 x 轴相切？若能与 x 轴相切，求实数 a 的值；否则，请说明理由；（）若函数 y=f（x）+2x 在 R 上单调递增，求实数 a 能取到的最大整数值【解答】解：

56、（）f（x）=（x2）exx2，f（x）=（x1）exax，假设函数 f（x）的图象与 x 轴相切于点（t，0），则有：，即，由知 at=（t1）et，代入中，得（t2）et=0，et0，（t2）=0，即 t23t+4=0，=916=70，方程 t23t+4=0 无解，无论 a 取何值，函数 f（x）的图象都不与 x 轴相切（）记 g（x）=（x2）ex+20 在 R 上恒成立，由 g（1）=a+20，得 g（x）0 的必要条件是 a2，若 a=2，则 g（x）=（x1）ex2x+2=（x1）（ex2），当 ln2x1 时，g（x）0，故 a2下面证明：当 a=1 时，不等式（x1）exx+2

57、0 恒成立令 h（x）=（x1）exx+2，则 h（x）=xex1，记 H（x）=xex1，则 H（x）=（x+1）ex，当 x1 时，H（x）0，H（x）单调递增且 H（x），当 x1 时，H（x）0，H（x）单调递减，且H（x）0，H（）=10，H（1）=e10，存在唯一的，使得 H（x0）=0，且当 x（，x0）时，H（x）0，h（x）单调递减，当 x（x0，+）时，H（x）0，h（x）单调递增，h（x）min=h（x0）=（x01）x0+2，H（x0）=0，h（x0）=（x01）=3（），2，h（x）min=h（x0）0，（x1）exx20 恒成立，a 能取得的最大整数为 1，h（x）

58、=ex15已知函数（）当 x0 时，f（x）h（x）恒成立，求 a 的取值范围；（）当 x0 时，研究函数 F（x）=h（x）g（x）的零点个数；（）求证：（参考数据：ln1.10.0953）【解答】解：（）令 H（x）=h（x）f（x）=ex1aln（x+1）（x0）则若 a1，则，H（x）0，H（x）在0，+）递增，H（x）H（0）=0，即 f（x）h（x）在0，+）恒成立，满足，a1，a 的取值范围（，1；（2 分）若 a1，在0，+）递增，H（x）H（0）=1a 且 1a0，且 x+时，H（x）+，则x0（0，+）使 H（x0）=0 进而 H（x）在0，x0）递减，在（x0，+）递增，

59、所以当 x（0，x0）时 H（x）H（0）=0，即当 x（0，x0）时，f（x）h（x），不满足题意，舍去；综合，知 a 的取值范围为（，1；（4 分），则 F（x）=exx2+a，（）依题意得则 F（x）=ex2x0 在（，0）上恒成立，故 F（x）=exx2+a 在（，0）递增，所以 F（x）F（0）=1+a，且 x时，F（x）；若 1+a0，即 a1，则 F（x）F（0）=1+a0，故 F（x）在（，0）递减，F（x）F（0）=0，F（x）在（，0）无零点；（6 分）若 1+a0，即 a1，则使，进而 F（x）在递减，在递增，且 x时，F（x）在上有一个零点，在无零点，故 F（x）在（，

60、0）有一个零点综合，当 a1 时无零点；当 a1 时有一个公共点（8 分）（）证明：由（）知，当 a=1 时，ex1+ln（x+1）对 x0 恒成立，令，则即；（10 分）由（）知，当 a=1 时，对 x0 恒成立，令，则，；故有（12 分）6已知函数 f（x）=lnx（1）证明：当 x1 时，；（2）若函数 g（x）=f（x）+xax2 有两个零点 x1，x2（x1x2，a0），证明：【解答】证明：（1）欲证，需证，K（x）在（1，+）上递增，K（x）K（1）=0，当 x1 时，（2）x1，取=，a（x1+x2）10，g（x）在（0，+）上递减，lnx+xax2=0，故，令 s（x）=1x2