湘教版九年级数学上册第3章教案：3.4 相似三角形的判定与性质

1、第 页/共18页34相似三角形的判定与性质34.1相似三角形的判定第1课时相似三角形的判定(1)教学目标【知识与技能】经历三角形相似的判定定理“平行于三角形的一边的直线与其它两边相交，截得的三角形与原三角形相似”和“两角分别相等的两个三角形相似”的探索及证明过程【过程与方法】让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题解决问题的能力【情感态度】通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学的探索与创造的快乐【教学重点】三角形相似的判定定理及应用【教学难点】三角形相似的判定定理及应用教学过程一、情景导入，初步认知现有一块三角形玻璃ABC,不小心打碎了，只剩下ZA和ZB比

2、较完整如果用这两个角去配制一块完全一样的玻璃，能成功吗？【教学说明】选择以旧孕新为切入点，创设问题情境，引入新课二、思考探究，获取新知1在ABC中，D为AB上任意一点，过点D作BC的平行线DE,交AC于点E.(ADEABC的三个角分别相等吗？分别度量ADE与ABC的边长，它们的边长是否对应成比例？(3)AADE与厶ABC之间有什么关系？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？【归纳结论】平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似如图，D、E分别是ABC的AB与AC边的中点，求证：ADE与厶ABC相似证明：TD、E分别是ABC的AB与AC边的中点，DEBC,ADEsABC.

3、任意画厶ABC与厶AEC,使ZBZB.WC吗？分别度量这两个三角形的边长，它们是否对应成比例？把你的结果与同学交流，你们的结论相同吗？由此你有什么发现？【教学说明】此时，教师鼓励学生大胆猜想，得出命题.如果学生还能从不同角度研究，或许还有新的方法进行证明，要大胆鼓励.【归纳结论】两角分别相等的两个三角形相似如图，在ABC中，ZC=90。，DE丄AB于E,DF丄BC于F.求证：DEHsBCA.证明：VDEXAB,DF丄BC,ZD+ZDHE=ZB+ZBHF=90,而ZBHF=ZDHE,?.ZD=ZB,又VZHED=ZC=90,DEHsABCA.三、运用新知,深化理解1见教材P78例2、P80例4.

4、判断题：TOC o 1-5 h z有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似.()所有的直角三角形都相似.()有一个角相等的两个等腰三角形相似.()顶角相等的两个等腰三角形相似.()【答案】七(2)x;(3)x;(4)73如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上，AG交BC、BD于点E、尸，则厶AGDss.解析：关键是找“角相等”,除已知条件中已明确给出的以外,还应结合具体的图形,利用公共角、对顶角及由平行线产生的一系列相等的角本例除公共角ZG外，由BCAD可得Z1=Z2,所以AGDsAEGC.再Z1=Z4(对顶角)，由ABDG可得Z3=ZG，所以EGCsAEAB.【答案】EGCEAB4.

5、已知：在ABC和厶DEF中，ZA=40。，ZB=80,ZE=80。，ZF=60.求证：ABCADEF.证明：在ABC中，ZA=40,ZB=80,?.ZC=180-ZA-ZB=1804080=60，:在DEF中，ZE=80，ZF=60，AZB=ZE，ZC=ZF，ABCsADEF.（两角对应相等，两三角形相似）5.已知ABC中，AB=AC，ZA=36。，BD是角平分线，求证：ABCsABCD.分析：证明相似三角形应先找相等的角，显然ZC是公共角，而另一组相等的角则可以通过计算来求得.借助于计算也是一种常用的方法.证明：:ZA=36，ABC是等腰三角形，ZABC=ZC=72，又BD平分ZABC，则Z

6、DBC=36，在ABC和厶BCD中，ZC为公共角，ZA=ZDBC=36，ABCsABCD.6已知：如图，在RtAABC中，CD是斜边AB上的高.求证：ACDsAABCsACBD.证明：VZA=ZA,ZADC=ZACB=90。，ACDsABC,(两角对应相等，两三角形相似)同理CBDsABC,ABCsCBDsAACD.【教学说明】学生在独立思考的基础上，小组讨论交流，让学生随时展示自己的想法从而得到提高四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结教师作以补充课后作业布置作业：教材“习题3.4”中第2题教学反思通过这节课的教学，绝大多数学生能运用本节课所学的知识进行

7、相关的计算和证明；少数学生在探究两个三角形相似的定理时，不会用学过的知识进行证明第2课时相似三角形的判定(2)教学目标【知识与技能】经历三角形相似的判定定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”和“三边成比例的两个三角形相似”的探索及证明过程【过程与方法】让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题解决问题的能力【情感态度】在合作、交流、探讨的学习氛围中，体验学习的快乐，树立学习的信心【教学重点】来源:Z。XX。k.Com掌握判定定理，会运用判定定理判定两个三角形相似【教学难点】会准确的运用两个三角形相似的条件来判定两个三角形是否相似教学过程一、情景导入，初步认知问题：

8、(1)相似三角形的定义是什么？三边成比例，三角分别相等的两个三角形相似(2)判定两个三角形相似，你有哪些方法？方法1：通过定义(不常用)；方法2：通过平行线(条件特殊，使用起来有局限性)；方法3：判定定理1，两角分别相等的两个三角形相似【教学说明】引导学生复习学过的知识，承前启后，激发学生学习新知的欲望二、思考探究，获取新知下面我们来探究还可用哪些条件来判定两个三角形相似1我们学习了三角形相似的判定定理1,类似于三角形全等的“SAS”判定方法，你能通过类比的方法猜想到三角形相似的其它判定方法吗?2.任意画厶ABC与氏AEC，使AB=ACABA7Ci分别度量ZB和ZB,ZC和ZC的大小，它们分别

9、相等吗?分别度量BC和BC的长，它们的比等于k吗？改变ZA或k的大小，你的结论相同吗？由此你有什么发现？【教学说明】引导学生画图，并鼓励证明命题归纳结论【归纳结论】两边成比例且夹角相等的两个三角形相似如图，在ABC与DEF中，已知ZC=ZF,AC=3.5cm,BC=2.5cm,DF=2.1cm,EF=1.5cm.求证：ABCDEF.证明：VAC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm，.DF_2.1_3EF_1.5_3AC_5,BC_23_5，DF_EFAC_BC，又VZC_ZF,ABCsADEF.4我们已经学习了三角形相似的2个判定定理，类似于三角形全等的“SSS”

10、判定方法，你能通过类比的方法猜想三角形相似的其他判定方法吗？5你能证明你的结论吗？已知：如图，在ABC和ABC中，AB_AC_BC求证：ABCsABC.【教学说明】引导学生证明.【归纳结论】三边成比例的两个三角形相似.6.如图，在RtAABC和RtAAEC中，ZC_ZC_90,.求证：ABCsABC.分析：已知两边成比例，只需证明三边成比例就可以证明两个三角形相似.可以利用勾股定理来证明.【教学说明】用已学过的知识解题，并通过解题巩固对判定定理的理解.三、运用新知，深化理解1见教材P82例6、P84例8.2如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识

11、别的根据解：(】)ADEsABC，两角相等；ADEsACB，两角相等；(3胚CDEsCAB,两角相等；&)EABsAECD,两边成比例且夹角相等;ABDsACB，两边成比例且夹角相等；(6胚ABDsACB，两边成比例且夹角相等3在ABC和厶ABC中，已知下列条件成立，判断这两个三角形是否相似，并说明理由AB=5,AC=3,ZA=45。，AB=10,AC=6,ZA=45。；ZA=38。，ZC=97。，ZA=38,ZB=45。；AB=2,BC=J2,AC=/10AfB=/2,B/C=1,A/C=；3.解：SAS,相似；(2)AA，相似；SSS,相似.4如图，BC与DE相交于点0问当ZB满足什么条件

12、时，ABCsADE?当AC:AE满足什么条件时，ABCsADE?(学生小组合作交流、讨论，教师巡视引导)解：(1)ZA=ZA,当ZB=ZD时，ABCsADE.(2)VZA=ZA,当AC:AE=AB:ad时，ABCsADE.5如图，在等腰直角三角形ABC中，顶点为C，ZMCN=45。，试说明BCMsANC.解：ACB是等腰直角三角形，ZA=ZB=45。.又VZMCN=45，ZCNA=ZB+ZBCN=45+ZBCN，ZMCB=ZMCN+ZNCB=45+ZBCN.ZCNA=ZMCB,在厶BCM和厶ANC中，JZA=ZB、zcna=zmcbBCMsANC.6.如图，已知ABC、DEB均为等腰直角三角形

13、，ZACB=ZEDB=90。,点E在边AC上,CB、ED交于点F.证明：ABEsCBD.证明：ABC、DEB均为等腰直角三角形，ZDBE=ZCBA=45。，ZDBE-ZCBE=ZCBA-ZCBE.即ZABE=ZCBD，又器=兽=肿,.ABECBD.7.在平行四边形ABCD中，M,N为对角线BD上两点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F.试说明AMDEMB.解：TABCD是平行四边形,ADIIBC,ZADB=ZDBC,ZMAD=ZMEB,MADMEB.果再进一步证明兽=影，则问题得证.证明：ABDACE,ZBAD=ZCAE.又ZBAC=ZBAD+ZDAC,ZDAE=ZDAC+ZCAE,

14、ZBAC=ZDAE./ABDABACACE,ad_AE.在AABC和厶ADE中，ZBACABACZDAE,ad_ae，ABCADE.教学说明】通过练习，使学生能够综合运用相似三角形的判定定理解决问题四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结教师作以补充课后作业布置作业：教材“习题3.4”中第1、3、4题教学反思相似三角形的判定主要介绍了四种方法，从练习的结果来看，不是很理想，绝大部分学生对定理的应用不是很熟练，特别对于“两边对应成比例且夹角相等”不能灵活运用，夹角也不能准确找到我想问题的主要原因在于学生对图形的认知不深，对定理的理解不透，一味死记结论不能理解每

15、个量所表示的含义我想在下一阶段中应培养他们认识图形的能力，合情推理的能力，争取这方面有所提高来源:学_科_网34.2相似三角形的性质教学目标【知识与技能】理解掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）及相似三角形的面积、周长比与相似比之间的关系【过程与方法】对性质定理的探究，学生经历观察猜想论证归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度【情感态度】在学习和探讨的过程中，体验从特殊到一般的认知规律【教学重点】相似三角形性质的应用【教学难点】相似三角形性质的应用教学过程一、情景导入，初步认知1什么叫相似三角形？相似比指的是什么？2全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多

16、少？3相似三角形的判定方法有哪些？【教学说明】复习相关知识，为本节课的学习做准备二、思考探究，获取新知1根据相似三角形的概念可知相似三角形有哪些性质？【归纳结论】相似三角形的基本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例2.如图，ABC和厶ABC是两个相似三角形，相似比为k,其中，AD、AD分别为BC、BC边上的高，那么，AD和AD之间有什么关系？证明：ABCsArBC，:.ZB=ZB，又:ADLBC，AD丄BC，:,ZADB=ZADB=90。，:.ABDsaBD，:.AB:AB=AD:AD=k.你能得到什么结论？【归纳结论】相似三角形对应边上的高的比等于相似比.3如图，AB和厶ABC是两个相

17、似三角形，相似比为k,求这两个三角形的角平分线AD与AD的比.解：ABCsABC，.ZB=ZB，ZABC=ZABC，:AD，AD分别是ABC与卜ABC的角平分线，.ZBAD=ZBAD，ABDsABD.（有两个角对应相等的两个三角形相似）.AD_ABAD_AB_根据上面的探究，你能得到什么结论？【归纳结论】相似三角形对应角平分线的比等于相似比.在上图中，如果AD.AD分别为BC、BC边上的中线，那么，AD和AD之间有什么关系？你能证明你的结论吗？归纳结论】相似三角形对应边上的中线的比等于相似比如图，ABCsAABC,=k,AD、AD为高线.这两个相似三角形周长比为多少？这两个相似三角形面积比为多

18、少？分析：(i)由于abcsaAbbc,所以AB:AAB=BC:BC=AC:AAC=k.由合比的性质可知，(AB+BC+AC):(AABA+BC+AACA)=k.(2)由题意可知，因为abdsaAbada,所以AB:AABA=AD:AADA=k.因此可得,ABC的面积:ABC的面积=(ADBC):(AADABACA)=k2.【归纳总结】相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.【教学说明】通过这两个问题,引导学生通过合情推理,得出结论.学生可以通过合作交流,找出解决问题的方法.三、运用新知,深化理解1见教材P86例9、P88例11、例12.2已知ABCsaAbACA，BD和BADA

19、是它们的对应中线，且AC=|,BADA=4,则BD的长为.分析：因为ABCsAABACA,BD和BADA是它们的对应中线，根据对应中线的比等于相似比，-BD,=A，即竽=2，BD=6.【答案】63.在ABC和厶DEF中，AB=2DE,AC=2DF,ZA=D，如果ABC的周长是16,面积是12,那么DEF的周长、面积依次为()A.8，3B.8，6C.4，3D.4，6分析：根据相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方可得周长为8，面积为3，所以选A.【答案】A已知ABCsAABC且ABC:ABC=1:2,则AB:AB=.分析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可求AB：AB=1：2【

20、答案】1：-卩把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的2，那么边长应缩小到原来的.分析：根据面积比等于相似比的平方可得相似比为亨，所以边长应缩小到原来的乎.【答案】如图，CD是RtAABC的斜边AB上的高.则图中有几对相似三角形；若AD=9cm，CD=6cm，求BD;若AB=25cm，BC=15cm，求BD.解:(1)VCD丄AB,ZADC=ZBDC=ZACB=90.在厶ADC和厶ACB中,ZADC=ZACB=9Q,ZA=ZA,:.ADCACB,同理可知，CDBsAACB.ADCsCDB.所以图中有三对相似三角形.(2)MACDsACBD,AD_CDcdbd，96即6_敬BD_

21、4cm.(3)MCBDsAABC,BC_BD15_BDBA_BC，*25_15，BD_15x15259cm.7如图，梯形ABCD中，ABCD,点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G.求证：CDFsMGF;当点F是BC的中点时，过F作EFCD交AD于点E,若AB_6cm,EF_4cm，求CD的长.证明：在梯形ABCD中，ABCD,ZCDF_ZFGB,ZDCF_ZGBF,CDFsbGF.由(1)知厶CDFsBGF,又F是BC的中点,BF_FC,CDFKBGF,DF_FG,CD_BG.来源:1ZXXK又、：EF/CD,AB/CD,EFHAG，得2EF_AB+BG.BG=2EFAB=2x46=2,CD=BG=2cm.8已知ABC的三边长分别为5、12、13,与其相似的ABC的最大边长为26,AABC的面积S.分析：由ABC的三边长可以判断出ABC为直角三角形，又因为ABCsAAABACA，所以AABAC也是直角三角形，那么由AABAC的最大边长为26,可以求出相似比，从而求出AABACA的两条直角边长，再求得厶AABACA的面积