线性代数试题套卷和答案55962

1、 PAGE 3 / 8专业年级：学号：姓名：线性代数 A 卷得题分 号 评卷人一二三总 分总分人复分人得 分一、单项选择题本大题共5 小题. 每小题 5 分. 共 25 分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的. 请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1设 Am n 为实矩阵 , 则线性方程组 Ax0 只有零解是矩阵( ATA) 为正定矩阵的 充分条件；必要条件；充要条件；无关条件。2已知1,2 ,1,2,3 为四维列向量组 . 且行列式 A1 ,2 ,3 ,14 .B1,2 ,3 ,21 . 则行列式AB 40 ； 16；3 ； 40 。设向量组1 ， 2 ， s

2、 ( s2 ) 线性无关 . 且可由向量组1 ， 2 ， s 线性表示 . 则以下结论中不能成立的是 向量组1 ， 2 ， s 线性无关； 对任一个j . 向量组j ， 2 ， s 线性相关； 存在一个j . 向量组j ， 2 ， s 线性无关； 向量组1 ， 2 ， s 与向量组1 ， 2 ， s 等价。对于 n 元齐次线性方程组Ax0 . 以下命题中 . 正确的是 若 A 的列向量组线性无关 . 则 Ax 若 A 的行向量组线性无关 . 则 Ax 若 A 的列向量组线性相关 . 则 Ax 若 A 的行向量组线性相关 . 则 Ax0 有非零解；0 有非零解；0 有非零解；0 有非零解。设 A

3、 为 n 阶非奇异矩阵 (n2) . A 为 A 的伴随矩阵 . 则( A 1)| A | 1A ；( A 1 )| A | A ；( A 1 )| A | 1 A；( A 1 )| A | A 1 。1得分评卷人二、填空题本大题共5 小题 . 每小题 5 分. 共 25 分请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。列向量11是矩阵 A 12125a31b2的对应特征值的一个特征向量 .则 . a . b 。设 n 阶向量(x ，0，0，x ) T . x0 ；矩阵 AET ,且A 1E1xT . 则 x。已知实二次型f (x x , x )x 24x22 x22ax x2 x x正定

4、 , 则常数 a 的1,231231223取值范围为。设矩阵 A(a i j ) 3 3 .Ai j 是 | A |中元素ai j的代数余子式 .a i jAi j .a 112a 123a 13 . 已知a 110 . 则 a 11。10设A212.1. 已知向量 A与线性相关 . 则 a 。3041122a得分评卷人三、分析计算题 11求方程f (x)0的根.其中f ( x)224x25323213261x21 ；12 计算 n 阶行列式 Dx1 x1x1Tyx1x2x2yx2x2xn 1yxn 1xn 1xn 1yxn xn。xnxn设实向量a1a2a3. 其中 a10 .T3 . 矩阵

5、 AET试说明矩阵 A能相似于对角阵；求可逆矩阵 P . 使P 1 AP为对角阵 .并写出此对角阵；求行列式 | AE |。已知线性方程组kx1 kx1(k1) x2kx2x31x32 . 试讨论：2kx12(kx2kx32 k 取何值时 . 方程组无解； k 取何值时 , 方程有唯一解 . 并求出其解； k 取何值时 , 方程有无穷多解 . 并求出其通解。设实二次型f (x1，x2，x3)x25x 24x1x25 x24 x1 x38 x2x3 .123求：正交变换xQ y . 将 f 化为标准型。设 R3 的基为111 .21111 .30 。00 试由1 ， 2 ，构造R3 的一个标准正

6、交基1 ， 2 ， 3 ； 求由基1 ， 2 ， 3 到1 ， 2 ，3 的过渡矩阵 P ； 已知向量123 . 求向量在基1 ， 2 ， 3下的坐标。线性代数期末试卷 A 参考答案一、选择题1.2.3.4.5.二、填空题6 -1,-3,0； 7.1； 8.三、计算题| a |7 / 2； 9 6 ； 10.1。71f ( x)5(x 21)( x 29) . x1. 1.3. 3；4 分2D( 1)n (n 1)2( ynix ) yni 1。10 分1A 为实对称矩阵 . 所以相似于对角阵。 T因为 A(ET )(T)2. 所 以 12 是 A 的特征值。又秩 r (T )1 . | EA

7、 | |0 . 所 以 231 是 A 的另两个特征值。3设( x1 , x2, x )T为 A 对 应 231 的特征向量 . 则由(,)a1x1a2 x2a3 x30 . 得 A 对应 231 的线性无关的特征向量11(a 2 ,a , 0)T ,( a3, 0 ,a ) T . 令 P(,1 ,2 )a1a2a3a 2a10a30a12则 P 1AP2001010001。AE 的特征值为 2 1= 1.1+1=2.1+1=2.因此 | AE |4 。 13 k0 时. r ( A)2r ( A )3 . 无解2 k0， k2 时. r ( A)r ( A)3 . 唯一解(x , x ,

8、x )T123( 2kkx101 P(,3)1 (1,2,3)3 210602 22021361332613210注：本题答案不唯一 . 如100.210.3线性代数 B 卷专业年级：学号：姓名：4 / 8分, 1 , 0) T k2 时.r ( A)r ( A)2 . 无穷多解,通解x21c0。 x30222153 5314 Q053 523； fy 21y2210 y 2 。 14253 5315 1111,2111,3111.3 分316220123216 分10 分01110. 则 P110 .1100 PAGE 8 / 8得题分 号评卷人一二三总 分总分人复分人得 分一、单项选择题本

9、大题共5 小题. 每小题 5 分. 共 25 分在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的. 请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。设 A( aij ) 33 的特征值为 1.2.3.Ai j 是行列式| A |中元素ai j 的代数余子式 .则 | A | 1( A11A22A33) a.21 ；6b.11 ；6c.11 ；d. 6。001a11a12a132已知P010，Aaaa，若P m AP nA . 则以下选项中正确的是100a31a32a33a.m5 ，n4 ； b.m5 ，n5 ；c.m4 ，n5 ；d.m4 ，n4 。3 n 维向量1,2,s(3sn)

10、线性无关的充要条件是a存在不全为零的数k1, k2 ,k s . 使 k11k22kss0 ；32122231 ,2 ,s中任意两个向量都线性无关；1 ,2 ,s中任意一个向量都不能用其余向量线性表示；1 ,2 ,s中存在一个向量 . 它不能用其余向量线性表示。设A ，B 是正定矩阵 . 则以下矩阵中 . 一定是正定矩阵为其中k1，k 2为任意常数A B； b.AB ； c.A B ； d.k1 Ak2 B 。已知矩阵 A2a222aa22. 伴随矩阵 A0 . 且 A x0 有非零解 . 则a.a2 ； b.a2 或 a4 ；c.a4 ； d.a2 且 a4 。得分评卷人二、填空题本大题共5

11、 小题 . 每小题 5 分. 共 25 分请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。01200000 .3336设行列式DAi j 是 D 中元素 ai j 的代数余子式 . 则Ai j。i 1 j 17 设 A 是 实 对 称 可 逆 矩 阵 .则 将fX T AX化 为fY T A 1Y 的 线 性 变 。8设矩阵A1231431x 5有特征值 6.2.2.且 A 能相似于对角阵 . 则 x 。9已知0 是 n 维实列向量 . 矩阵 AEkT . k 为非零常数 . 则 A 为正交矩阵的充分必要条件为 k。a21a22a231则线性方程组 AT xb 的解是。得分评卷人三、分析计算

12、题 x1x2xn 1xyx1x2xn 1ynxn11计算 n 阶行列式：Dx1x2yx2x1yxn 1xn 1xnxn换 为111110.设Aa1a2a3. b1. 其中 ai 互不相同 . i1,2,3 .。12已知线性方程组x1x2x1x1ax 21x31 .x3b1 试问：常数a，b 取何值时 . 方程组有无穷多解、唯一解、无解？2 当方程组有无穷多解时. 求出其通解。11a113设A1a1.1. 已知线性方程组Ax有解但不唯一。试求：a1121 a 的值；2 正交矩阵Q ，使得QT AQ 为对角矩阵。1000010010100308设矩阵 A 的伴随矩阵 A*. 且 ABA 1BA 1

13、3 E 。求矩阵 B 。已知线性空间R3 的基1 ， 2 ，3 到基1 ， 2 ，3 的过渡矩阵为 P . 且110.2101.3012 ； P2221322430试求： 基1， 2 ，3 ； 在基1,2 ,3 与1 ,2 ,3 下有相同坐标的全体向量。线性代数期末试卷 B 参考答案一 选择题1.b2.d3.c4.a5.c二填空题 6. 11；7.XA 1Y ；8. x2 ；9 k2|2T； 10.100；三 计算题11.D( 1)n( n 1)2yn1 ( ynxi )i 1。 1 A110101100a20b1a2,b无穷多解； a唯一解； a2,b1 无解 5 分x12x2 x3110k1 ,k01R10 分解：1 方程组 AX有解但不唯一 . 所以r ( A)r ( A )3 . 故 a2 。3 分2 特征值为13 .23 .30 。6 分111Q206231T. QAQ300300。10 分1613100026314由 | A* | A |n1 . 有 | A |38 . 得| A |2 。 3 分用 A*. A 左右乘方程的两端. 得 (2 EA* )B6 E6 分B6(2