2006年高考热点问题二平面向量与三角、几何的综合问题

1、2006 年高考热点问题（二） 平面向量与三角、几何的综合问题平面向量是中学数学的新生板块.注意到平面向量的与工具的特征，平面向量“下放”到中学数学，不仅给予中学数学中一类全新的知识与习题，而且赋予中学数学一种全新的数学和数学方法，给予高中数学习题一套用于装饰或掩饰的时尚的衣裳.三角函数、几何或其它一些习题，由此具有了新的面孔或外衣；于是，运用向量装饰“已知”或“目标”的三角函数或几何问题应运而生，并且成为命题的一种时尚，成为高考备考或命题的另一热点问题.一、向量的共线与垂直犹如平面几何中的平行与垂直，平面向量中的共线与垂直，亦是向量代数中的重点问题，也是这一单元在各级中题热点.只是在向量代数

2、中，（向量的）平行等价于（向量的）共线，这一“名不副实”的内涵使解题增加了凶险.的例 1、（1）已知，且它们均为向量，则AOB 的平分线上的向量为（）A、B、C、D、（2）非零向量，点B 关于所在直线的对称点为B1，则向量为（）A、B、C、D、分析：（1），AOB 的平分线所在向量与共线.与共线，即又由得于是由，得应选C；，（2）以与为邻边作平行四边形 OB1CB，则与同向，且四边形 OB1CB 为菱形，令BOA=，则，应选A。例 2、（1）已知平面上直线 l 的方向向量，点 O（0，0）和 A（1，-2）在 l 上的射影分别为和，其中 =（则）A、B、C、2D、-2（2）已知向量，满足：对任

3、意tR 恒有，则有（）A、B、C、D、分析：（1）注意到，故，又由数量积的几何意义知等于与在的方向上的投影的乘积.，即注意到这里，与反向，又由题设知，故有，应选D；（2）从已知不等式的等价变形切入，去认识向量，的关系，由已知不等式得整理得注意到对任意都成立，即即=1于是根据式检验各选项，可知应选C例 3、在直角坐标平面中，已知点 P1（1，2），P2（2，22），Pn（n，2n），其中 nN*，对平面上任一点 A0，记A1 为A0 关于点 P1 的对称点，A2 为A1 关于点 P2 的对称点，An 为An-1 关于点Pn 的对称点.（1）求向量的坐标；（2）当点 A0 在曲线C 上移动时，点A

4、2 的轨迹是函数的图象，其中是以 3 为周期的周期函数，且，求以曲线C 为图象的函数在（1，4上的当时，式；（3）对任意正偶数n，用n 表求向量的坐标.解：（1）设，则有A2 点坐标为（2）解法一：（借重两曲线对应函数间的联系），由（1）得的图象是由曲线C 向右平移 2 个后，再向上平移 4 个得到. 曲线 C 是函数的图象，其中是以 3 为周期的周期函数，且当时， 当时，.解法二：（由点坐标的联系切入）：设，则由（1）得当时，（此时），当时，有，于是由得所求函数为（）（3）当n 为正偶数时，注意到=二、平面向量与三角形向量的加法与减法的几何意义展示了向量与三角形的天然联系.因此，在向量的加法

5、、减法乃至数乘运算的几何意义的背景下，三角形的形状以及三角形的“心”的判断与应用，三角形中有关线段间的联系与表示，便成为平面向量的基础题型.例 1、（典型问题之一）设点O 为ABC 所在平面内一点（1）若A外心，则O 为ABC 的（）B内心C垂心D重心（2）若A外心，则O 为为ABC 的（D重心）B内心C垂心（3）若动点P 满足，则点P 的轨迹一定通过ABC 的（）A外心B内心C垂心D重心（4）若动点P 满足，则点P 轨迹一定通过ABC 的（）A外心B内心C垂心D重心分析：（1）借助向量加法分析已知条件，以形性质知，E 为BC 和 OD 中点.、为邻边作平行四边形OBDC，并设ODBC=E，则

6、由平行四边且由、得A、O、D、E 四点共线且于是由、知 O 为ABC 的重心，应选D；（2）由得同理，于是可知，O 为ABC 的垂心，应选C；（3）由已知得令，则是上的向量，令，则是上的向量。由得：,则点Q 在角A 的平分线上令又由知的与共线且同向（或）动点P 在角A 的平分线上点P 的轨迹一定通过 ABC 的内心，应选B；（4）注意到的几何意义，=0又由已知的得：动点P 在BC 边的高线上动点P 的轨迹一定通过 ABC 的垂心，应选C。点评：品味各小题，从中参悟解题思路以及三角形的各心的向量特征。例 2、（典型问题之二）：（1）（2005卷A）ABC 的外接圆圆心为O，两条边上的高的交点为H

7、，数m.，则实（2）设 O 为ABC 的三条内角平分线的交点，当 AB=AC=5 时，BC=6 时，的值为.，则（3）若O 为ABC 内一点，且满足，则ABC 的形状为（）A、等腰B、正C、RtD、钝角分析：（1）由题设知，O 为ABC 的外心，以作邻边作平行四边形 OADC，则平行四边形 OADC 为菱形，、且，即的终点必在 AC 边的高线上同理，的终点必在 AB 边的高线上由、得的终点为ABC 的垂心Hm=1点评：从O 为ABC 的外心切入，认知向量，此为本题求解的关键.（2）这里O 为ABC 的内心（ABC 的内切圆圆心）由题设易得SABC=12，故内切圆半径为邻边作平行四边形ABDC，

8、则平行四边形 ABDC 为菱形，且 AD=8以、由题设得，从而得（3）以、为邻边作平行四边形 OBDC，并设 BCAD=E，则E 为BC 中点，且，（即）由题设得注意到E 为BC 中点，故得ABC 为等腰三角形，应选A例 3、（1）（2004浙江）已知平面上三点A、B、C 满足的值等于.，则（2）已知 P 是ABC 内一点，且满足，记ABP、BCP、ACP 的面积依次为 S1，S2，S3，则S1：S2：S3=.（3）在ABC 中，O 为中线的最小值为.上的一个动点，若，则分析：（1）由题设知ABC 为 Rt，并且 ABBC；故得原式（2）如图，设平行四边形PDEF 的面积为S则，（3）这里确有

9、“乱花渐欲迷人眼”的感觉，此时，更要注意“乱生春色谁为主”辩析主要，向主要的已知条件先靠拢.事实上：这里（刻意沟通与的联系），所求最小值为-2 .例 4、（2004）如图，在 RtABC 中，已知 BC=a ，若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值.解：以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在直线为x 轴，y 轴建立直角坐标系（如图）设，则A(0,0)，B(c,0)，C(0,b)，且又设P(x,y)，则 Q(-x,-y)，又于是由代入得故当时，即（即与方向相同）时，最大，其最大值为 0.点评：对于平面向量的比较复杂，“坐标法”是克题制胜的法宝，请

10、注意发挥它的作用.三、平面向量与三角函数向量的数量积的定义，奠定了向量与三角函数之间密切关系的基础.于是，向量与三角函数这种旧时“娃亲”式的结合，导致二者之间不甚“”的关系的建立.对于向量，三角函数是它赖以生存与发展的土壤；对于三角函数，向量是它对外展示的一种“衣裳”，然而，这种衣裳或包装，却会创意出“乱花渐欲迷人眼”的情境，令难识“庐山”.例 1、已知ABC 中，边 AB，BC 的中点分别为 D，E.（1）判断ABC 的形状；（2）若，求sin2B 的值.解：（1）由题设得又在ABC 中，即，即ABC 为直角三角形（2）运用坐标法，如图建立平面直角坐标系.设A(a,0)，B(0,b)，则，由

11、得，于是有点评：坐标法，常常是解决向量垂直问题的理想解法.例 2、已知向量，其中 A，B，C 为ABC 的内角，且A，B，C 依次成等差的取值范围.数列，求解：由题设得 2B=A+C又A+B+C=且A，B，C（0，），由得而由得因此由得所求的取值范围为点评：在ABC 的内角A、B、C 依次成等差数列的条件下，是明显的.而是比较隐蔽的，解决此类问题要注意这一范围的制约作用.例 3、已知向量，且，求的值.解：由题设得，于是由得例 4、在ABC 中，a、b、c 分别为角A、B、C 的对边，若，且（1）求角A 的度数；（2）当，时，求边长b 和角B 的大小；解：（1）这里，即又 ，（2）即bc=2又由

12、 得 b+c=3于是由解得或(i) 当b=1 时，；（ii）当 b=2 时，.故得于是可知，所求为 b=1或b=2，例 5 、 设，若存在实 数和角 ，使 向 量，且（1）试求函数的关系式；（2）令，求出函数的极值；解：（1）由题设得又，代入得即（2）由得求导得：令得， 当时，当时，当1 时，当时，即时，有极大值；当，即时，有极小值。四、平面向量与几何几何的基础与方略是坐标法，平面向量的重要表示与研究途径也是坐标法，平面向量与几何之间这种“艺出同门”的亲缘关系，使得这两个小学科之间便于沟通转化，易于融合与嫁接，于是，众多带有“合二为一”特征的习题应运而生：其一：以向量包装的几何问题，认知并转换

13、这一包装，问题还是那“旧时模样”；其二：几何的方法与策略在向量问题研究中的应用，对此，虽然往往以几何问题为主，但二者融洽、综合的味道要醇厚得多，通过以下例题，研究用向量表示的条件或目标的认知与转化，有关题，放至热点问题三。几何认知的面的问例 1、已知 O 为坐标原点，E(-1,0)，F(1,0)，点 A、P、Q 运动时满足：，（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设M、N 是C 上的任意两点，若，求直线 MN 的方程；解：（1）Q 为线段 AF 的中点PQAF由得 PQ 为线段 AF 的垂直平分线，A、E、P 三点共线又由得，P 为 AF 的垂直平分线与 AE 的交点由得即：注意到点P 轨迹是中心在原点，以E、F 为焦点，并且 2a=4，c=1 的椭圆所求点 P 的轨迹方程为；（2）设，则由得又由点M、N 在C 上得代入得4得，即将代入得从而有直线 MN 的斜率注意到故得直线 MN 的方程为或所为直线 MN 的方程为或或或（由同学完成）。例 2、如图，B（-c,0）,C(c,0)，AHBC，垂足为 H，且（1）若，c=2，求；（2）设D 分有向线段的比为-4，A、D 同在以B、C 为焦点的椭圆上，求椭圆的离心率；分析：（1）在题设与图形之下，求，即求，故解