聚能教育2023届高三上学期第一次质量检查数学试题

1、试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页试卷第 =page 4 4页，共 =sectionpages 4 4页安徽省蚌埠市2023届高三上学期第一次质量检查数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1已知集合，则（）ABCD2命题是命题的（）条件A充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要3在中，O是的外心，则的值为（）A8B6C4D34函数在区间上的最大值与最小值之和为（）A1BC2De5在某市一次高三质量检测中，理科学生共有8600人，他们的数学成绩服从正态分布如果李明同学在这次考试中的数学成绩是115分，那么他的数学成绩大约排在全市的名次为（）附

2、：若，则，A98B196C392D13656如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物MN的顶部M处的仰角分别为，且，则建筑物的高度为（）ABCD7已知双曲线C：过点，则双曲线C的顶点到其渐近线的距离为（）A1BCD28如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为周髀算经作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色、相邻区域颜色不同，则区域不同涂色的方法种数为（）A360B400C420D4809已知正方体的棱长为2，中点分别为，若过的平面截该正方体所得的截面是一个五边形，则该五边形周长的最大值为（）ABCD10抛物线的焦点为，准线为，点在上，

3、线段与抛物线交于点，若，点到轴的距离为2，则的值是（）AB4CD211已知，且满足，则（）ABCD12在一些山谷中有一种奇特的现象，在一处呼喊一声 ，在另一处会间隔听到两次呼喊，前一次是声音直接传到听者耳朵中，后一次是声音经过山壁反射后再传到听者耳朵中.假设有一片椭圆形状的空旷山谷，甲、乙两人分别站在椭圆的两个焦点处，甲呼喊一声，乙经过2s听到第一声，又过3s听到第二声，则该椭圆的离心率为（）ABCD二、填空题13已知i是虚数单位,若,则_14某班班会准备从含甲、乙、丙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一个发言，且甲、乙都发言时丙不能发言，则甲、乙两人都发言且发言顺序不相邻的概率为

4、_15已知等差数列和公比的等比数列满足：，则_.16已知函数，若且，则的最小值为_.三、解答题17设正项数列的前项和为，且满足(1)求，并证明为等比数列；(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.18在 中内角中A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，D为BC边上一点.(1)求角B；(2)若，试求的最大值.19为了研究某果园的一种果树的产量与种植密度的关系，某中学的数学兴趣小组在该果园选取了一块种植区域进行了统计调查，他们将每株果树与其直线距离不超过1米的果树株数x记为其密度，在记录了该种植区域内每株果树的密度后，从中选取密度为0，1，2，3，4的果树，统计其产量的平均值y（单位：kg

5、），得到如下统计表：x01234y15121198(1)小组成员甲认为y与x有很强的线性相关关系，请你帮他利用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；(2)小组成员乙提出：若利用回归方程计算的平均产量的估计值与实际的平均产量（，）满足：，则应该修正模型，寻找更合适的函数拟合x与y的关系统计知种植密度分别为5，6的果树的平均产量为5.5kg、4.4kg，请你以这七组数据为依据判断（1）得到的回归方程是否需要修正？参考公式：，20如图，四边形为正方形，E，F分别为和的中点，以为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且平面.(1)证明：；(2)若，求三棱锥的体积.21设圆与圆，动圆C与圆外切，与圆内切(1

6、)求动圆C的圆心轨迹L的方程；(2)已知点，P为L上动点，求最小值22已知函数.证明：(1)当，不等式恒成立；(2)对于任意正整数，不等式恒成立（其中为自然常数）答案第 = page 1 1页，共 = sectionpages 2 2页答案第 = page 13 13页，共 = sectionpages 13 13页参考答案：1D【分析】由对数的性质化简集合，再由补集的定义求解即可【详解】由得，所以，又因为，所以故选：D2D【分析】利用反例和不等式的性质来分别判断充分性和必要性即可【详解】解：当时，故不满足充分性，当时，故不满足必要性，故命题是命题的既不充分也不必要条件故选：D【点睛】本题考查

7、充分性和必要性的判断，考查不等式的性质，是基础题3C【分析】根据圆的性质，结合平面向量数量积的定义、运算性质进行求解即可.【详解】过点O分别作于点D，于点E，根据圆的性质可得D，E分别为，的中点，.故选：C.4A【分析】先化简得到，构造函数，由为奇函数知最大值与最小值之和为0，进而求出的最大值与最小值之和.【详解】，令，易知定义域关于原点对称，故为奇函数，在区间上的最大值与最小值之和为0，故函数在区间上的最大值与最小值之和为1.故选：A5B【分析】利用正态分布曲线的对称性即可求解.【详解】由理科学生的数学成绩服从正态分布可知，.而115=95+20，又，所以，又，所以该学生的数学成绩大约排在全

8、市的名次为故选：B.6B【分析】本题先用表示出，再在三角形、三角形中表示出、，最后建立方程求解即可.【详解】解：由题意有：底面，在直角三角形、直角三角形、直角三角形中，在三角形中，由余弦定理可得：，在三角形中，由余弦定理可得：，解得：.故选：B.【点睛】本题考查利用余弦定理解决实际求高度问题，是基础题.7A【分析】根据点求得，求得双曲线的渐近线，结合点到直线的距离求得正确选项.【详解】因为点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线C的标准方程为，双曲线焦点在轴上，所以双曲线的一个顶点为，一条渐近线为，即，顶点到其一条渐近线的距离为.故选：A8C【分析】根据题意，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的

9、涂色方法数目，由分步计数原理计算答案.【详解】根据题意，5个区域依次为A、B、C、D、E, 如图，分4步进行分析：对于区域A，有5种颜色可选，对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选;对于区域C，与A、B区域相邻,有3种颜色可选;,对于区域D、E,若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色可选，E区域有2种颜色可选，则区域D、E有种选择,则不同的涂色方案有种;故选：C【点睛】本题主要考查排列、组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于中档题，9A【解析】将面展开与面处于同一平面要使最大,则沿面切才能保证五点共面，展开图计算求解即可.【详解】将面展开与面处于

10、同一平面要使最大,则沿面切才能保证五点共面，在中,此时,又.周长故选:A10C【分析】画出图形，通过向量关系，转化为：，通过求解三角形，结合抛物线的性质转化求解即可【详解】解：抛物线的焦点为，准线为，点在上，线段与抛物线交于点，若，过作于，则，所以，设准线与轴交于，则，因为点到轴的距离为2，所以，解得，故选：C【点睛】本题考查抛物线几何性质、平面向量的线性运算，熟练掌握抛物线的几何性质是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题11C【分析】先对已知条件取对数后得到，.根据式子结构，构造函数，利用导数判断单调性，比较大小.【详解】由得即.同理得：，.令则.故在上单调递增，上单调递减.

11、所以.故选：C.12B【分析】由题，由椭圆的对称性，结合声波的反射定律，可能的传播路径为、，比较对应的传播路径长度，即可区分第一声、第二声的路径，即可由路程和时间列方程，求解出，即【详解】如图，甲在，乙在，直接传播路径有，即，由椭圆的对称性，结合声波的反射定律，声音经过A点反射，传播路程为，即；声音经过B反射，传播路程为，即，因为，所以，故第一声为，第二声为，因为声音速度恒定，故，故，故选：B13【详解】由 即答案为14【分析】根据题意利用排列组合首先求出基本事件总数，再求出要求的条件所包含的基本事件个数，利用古典概型即可求得结果.【详解】某班班会准备从含甲、乙、丙的6名学生中选取4人发言，要

12、求甲、乙两人至少有一个发言，且甲、乙都发言时丙不能发言，所以基本事件总数，甲、乙两人都发言且发言顺序不相邻包含的基本事件个数，所以甲、乙两人都发言且发言顺序不相邻的概率为.故答案为：.151409【分析】设公差为，则由题意可得，求出，从而利用等差数列和等比数列的求和公式可求出结果【详解】设公差为，由题可知，因为解得，所以，故答案为：140916#【分析】根据函数解析式画出函数图形，即可得到，再根据将转化为，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值，即可得解；【详解】解：由，可得函数图象如下所示：因为且，所以，且，所以，令，则，所以当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，所以

13、；故答案为：17(1)，证明见解析(2)【分析】（1）由题意可得，结合条件可得，验证的情况，从而得出；由的递推关系可得，从而可证明.（2）由（1）得出，从而将问题转化为对任意的，不等式恒成立，令，分析出的单调性，从而可得出答案.(1)因为正项数列的前项和，当时，得，当时，由-得，化简得，因为为正项数列，所以，则因此数列是以2为首项，以2为公差的等差数列，因此；，所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列；(2)由（1）知，由对任意的，所以对任意的，所以即对任意的，不等式恒成立，令，则，当时，此时，即单调递增；当时，此时，即单调递减；又，所以，当为偶数时，即，因此只需；当为奇数时，即，因为为奇数

14、时，因此只需综上.18(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理边化角，把转化为关于角的问题，再借助及即可求出角B；（2）方法一：由（1）可得为正三角形，在中利用正弦定理可得，再借助辅角公式求出 及可得的最大值.方法二：在中利用余弦定理及基本不等式可得，所以的最大值为8.(1)由及正弦定理，得因为，所以.因为，所以，即.又，所以.(2)方法一：因为，所以为正三角形.在中， ,由正弦定理，得.所以，.因为，所以，.当，即时，取到最大值8.方法二：在中，（当且仅当时等号成立）19(1)(2)不需修正【分析】（1）由已知数据利用最小二乘法的公式可求得线性回归方程；（2）代入所求得线性回归方程，计算可得结

15、论.(1)解： ，故，所以得线性回归方程为：；(2)解：令，代入，分别得，从而，故不需修正20(1)证明见解析(2)【分析】（1）由已知可得，及平面平面，可证得平面，即得，则，进而可证得平面，即可证得结果.（2）过P作，垂足为Q，则平面，利用等体积转化，计算可得结果.(1)证明：因为四边形为正方形，E，F分别为和的中点，所以，又平面平面，且交线为，所以平面，即.又因为，所以.又，所以平面，又在平面内，故.(2)过P作，垂足为Q，则平面.因为，所以，所以，故.21(1)动圆C的圆心轨迹L的方程为；(2)最小值为【分析】（1）根据已知条件先求出两圆的圆心和半径，设圆圆心坐标为，半径的为，由题设条件知，所以圆心的轨迹是以为焦点的双曲线的右支；所以轨迹方程可求；（2）根据双曲线的定义知，把转化为，当三点共线时，有最