四边形经典题型整理

1、四边形经典题型1、下列条件中，能确定一个四边形是平行四边形的是（ ）A、一组对边相等 B、一组对角相等 C、两条对角线相等 D、两条对角线互相平分2、（2017温州）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为 S 的小正方形 EFGH已知 AM 为 eq oac(,Rt)ABM 较长直角边，AM=2EF，则正方形 ABCD的面积为（ ）2 题图 3 题图A、12S B、10S C、9S D、8S3、在探索“尺规三等分角”这个数学名题的过程中，曾利用了如图，该图中，四边形 ABCD 是矩形，E 是 BA 延长线上一点，F 是 CE 上一点，ACF=A

2、FC，FAE=FEA。若ACB=21，则ECD 的度数是（ ）A、7 B、21 C、23 D、244、（2017嘉兴）一张矩形纸片，已知 ， ，小明按所给图步骤折叠纸片，则线段长为（ ）A、 B、 C、 D、5、（2017嘉兴）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， 若平移点到点 ，使以点 ， ， ，为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（ ）5 题图 6 题图A、向左平移 1 个单位，再向下平移 1 个单位 B、向左平移个单位，再向上平移 1 个单位C、向右平移个单位，再向上平移 1 个单位 D、向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位6、（2017丽水）如图， eq oac(,在)eq

3、 oac(, )ABCD 中，连结 AC，ABC=CAD=45，AB=2，则 BC 的长是（ ）A、 B、2 C、2 D、47、下列条件不能判定四边形 ABCD 是平行四边形的是（ ）A、ABCD，ADBC B、AD=BC，AB=CD C、ABCD，AD=BC D、A=C，B= D8、如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 E，CBD=90，BC=4，BE=ED=3，AC=10，则四边形 ABCD 的面积为（ ）8 题图 9 题图A、6 B、12 C、20 D、249、能判定四边形 ABCD 是平行四边形的题设是（ ）A、AD=BC，ABCD B、A=B，C=D C、AB=

4、BC，AD=DC D、ABCD，CD=AB 10、已知四边形 ABCD，下列说法正确的是（ ）当 AD=BC，ABDC 时，四边形 ABCD 是平行四边形当 AD=BC，AB=DC 时，四边形 ABCD 是平行四边形当 AC=BD，AC 平分 BD 时，四边形 ABCD 是矩形当 AC=BD，ACBD 时，四边形 ABCD 是正方形11、四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）12 题图 13 题图 14 题图 15 题图A、ABDC，ADBC B、AB=DC，AD=BC C、AO=CO，BO=DO D、ABDC，AD=BC 12

5、、（2017宁波）如图，四边形 ABCD 是边长为 6 的正方形，点 E 在边 AB 上，BE4，过点 E 作 EFBC，分别交 BD、CD 于 G、F 两点若 M、N 分别是 DG、CE 的中点，则 MN 的长为 （ ）A、3 B、 C、 D、413、（2017台州）如图，矩形 EFGH 四个顶点分别在菱形 ABCD 的四条边上，BE=BF， eq oac(,将)AEH，CFG 分别沿边 EH，FG 折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形 ABCD 面积的 A、 B、2 C、 D、4时，则为（ ）（2017衢州）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=4，BC=6， eq oac(,将)ABC 沿

6、AC 折叠，使点 B 落在点 E 处，CE 交 AD 于点 F，则 DF 的长等于（ ）A、 B、 C、 D、如图为某城市部分街道示意图，四边形 ABCD 为正方形，点 G 在对角线 BD 上，GECD，GFBC，AD=1500m，小敏行走的路线为 BAGE，小聪得行走的路线为 BADEF.若小敏行走 的路程为 3100m，则小聪行走的路程为_m.16 题图 17 题图 18 题图16、（2017丽水）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵 爽弦图”，如图 1 所示.在图 2 中，若正方形 ABCD 的边长为 14，正方形 IJKL 的边长为 2，且 IJ/

7、AB， 则正方形 EFGH 的边长为_.19 题图（2017宁波）如图，在菱形纸片 ABCD 中，AB2，A60，将菱形纸片翻折，使点 A 落在 CD 的中点 E 处，折痕为 FG，点 F、G 分别在边 AB、AD 上则 cosEFG 的值为_（2017台州）如图，有一个不定的正方形 ABCD，它的两个相对的顶点 A，C 分别在边长为 1 的 正六边形一组对边上，另外两个顶点 B，D 在正六边形内部（包括边界），则正方形边长a 的取值范围是 _（2017金华）在一空旷场地上设计一落地为矩形 ABCD 的小屋，AB+BC=10m.拴住小狗的 10m 长的绳子一端固定在 B 点处，小狗在不能进入小

8、屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为 S（m2）. 如图 1，若 BC4m，则 S_m.如图 2，现考虑在(1)中的矩形 ABCD 小屋的右侧以 CD 为边拓展一正CDE 区域，使之变成落地为五 边形 ABCED 的小屋，其它条件不变.则在 BC 的变化过程中，当 S 取得最小值时，边 BC 的长为_m.20、如图，是的中线，是线段上一点（不与点重合）交于点，(1)如图 1，当点，连结与重合时，求证：四边形是平行四边形；如图 2，当点如图 3，延长不与交重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由.于点 ，若 ，且 当 ，时，求的长21、（2017宁波）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题

9、某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了 下面这道题，请你来解一解如图，将矩形 ABCD 的四边 BA、CB、DC、AD 分别延长至 E、F、G、H，使得 AECG，BFDH， 连结 EF、FG、GH、HE求证：四边形 EFGH 为平行四边形；若矩形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且FEB45，tanAEH2，求 AE 的长22、（2017丽水）如图，在矩形ABCD 中，点 E 是 AD 上的一个动点，连接 BE，作点 A 关于 BE 的对称点 F，且点 F 落在矩形 ABCD 的内部，连结 AF，BF，EF，过点 F 作 GFAF 交 AD 于点 G，设 =n.求证：AE=GE；当点 F 落在

10、 AC 上时，用含 n 的代数式表示的值；(3)若 AD=4AB，且以点 F，C，G 为顶点的三角形是直角三角形，求 n 的值.23、如图 1，已 eq oac(,知)ABCD，AB/x 轴，AB=6，点 A 的坐标为（1，-4），点 D 的坐标为（-3,4），点 B 在第四象限，点 P eq oac(,是)ABCD 边上的一个动点.若点 P 在边 BC 上，PD=CD，求点 P 的坐标.若点 P 在边 AB，AD 上，点 P 关于坐标轴对称的点 Q 落在直线 y=x-1 上，求点 P 的坐标.若点 P 在边 AB，AD，CD 上，点 G 是 AD 与 y 轴的交点，如图 2，过点 P 作 y

11、 轴的平行线 PM，过 点 G 作 x 轴的平行线 GM，它们相交于点 M，将PGM 沿直线 PG 翻折，当点 M 的对应点落在坐标轴 上时，求点 P 的坐标（直接写出答案）.24、定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形.(1)如图 1，等腰直角四边形 ABCD，AB=BC，ABC=90，若 AB=CD=1，AB/CD，求对角线 BD 的长.若 ACBD，求证：AD=CD.(2)如图 2，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=9，点 P 是对角线 BD 上一点，且 BP=2PD，过点 P 作直线 分别交边 AD，BC 于点 E，F，使四边形 ABFE 是等腰直角

12、四边形.求 AE 的长.25、（2017衢州）在直角坐标系中，过原点 O 及点 A（8，0），C（0，6）作矩形 OABC，连结 OB， D 为 OB 的中点。点 E 是线段 AB 上的动点，连结 DE，作 DFDE，交 OA 于点 F，连结 EF。已知点 E 从 A 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度在线段 AB 上移动，设移动时间为 t 秒。如图 1，当 t=3 时，求 DF 的长；如图 2，当点 E 在线段 AB 上移动的过程中，DEF 的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由； 如果不变，请求出 tanDEF 的值；连结 AD，当 AD 将DEF 分成的两部分面积之比为 1:2 时，

13、求相应 t 的值。26、（2017金华）(本题 12 分)如图 1,在平面直角坐标系中，四边形 OABC 各顶点的坐标分别 O(0,0),A(3,)，B(9,5 )，C(14,0).动点 P 与 Q 同时从 O 点出发，运动时间为 t 秒，点 P 沿 OC 方向以 1 单位长度/秒的速度向点 C 运动，点 Q 沿折线 OAABBC 运动，在 OA，AB，BC 上运动的速度分别为 3， (单位长度/秒)当 P,Q 中的一点到达 C 点时，两点同时停止运动，求 AB 所在直线的函数表达式.如图 2，当点 Q 在 AB 上运动时， eq oac(,求)CPQ 的面积 S 关于 t 的函数表达式及 S

14、 的最大值. (3)在 P,Q 的运动过程中，若线段 PQ 的垂直平分线经过四边形 OABC 的顶点，求相应的 t 值.27、（2017金华）(本题 10 分) 如图 1，将ABC 纸片沿中位线 EH 折叠，使点 A 的对称点 D 落在 BC 边上，再将纸片分别沿等腰BED 和等腰DHC 的底边上的高线 EF,HG 折叠,折叠后的三个三角形 拼合形成一个矩形.类似地，对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩 形， 这样的矩形称为叠合矩形.将ABCD 纸片按图 2 的方式折叠成一个叠合矩形 AEFG，则操作形成的折痕分别是线段_， _；S 矩形 AEFG:SABCD=_A

15、BCD 纸片还可以按图 3 的方式折叠成一个叠合矩形 EFGH，若 EF=5，EH=12，求 AD 的长. (3)如图 4，四边形 ABCD 纸片满足 ADBC,AD0，AB= .（3）解：设 AE=a，则 AD=na，由 AD=4AB，则 AB=当点 F 落在线段 BC 上时（如图 2），EF=AE=AB=a， 此时 ，n=4.当点 F 落在矩形外部时，n4.点 F 落在矩形的内部，点 G 在 AD 上，FCGBCD，FCG90，.若CFG=90，则点 F 落在 AC 上，由（2）得若CGF=90（如图 3），则CGD+AGF=90， FAG+AGF=90，CGD=FAG=ABE，BAE=D

16、=90，ABEeq oac(,，)DGC ，n=16.ABDC=DGAE，即（）2=（n-2）aa.解得当 n=16 或或 （不合题意，舍去），时，以点 F，C，G 为顶点的三角形是直角三角形.【考点】矩形的性质，解直角三角形的应用【解析】【分析】（1）因为 GFAF，由对称易得 AE=EF，则由直角三角形的两个锐角的和为 90 度， 且等边对等角，即可证明 E 是 AG 的中点；（2）可设 AE=a，则 AD=na，即需要用 n 或 a 表示出 AB，由 BEAF 和BAE=D=90，可证明ABEDAC , 则 ，因为 AB=DC，且 DA，AE 已知表示出来了，所以可求出 AB，即可解答；

17、（3）求以点 F，C，G 为顶点的三角形是直角三角形 时的 n，需要分类讨论，一般分三个，FCG=90，CFG=90，CGF=90；根据点 F 在矩形 ABCD 的内部就可排除FCG=90，所以就以CFG=90和CGF=90进行分析解答.23、【答案】（1）解： eq oac(,在)eq oac(, )ABCD 中， CD=AB=6，所以点 P 与点 C 重合，所以点 P 的坐标为（3,4）.（2）解：当点 P 在边 AD 上时，由已知得，直线 AD 的函数表达式为 y=-2x-2，设 P（a,-2a-2），且-3a1，若点 P 关于 x 轴对称点 Q （a,2a+2）在直线 y=x-1 上，

18、1所以 2a+2=a-1，解得 a=-3，此时 P（-3,4）。若点关于 y 轴对称点 Q （-a,-2a-2）在直线 y=x-1 上，2所以-2a-2=-a-1，解得 a=-1，此时 P（-1,0）.当点 P 在边 AB 上时，设 P（a,-4）,且 1a7，若点 P 关于 x 轴对称点 Q （a，4）在直线 y=x-1 上，3所以 4=a-1，解得 a=5,此时 P（5，-4）.若点 P 关于 y 轴对称点 Q （-a,-4）在直线 y=x-1 上，4所以-4=-a-1，解得 a=3,此时 P（3，-4）.综上所述，点 P 的坐标为（-3,4）或（-1,0）或（5，-4）或（3，-4）.

19、（3）解：因为直线 AD 为 y=-2x-2，所以 G（0,-2）.如图，当点 P 在 CD 边上时，可设 P（m，4）,且-3m3, 则可得 MP=PM=4+2=6,MG=GM=|m|，易证得OGM eq oac(,)HMP，则即则 OM=,，在 eq oac(,Rt)OGM中，由勾股定理得，解得 m=则 P（或 ，4）或（，4）；如下图，当点 P 在 AD 边上时，设 P（m,-2m-2）,则 PM=PM=|-2m|，GM=MG=|m|, 易证得OGM eq oac(,)HMP，则,即则 OM=，在 eq oac(,Rt)OGM中，由勾股定理得，整理得 m=则 P（,，3）；如下图，当点

20、P 在 AB 边上时，设 P（m，-4）， 此时 M在 y 轴上，则四边形 PMGM 是正方形， 所以 GM=PM=4-2=2，则 P（2，-4）.综上所述，点 P 的坐标为（2，-4）或（ ，3）或（ ，4）或（ ，4）. 【考点】平行四边形的性质，翻折变换（折叠问题）【解析】【分析】（1）点 P 在 BC 上，要使 PD=CD，只有 P 与 C 重合；（2）首先要分点 P 在边 AB， AD 上时讨论，根据“点 P 关于坐标轴对称的点 Q”，即还要细分“点 P 关于 x 轴的对称点 Q 和点 P 关 于 y 轴的对称点 Q”讨论，根据关于 x 轴、y 轴对称点的特征（关于 x 轴对称时，点

21、的横坐标不变，纵坐 标变成相反数；关于 y 轴对称时，相反；）将得到的点 Q 的坐标代入直线 y=x-1，即可解答；（3）在不 同边上，根据图象，点 M 翻折后，点 M落在 x 轴还是 y 轴，可运用相似求解.24、【答案】（1）解：因为 AB=CD=1，AB/CD,所以四边形 ABCD 是平行四边形.又因为 AB=BC，所以 ABCD 是菱形.又因为ABC=90 度，所以菱形 ABCD 是正方形.所以 BD= .如图 1，连结 AC，BD，因为 AB=BC，ACBD，所以ABD=CBD,又因为 BD=BD，所以ABD eq oac(,，)CBD所以 AD=CD.（2）解：若 EF 与 BC

22、垂直，则 AEEF，BFEF， 所以四边形 ABFE 不是等腰直角四边形，不符合条件； 若 EF 与 BC 不垂直，当 AE=AB 时，如图 2，此时四边形 ABFE 是等腰直角四边形.所以 AE=AB=5.当 BF=AB 时，如图 3，此时四边形 ABFE 是等腰直角四边形.所以 BF=AB=5，因为 DE/BF，所以PEDeq oac(,，)PFB所以 DE：BF=PD：PB=1:2, 所以 AE=9-2.5=6.5.综上所述，AE 的长为 5 或 6.5.【考点】平行四边形的判定【解析】【分析】（1）由 AB=CD=1，AB/CD,根据“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形” 可得四

23、边形 ABCD 是平行四边形.由邻边相等 AB=BC，有一直角ABC=90 度，所以菱形 ABCD 是正方形.则 BD= ；连结 AC，BD，由 AB=BC，ACBD，可知四边形 ABCD 是一个筝形，则只要证明ABD eq oac(,，)CBD 即可得到 AD=CD.（2）分类讨论：若 EF 与 BC 垂直，明示有 AEEF，BFEF， 即 EF 与两条邻边不相等；由A=ABC=90，可分类讨论 AB=AE 时，AB=BF 时去解答.25、【答案】（1）解：当 t=3 时，如图 1，点 E 为 AB 中点.点 D 为 OB 中点，DE/OA，DE= OA=4，OAAB,DEAB,OAB=DE

24、A=90,又DFDE,EDF=90四边形 DFAE 是矩形，DF=AE=3.（2）解： DEF 大小不变，如图 2， 过 D 作 DMOA,DNAB,垂足分别是 M、N, 四边形 OABC 是矩形，OAAB,四边形 DMAN 是矩形，MDN=90，DM/AB,DN/OA, , ,点 D 为 OB 中点，M、N 分别是 OA、AB 中点，DM= AB=3,DN= OA=4,EDF=90,FDM=EDN.又DMF=DNE=90,eq oac(,)DMF DNEEDF=90,tanDEF=,（3）解：过 D 作 DMOA，DNAB。垂足分别是 M,N.若 AD 将DEF 的面积分成 1：2 的两个部

25、分，设 AD 交 EF 于点 G，则易得点 G 为 EF 的三等分点. 当点 E 到达中点之前时.NE=3-t，由DMFDNE 得MF= （3-t）.AF=4+MF=- t+.点为 EF 的三等分点。（ . t）.由点 A（8，0），D（4，3）得直线 AD 解析式为 y=- +6. ( . t)代入，得 t= .当点 E 越过中点之后.NE=t-3,由DMFDNE 得 MF= （t-3）.AF=4-MF=-+ .点 (为 EF 的三等分点. . ).代入直线 AD 解析式 y=- +6. 得 t= .【考点】矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，与一次函数有关的动态几

26、 何问题【解析】【分析】（1）当 t=3 时，如图 1，点 E、D 分别为 AB、OB 中点，得出 DE/OA，DE= OA=4，根据 OAAB 得出 DEAB，从而得出四边形 DFAE 是矩形，根据矩形性质求出 DF=AE=3.（2）如图 2，过 D 作 DMOA,DNAB,垂足分别是 M、N,四边形 OABC、DMAN 都是矩形，由平行得出,由 D、M、N 是中点又可以得出条件判 eq oac(,断)DMFeq oac(,，)DNE 从而得出 tanDEF=。（3）过 D 作 DMOA，DNAB。垂足分别是 M,N；若 AD 将DEF 的面积分成 1：2 的两个部分， 设 AD 交 EF

27、于点 G，则易得点 G 为 EF 的三等分点.分点 E 到达中点之前或越过中点之后来讨论，得出 NE，由DMFDNE 得 MF 和 AF 的长度， 再 算出直线 AD 的解析式，由点 G 为 EF 的三等分点得出 G 点坐标将其代入 AD 直线方程求出 t 值。 26、【答案】（1）解：把 A（3，3 ），B（9，5 ）代入 y=kx+b,得 ;解得： ;y= x+2 ;（2）解：在PQC 中，PC=14-t,PC 边上的高线长为;当 t=5 时，S 有最大值；最大值为.（3）解： a.当 0t2 时，线段 PQ 的中垂线经过点 C（如图 1）；可得方程解得： , （舍去），此时 t= .b.

28、当 2t6 时，线段 PQ 的中垂线经过点 A（如图 2）可得方程解得： ;,（舍去），此时 ；c.当 6t10 时，线段 PQ 的中垂线经过点 C（如图 3）可得方程 14-t=25-;解得：t= .线段 PQ 的中垂线经过点 B（如图 4）可得方程 ;解得此时,；（舍去）；综上所述：t 的值为 ， ， ， .【考点】待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值，二次函数的应用，与一次函数有关的动态几何 问题，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】（1）用待定系数法求直线 AB 方程即可。（2）根据三角形的面积公式得到关于 t 的二次三项式，再由二次函数图像的性质求出 S 的最大值即可。

29、 （3）根据 t 的值分情况讨论，依题意列出不同的方程从而求出 t 的值。27、【答案】（1）AE；GF；1:2（2）解：四边形 EFGH 是叠合矩形，FEH=90,EF=5,EH=12;FH= = =13;由折叠的轴对称性可知：DH=NH,AH=HM,CF=FN;易证AEHCGF;CF=AH;AD=DH+AH=HN+FN=FH=13.（3）解：本题有以下两种基本折法，如图 1，图 2 所示.按图 1 的折法，则 AD=1，BC=7.按图 2 的折法，则 AD= ,BC= .【考点】全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，轴对称的性质，翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】（1）由图可以观察出叠合的矩形是由 AE 和 GF 折叠而成，所以ABEeq oac(,四)AHE; 边 形 AGFH四边形 DGFC;所以 S 矩形 AEFG:SABCD=1：2.【分析】（1）由图 2 观察可得出答案为 AE,GF,由折叠的轴对称性质可得出答