复旦大学数学物理方法讲义04解析延拓、函数和函数

1、PAGE Chapter 4 解析延拓 函数和函数解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性零点的定义：设在点及其邻域内解析，如果，则称为的零点。设 若，则必有， 此时，称为的m阶零点。相应地， 零点的阶数都是确定的正整数在函数的解析区域内，不可能有分数次的零点。零点的孤立性：解析函数的零点孤立性定理：设为的零点，若不恒等于，且在包含在内的区域内解析，则必能找到圆，使在圆内除外，无其它零点 在多值非解析函数中，虽然为零点，但是又是枝点。证明：设为的阶零点，则，其中解析，且 由在连续，即，任给，存在，使得当时， 不妨取，由于，则得，由此即证得在内除外无其它零点。推论1：设在D：内解析，若在D内存在的

2、无穷多个零点，且，但，则在D内恒为证明：在D内连续， 若取的一个特殊序列，即，当然仍有， 而，故，即为的零点，并且是的非孤立零点（即零点的极限点）。在的邻域中总存在无穷多个的零点，根据零点的孤立性原理，必有推论2：设在D：内解析，若在D内存在过点的一段弧或含点的子区域g，在上或内，则在整个区域D内这个推论是显然的，因为在上或g内总能找到一个以为极限点的序列，且推论3：设在D内解析，若在D内存在过点的一段弧或含点的子区域g，在上或g内，则在整个区域D内（做一些相互交叠的圆，即得）。解析函数的唯一性：解析函数的唯一性定理：设在区域D内有两个解析函数和，且在D内存在一个序列， 若的一个极限点也落在D

3、内，则在D内证明：只需考虑，由上面的推论一，即可得，即推论1：设和都在区域D内解析，且在D内的一段弧或一个子区域内相等，则在D内例如，在全平面是解析的，又因为，所以 推论2：设和都在区域D内解析，且在D内某一点满足，则在D内由上面的条件可知，至少在的一个邻域内，和有相同的Taylor级数表示式，因此在的这个邻域内， 由推论1，在区域D内，二、解析延拓1定义：设函数在区域内解析，函数在区域内解析，而在与的公共区内，则称为在内的解析延拓；反之，为在内的解析延拓。2用Taylor级数进行解析延拓设 ：在内一点，如，我们有 再构造显然它的解析区域：在，由推论2，有，因此它们互为解析延拓。 ，这样的定义

4、域就扩大为 事实上， ，即和只不过是同一个函数在不同区域的表达式。求出无穷级数的和函数是一种最直截了当的方法。* 解析延拓并非总能进行。如，它在的圆周上处处是奇点。3用函数关系式进行解析延拓-函数 , 函数，或称第二类Euler积分。 当时， (分部积分可得，高等数学知识)。 定义复变量的函数:, 因为被积函数可能是多值的，约定正实轴上： 可证，在右半平面是解析的，下面我们进行解析延拓。因为， 又因为在解析，那么和在也解析。 所以，或 . 注意到在是解析的，可定义 .这样，就从解析延拓到. This is also a RR.类似的，可将其延拓到整个复平面。一般地，定义 .这样定义的在全平面除外处处解析，是它的单极点。在整个复平面满足 函数的性质：1). ; 2). ; 3). ;4). 5). 4函数（第一类Euler积分） 由 得 且约定正实轴上：， 可以证明函数与函数的关系见教材第四章p.62 式(4.24) 的证明： .根据函数的性质，上式在全平面成立（）.下面证明非线性变换:这里