多元函数的极值及最值参考

1、多元函数的极值及最值参考第1页，共27页，2022年，5月20日，13点32分，星期二一、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点边界上的最值点特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 为极小 值为最小 值(大)(大)依据机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页，共27页，2022年，5月20日，13点32分，星期二求最值的一般方法： 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值. 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.1、多元函数的最值第3页，

2、共27页，2022年，5月20日，13点32分，星期二解如图,第4页，共27页，2022年，5月20日，13点32分，星期二第5页，共27页，2022年，5月20日，13点32分，星期二第6页，共27页，2022年，5月20日，13点32分，星期二解由第7页，共27页，2022年，5月20日，13点32分，星期二无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件.第8页，共27页，2022年，5月20日，13点32分，星期二 例3：某工厂生产某种产品需要两种原料A、B.单价分别为 2万元/吨 和 1万元/吨。已知该产品产量Q（单位：吨）与A、B两种原料的投入量 x, y有如下关系： 且该产

3、品的出售价为5万元/吨，试确定两种原料A、B 的投入量，使获得利润最大。解： 设所获得利润为L，收入成本第9页，共27页，2022年，5月20日，13点32分，星期二 有问题的实际意义可知最大值一定存在，又求的唯一驻点。所以函数在驻点处取得最大值。最大利润为：L（4.8 1.2）=229.6 万元第10页，共27页，2022年，5月20日，13点32分，星期二例3.解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?因此可断定此唯一驻点

4、就是最小值点.即当长、宽均为高为时, 水箱所用材料最省.机动 目录 上页 下页 返回 结束 （无条件极值）第11页，共27页，2022年，5月20日，13点32分，星期二例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 ,把它折起来做成解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,积最大. 为问怎样折法才能使断面面机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页，共27页，2022年，5月20日，13点32分，星期二令解得:由题意知,最大值在定义域D 内达到,而在域D 内只有一个驻点,故此点即为所求.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页，共27页，2022年

5、，5月20日，13点32分，星期二三、条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值 :条件极值的求法: 方法1 代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制例如 ,转化机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页，共27页，2022年，5月20日，13点32分，星期二2求条件极值的方法（1）代入法：将条件代入函数，化为无条件极 值问题来解。 （这对于一类其条件的表达形式较简单的问题，是方便的）（2）Lagrange乘数法：构造辅助函数，化为无 条件极值问题。第15页，共27页，2022年，5月20日，13点32分，星期二Lagrange乘数法求

6、z=f(x,y)在满足条件(x,y)=0时的极值，方法为：步骤 构造函数 （为待定常数）步骤 解方程组 求出实数解(x0,y0)和 ;步骤 判别求出的点(x0,y0)是否为极值点(通常由实际问 题的实际意义判定)，并求出极值 z0=f(x0,y0)第16页，共27页，2022年，5月20日，13点32分，星期二注记：以上方法步骤，也适用于三元以上的多元函数，以及多个条件的情形。第17页，共27页，2022年，5月20日，13点32分，星期二例5 求表面积为a2，而体积为最大的长 方体的体积，及长、宽、高的尺寸。解：xyz第18页，共27页，2022年，5月20日，13点32分，星期二 解得唯一

7、驻点 ，由题意，知矩形的长宽高各为 时，其体积最大。令第19页，共27页，2022年，5月20日，13点32分，星期二方法2 拉格朗日乘数法.如方法 1 所述 ,则问题等价于一元函数可确定隐函数的极值问题,极值点必满足设 记例如,故 故有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页，共27页，2022年，5月20日，13点32分，星期二引入辅助函数辅助函数F 称为拉格朗日( Lagrange )函数.利用拉格极值点必满足则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页，共27页，2022年，5月20日，13点32分，星期二推广拉格朗日乘数法可推

8、广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设解方程组可得到条件极值的可疑点 . 例如, 求函数下的极值.在条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页，共27页，2022年，5月20日，13点32分，星期二例6.要设计一个容量为则问题为求x , y ,令解方程组解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z 使在条件水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱, 试问 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页，共27页，2022年，5月20日，13点32分，星期二得唯一驻点由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.因此 , 当高为

9、机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考:1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?提示: 利用对称性可知,2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示:长、宽、高尺寸相等 .第24页，共27页，2022年，5月20日，13点32分，星期二解则第25页，共27页，2022年，5月20日，13点32分，星期二内容小结1. 函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .2. 函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法如对二元函数(2) 一般问题用拉格朗日乘数法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页，共27页，2022年，5月20日，13点32分，星期二设拉格朗日函数如