线性代数概念复习

1、线性代数 （概念） 复习- 线性代数 复习一. 行列式1. 全排列1) 由个自然数组成的有序数组成为一个级全排列，简称排列。2）一个对排列中某两数互换位置，其余的数保持位置不变，得到一个新的排列的变换成为一个对换。3）逆序数：在一个排列中，对某一个指定的，若，且在的前面（不一定相邻），即这两个元素的前后位置与大小顺序正好相反，则称与构成一个逆序。一个排列中逆序的总数成为这个排列的逆序数，记为。4) 逆序数为偶的排列称为偶排列，逆序数为奇的排列称为奇排列。5）任何一个排列进行一次对换，排列的奇偶性改变。6）个自然数共组成个级排列，其中奇偶排列各为个。2 行列式1）行列式定义个数 其中是一个级排列

2、，表示对所有的级排列求和。2）余子式和代数余子式（见书）3）行列式按行（列）展开（见书）4）行列式的性质（见书）5) 行列式计算（常用的结论）i) 上（下）三角形行列式 ii) iii)，同阶方阵，iv) （Vandenmonde 行列式）v）设， ， ， ， ， ， ，6）克拉默（Cramer）法则（见书） 二、矩阵1. 矩阵 个元素排列成的数表。概念（见书）：零矩阵、维行向量（行阵）、维列向量（列阵）、阶方阵、主对角元素、对角阵、单位阵、上（下）三角阵、对称阵。2. 矩阵的运算1）加法、数乘（见书）2）矩阵的乘法 矩阵乘法满足结合律、分配律： 且：矩阵乘法不满足交换律。3） 方阵的乘幂i）

3、， （可逆） 可对角化时，ii） ， 但 ，4) 矩阵的转置（见书） 为对称阵时，5) 方阵的行列式（见书）3. 矩阵的可逆性和逆阵1) 的伴随矩阵 ，2）可逆（非奇异）（满秩）3）特殊矩阵的逆i) ii) 分块矩阵 此处均为可逆方阵，它们的阶数可以不同。4. 逆阵的运算法则， ， 即对阵，伴随，转置，求逆运算可以交换次序。5. 矩阵的分块（cf 书P50-51）已知 ， 三、线性方程组1. 线性方程组解的基本定理 1）元非齐次线性方程组有解 ，有唯一解， ，有无穷多解。 ，无解。2）元齐次线性方程组有非零解2. 齐次线性方程组的基础解系1）若齐次线性方程组的解具有性质：a) 线性无关；b)

4、的任何解向量都是线性组合则称向量组为的基本解系。2）的基础解系不唯一，但不同的基础解系所含向量的个数相等，都等于：未知量的个数，。3）的所有解向量组成的集合为该方程的解空间（cf P148 使的的全体： 的核 ），：解空间的维数。3. 齐次线性方程组的通解的结构设是齐次线性方程组的基础解系，则的通解为：，为任意常数。4. 非齐次线性方程组1）称为非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组2）非齐次线性方程组解的性质 i) 若是的解是的解 ii) 若是的解，是的解，则是的解。5. 非齐次线性方程组的通解的结构设：非齐次线性方程组的任一特解，是对应的齐次线性方程组的基础解系，则的通解为：，为任意常数。

5、四、向量1. 线性表示与线性组合设和是维向量，若存在常数，使 则称可由向量线性表示，也称是向量的一个线性组合。2. 线性相关与线性无关设是维向量，如存在不全为零的数，使 则称线性相关，否则称线性无关。只有一个向量的向量组线性相关（零向量）3. 有关线性相关的一些结论 1）向量组线性相关其中至少有一个向量可以由其余向量线性表示。 2）设线性无关，线性相关，则可由线性表示，且表示式唯一。 3）线性无关向量组的任意部分组必线性无关。 4）若一个向量组有一部分组线性相关，则该向量组线性相关。 5）设，则线性相关的行列式 6) 设，若，则必线性相关。 7）设中的每一个向量都可由线性表示， i) 若，则线

6、性相关。 ii) 若线性无关，则 8）若维向量 ，线性无关，将加长成维向量，则也线性无关。反之，若线性相关，则也线性相关。9）包含0（零向量）的向量组必线性相关。4. 求线性表示的方法 1）解线性方程组 2）作初等行变换：将向量按列写成矩阵，通过初等行变换化作简化的行阶梯形，则非主元所在列的向量可由主元所在列向量线性表示。5. 极大线性无关组与秩 1） 若向量组中有个向量线性无关，且其余向量都可由它们线性表示，则称为向量组的一个极大线性无关组。 2）向量组的极大线性无关组可以不唯一，但不同的极大线性无关组所含向量的个数相同，称为向量组的秩，记为。 3）线性无关的向量组的极大线性无关组就是它自身

7、。 4）若向量组只含零向量，则，即没有极大线性无关组。6. 向量组的等价 1）设两个向量组，若中的每个向量都可由中的向量线性表示，则称可由线性表示。若，可相互表示，则称向量组与等价。 2）向量组与其极大线性无关组等价。 3）同一向量组的不同极大线性无关组彼此等价。4）若可由线性表示，则，若与等价，则。 五、相似矩阵及二次型1. 向量的内积与长度 1）对维向量， 称为与的内积，记为。内积性质： i) ii) iii）iv) 当时， ；当时， v) 2) 向量的长度 定义：为向量的长度，也称向量的范数，记作。 向量的长度的性质： i) 非负性：当时，； ii) 齐次性： iii) 三角不等式：。时

8、，称为单位向量。对任意向量，为单位向量，此过程称为单位化。2. 向量的正交与正交向量组1）若，则称向量与正交，记为。零向量与任何向量正交。由两两正交的非零向量组成的向量组称为正交向量组。由单位向量组成的正交向量组称为规范正交向量组。为一正交向量组，则必线性无关，反之，结论不成立。向量组正交化：由任一线性无关组构造出与之等价的正交向量组的过程称为正交化。Schmidt正交化过程： 令 则为正交向量组，与等价。若令，则向量组是与等价的规范正交组。3. 正交矩阵若阶矩阵满足，则称为正交矩阵。若为正交阵（此时）也是正交阵，且，且若和都是正交阵也是正交阵。 为正交阵。若为正交阵，则线性变换称为正交变换

9、即正交变换保持线段长度不变。为正交矩阵的行（列）向量组为规范向量组。由阶线性无关的为向量经正交化、单位化得等价向量组，则矩阵是正交矩阵。4. 特征值与特征向量1）若非零向量使，则称数是的特征值，称为对应于特征值的特征向量。 称为的特征多项式 称为的特征方程。2）特征值与特征向量的求法 i）对元素为已知的数字矩阵，求特征值就是求特征方程（的次方程）的根。时，方程易解。时，尽量避免直接将展开成的多项式，可先对行列式化简。此处技巧较多，要通过练习善于总结。 ii）对未知元素的抽象矩阵，如无法讨论的根，则可利用定义求特征值，即求存在非零向量使的数。如以为一个特征值，则有矩阵特征值 此处为常数，：正整数

10、。涉及，时 需设可逆，为的矩阵多项式。 iii) 对每个特征值，齐次线性方程组的基础解系是属于 的线性无关的特征向量，而属于的全体特征向量为 不全为0.3) 特征值与特征向量的性质 i) 矩阵的不同特征值对应的特征向量线性无关。实对称矩阵的不同特征值所对应的特征向量正交。 ii) 设阶矩阵的个（重算作个）特征值，则a) ，称为矩阵的迹。b) 5. 相似矩阵1）对阶矩阵，若存在可逆矩阵，使，则称相似于，也称经相似变化为。称为相似变换的矩阵。相似满足： eq oac(,1) 自反性 相似于 eq oac(,2) 传递性 相似于，相似于相似于 eq oac(,3) 对称性 相似于相似于2）两个矩阵相

11、似，则它们的特征多项式相同，行列式相同，秩相同。 若相似于相似于 相似于， 对任意 相似于，对任意多项式 相似于，如，可逆 相似于，如，可逆3）若矩阵与对角矩阵相似，则称可以相似对角化。 eq oac(,1) 矩阵可相似对角化的条件阶矩阵可相似对角化 有个线性无关的特征向量 每一个重特征值所对应的线性无关的特征向量的个数都等于该特征值的重数 每一个重特征值 的重数。特别，i) 若的个特征值互异可相似对角化 ii) 若是实对称矩阵可相似对角化。 eq oac(,2) 判别矩阵可否相似对角化的一般步骤： i) 验证是否成立，若是必可对角化 ii) 若，则求的根，若全为单根必可对角化iii) 若，有

12、重根，则对于每一个重根，求矩阵的秩，若等于的重数，对每一个重根都成立必可对角化。否则，不能对角化。 eq oac(,3) 矩阵相似对角化的方法对于可相似对角化的阶矩阵，相似变换的矩阵和对角矩阵可按如下步骤求得：i) 求的一切相异实根ii) 对每一个，求线性方程组的一个基础解系。这个基础解系共有个解向量（若不足个，则不能相似对角化）。iii) 以这个解向量作列向量，得到可逆矩阵，则，为对角阵，其主对角线上的第个元素是矩阵的第列所对应的特征值（重特征值出现次）。 eq oac(,4) 对实对称矩阵，用上述方法实现对角化，还可进一步要求相似变化矩阵为正交矩阵，即。即实对称矩阵不但一定能相似对角化，而

13、且一定能正交相似对角化。4）通过对角化求矩阵的幂 若可逆矩阵，使 为对角矩阵 为正整数 为多项式。6. 二次型1) 二次多项式称为的二次型。其矩阵表示为 ， ，为对称矩阵。对称矩阵称为二次型的矩阵，的秩称为的秩。：对任意非零阶矩阵 是二次型，但仅当为对称矩阵是才是二次型的矩阵，若不是对称矩阵，则是二次型的矩阵。标准形：只含平方项的二次型称为标准形，标准形的矩阵是对角阵。规范形：诸平方项系数只能是，或的标准形称为规范形，规范形的矩阵是主对角线元素只能是，或的对角阵。正（负）惯性指数：标准形中正（负）的系数的个数称为二次型或其矩阵的正（负）惯性指数。2) 二次型标准化的方法 eq oac(,1)

14、配方法 i) 对有完全平方项的二次型，每一次配方都应将某个变量的平方项以及涉及这一变量的所有混合项配成完全平方，使得这个完全平方式的外面不再出现这个变量。然后对剩下的不是完全平方再照此处理，直到全部配成完全平方为止。iii) 如果所给的二次型全由混合项组成而没有平方项，例如： ，则需先做类似于 的线性变换，使变换后的二次型有平方项，再按照i)方法处理。 eq oac(,2) 正交变换法找到正交变换，化二次型为标准形的步骤： i) 写出二次型的矩阵，求的所有相异的根（为的阶数） ii) 对每一个（）求线性方程组的基础解系。 如某个基础解系只含一个解向量，则将其单位化。 如某个基础解系含多于一个解

15、向量，则将其规范正交化。 如此必定得到共个两两正交的单位向量。 iii) 以所得个向量为列向量得到矩阵，为正交矩阵。正交变换化二次型为标准形 为对角阵，其主对角线上第个（）元素是的第个列向量所对应的特征值（重特征值出现次）。经正交变换得到标准型后，还可以再做线性变换将标准形化为规范形，但这一变换已不再是正交变换。即经正交变换，二次型一定可以化为标准形，但未必是规范形。7. 合同矩阵1）矩阵合同于矩阵：若存在可逆矩阵，使。记作与“相似”相同，合同也具有： eq oac(,1) 自反性 eq oac(,2) 传递性 ， eq oac(,3) 对称性 2）通过线性变换 二次型成为另一个二次型：若 为

16、正交矩阵，则 则 所以二次型经正交变换所得的二次型，其矩阵与矩阵即合同又相似，且为正交相似。3）同阶的实对称矩阵，合同，的秩相同，且正（负）惯性指数相同。若两个元二次型的矩阵相同，则它们的规范形相同。8. 惯性定理，正交二次型1）对给定的二次型，标准形不是唯一，但不同标准形的正惯性指数相同，负惯性指数也相同（惯性定理）2）若二次型对成立，则称为正（负）定二次型。称的矩阵为正（负）定矩阵。此处，的矩阵为对称矩阵。正定的正惯性指数矩阵的阶数的全部特征值与单位矩阵合同存在可逆矩阵，使的全部顺序主子式 六、线性空间与线性变换1. 线性空间、线性子空间1）线性空间的定义：非空集合，：实数域若对任意的两个

17、元素，总有唯一的一个元素与之对应，称为与的和，记作（加法运算）. 又对任一数，任意元素，总有唯一的一个元素，称为与的积，记作：（乘法运算）这两种运算满足以下八条运算规律： eq oac(,1) （加法交换律） eq oac(,2) （加法结合律） eq oac(,3) 在中存在零元素，对任何，都有（零元） eq oac(,4) 对任何，都有的负元素，使，记作：（负元） eq oac(,5) （幺元） eq oac(,6) （数乘结合律） eq oac(,7) （分配律，对数） eq oac(,8) （分配律，对元素）则，就称为（实数域上的）线性空间（向量空间），中的元素称为向量。2）线性空间的

18、性质： eq oac(,1) 零元素是唯一的 eq oac(,2) 任一元素的父元素是唯一的 eq oac(,3) ， eq oac(,4) 若或 eq oac(,5) 对中任意两个元素，方程有唯一解 3）设是线性空间的非空子集，若关于的线性运算也构成线性空间，则称是的子空间. 4）设是线性空间的非空子集，则是的子空间关于的线性运算封闭：即对任意的，有2. 维数，基与坐标1）在线性空间中，若存在个元素，满足 eq oac(,1) 线性无关 eq oac(,2) 中任一元素都可以由线性表示则称为线性空间的一个基，称为的维数，记作：只含有一个零元素的线性空间没有基，规定它的维数是.线性空间的含有个向量时，称为维（有限维）线性空间。如果在中可以找到任意多个线性无关的向量，则称为无限维线性空间。2）设是线性空间的一个基，对任一元素，总有且仅有一组有序数，使，则有序数组称为元素在基下的坐标，记作： 3）设和是两个线性空间，若在它们的元素之间有一一对应关系，且这个关系保持线性组合的对应，则称和是同构的。 任何维线性空间都与同构。 维数相等的线性空间都同构。 线性空间的结构完全由其维数决定。3. 基变换与坐标变换设和是线性空间中的两个基，基由基线性表示的表示式 称为从基到基的变换公式，阶方阵叫过渡矩阵。的