电路基础课件第六章：一阶电路（一阶电路的零状态响应、一阶电路的阶跃响应）

1、第六章：一阶电路（一阶电路的零状态响应、一阶电路的阶跃响应）6.3一阶电路的零状态响应 一阶电路的零状态响应是指动态元件初始能量为零，t0 后由电路中外加输入激励作用所产生的响应。 用经典法求零状态响应的步骤与求零输入响应的步骤相似，所不同的是零状态响应的方程是非齐次的。1. RC 电路的零状态响应 图 6.12图6.12所示RC充电电路在开关闭合前处于零初始状态，即电容电压uC(0)=0，开关闭合后，根据KCVL可得： 把 代入上式得微分方程： 其解答形式为： 其中为特解，也称强制分量或稳态分量，是与输入激励的变化规律有关的量。通过设微分方程中的导数项等于0，可以得到任何微分方程的直流稳态分

2、量，上述方程满足。另一个计算直流稳态分量的方法是在直流稳态条件下，把电感看成短路，电容视为开路再加以求解。 为齐次方程的通解，也称自由分量或暂态分量。方程 的通解为： 因此 由初始条件 uC(0+)=0 得积分常数 A=Us 则 从上式可以得出电流 ： 从以上各式可以得出： （1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数，电容电压由两部分构成：稳态分量（强制分量） + 暫态分量（自由分量）各分量的波形及叠加结果如图 6.13 所示。电流波形如图 6.14 所示。 图 6.13图 6.14（2）响应变化的快慢，由时间常数 RC 决定；大，充电慢， 小充电就快。（3）响应与外加激励成线性关系；（

3、4）充电过程的能量关系为：电容最终储存能量： 电源提供的能量为： 电阻消耗的能量为： 图 6.15以上各式说明不论电路中电容 C 和电阻 R 的数值为多少， 电源提供的能量总是一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中，即充电效率为 50% 。电路中能量的分配如图 6.15 所示。2.RL 电路的零状态响应用类似方法分析图 6.16 所示的RL电路。电路在开关闭合前处于零初始状态，即电感电流 iL(0)=0 ，开关闭合后，根据 KCVL 可得： 图 6.16图 6.17图 6.18把 代入上式得微分方程： 其解答形式为： 令导数为零得稳态分量： 因此 由初始条件 ， 得积分常数 则 例6

4、-8 图示电路在t =0 时 , 闭合开关 K ，已知uC（0）=0 ，求（1）电容电压和电流；（2）电容充电至uC80V 时所花费的时间 t 。 例 6 8 图解：(1) 这是一个 RC 电路零状态响应问题，时间常数为： t0 后，电容电压为： 充电电流为： （2）设经过 t1 秒， uC 80V ，即： 解得： 例6-9 图示电路原本处于稳定状态，在t=0时打开开关K，求t0后iL和uL的变化规律。 例 6 9 图（ a ）解：这是一个RL电路零状态响应问题，t0 后的等效电路如图（b）所示， （ b ）其中： 因此时间常数为： 把电感短路得电感电流的稳态解： 则 例6-10 图示电路原本

5、处于稳定状态，在t=0时 , 打开开关K，求t0 后的电感电流iL和电压uL及电流源的端电压。 例 6-10 图（a）解：这是一个RL电路零状态响应问题，应用戴维宁定理得t0后的等效电路如图（b）所示，有： 例 6-10 图（b） 把电感短路得电感电流的稳态解： 则 由图（a）知电流源的电压为：6.4一阶电路的全响应 一阶电路的全响应是指换路后电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。1.全响应以图 6.19 所示的 RC 串联电路为例： 图 6.19图 6.20电路微分方程为：方程的解为： uC(t)=uC+ uC令微分方程的导数为零得稳态解：uC=US 暂态解 ， 其

6、中= RC 因此 由初始值定常数A，设电容原本充有电压：uC(0)= uC(0+)=U0 代入上述方程得：uC(0+)= A + US = U0 解得：A = U0 - US所以电路的全响应为：2. 全响应的两种分解方式（1）上式的第一项是电路的稳态解，第二项是电路的暂态解，因此一阶电路的全响应可以看成是稳态解加暂态解，即：全响应 = 强制分量 ( 稳态解 )+ 自由分量 ( 暂态解 ) （2）把上式改写成：显然第一项是电路的零状态解，第二项是电路的零输入解，因此一阶电路的全响应也可以看成是零状态解加零输入解，即：全响应 = 零状态响应 + 零输入响应此种分解方式便于叠加计算，如图 6.21

7、所示。 图 6.213. 三要素法分析一阶电路 一阶电路的数学模型是一阶微分方程 ： 其解答为稳态分量加暂态分量，即解的一般形式为 ： t= 0+ 时有 ： 则积分常数： 代入方程得： 注意直流激励时 ： 以上式子表明分析一阶电路问题可以转为求解电路的初值 f（0+），稳态值 f（￥）及时间常数的三个要素的问题。求解方法为： f（0+）：用 t ￥ 的稳态电路求解； f（￥）： 用 0+ 等效电路求解；时间常数：求出等效电阻，则电容电路有=RC ，电感电路有:= L/R。例6-13 图示电路原本处于稳定状态，t=0时开关闭合，求t0后的电容电压uC并画出波形图。 例 6-13 图（a）解：这是

8、一个一阶 RC 电路全响应问题，应用三要素法， 电容电压的初始值为： 稳态值为： 时间常数为： 代入三要素公式： 所以： 图（ b ）电容电压随时间变化的波形如图（b）所示。例6-15 图示电路原本处于稳定状态，t=0时开关由1扳到2，求换路后的电容电压uC(t)。 例 6-15 图（a）解：这是一个一阶 RC 电路全响应问题，应用三要素法， 三要素为： 由于含有受控源所以应用图（b）电路求等效电阻： 则时间常数为： 代入三要素公式得：图（ b ）例6-16 图示电路原本处于稳定状态，t=0 时开关闭合，求换路后的电流i(t) 。 例 6-16 图解：开关闭合后电路分为两个一阶电路，应用三要素

9、法， 电容电路的三要素为： 电感电路的三要素为： 代入三要素公式得： 因此： 6.5一阶电路的阶跃响应 1.单位阶跃函数 1）单位阶跃函数的定义单位阶跃函数是一种奇异函数，如图6.22 所示。函数在 t=0 时发生了阶跃。可定义为： 图 6.22任一时刻 t0 起始的阶跃函数如图 6.23 所示，也称为延迟的单位阶跃函数，可定义为： 图 6.23 2）单位阶跃函数的作用 （1）可以用来描述图 6.24 所示的开关动作，如图6.25所示，表示 t=0 时把电路接到直流电源。 图 6.24图 6.25（2）可以用来起始一个任意函数，即： 图 6.26 为单位阶跃函数起始一个正弦函数 图 6.26（

10、3）可以用来延迟一个函数，如图 6.27 所示。图 6.27（4）可以用来表示复杂的信号，如图 6.28 所示函数可以写为： 图 6.282.一阶电路的阶跃响应阶跃响应是指激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。以图6.29所示RC 电路受直流阶跃激励为例加以说明。 图 6.29图 6.30图 6.31根据阶跃函数的性质得： ， 所以阶跃响应为： 响应的波形如图 6.30 和图 6.31 所示。 注意： （初值为零） 和 （初值可以不为零）的区别。若上述激励在t = t0 时加入，如图6.32所示，则响应从t = t0 开始。即： 图 6.32注意： 上式为延迟的阶跃响应，不要写为 例6-18 用阶跃函数表示图示函数 f（t）。 例 6 18 （ a ）（ b ）例 6 18 （ c ） 解：（a）（b） （c） 例6-20 求图（a）所示电路中电流iC(t），已知电压源波形如图（b）所示。 例 6 20 （ a ）（ b