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1、PAGE PAGE 3鲁卡斯数的来历鲁卡斯数来自斐波那契数，斐波那契数来自斐波那契提出的小兔繁殖问题。小兔生小小兔，小小兔又生小小小兔如此继续生下去。当条件如是假设：(1)小兔刚出生，有一个月生长期，一个月后成熟，可以有生殖能力。(2)一对(公母各一)小兔成熟后，立即孕育了小小兔(无时间间隔)，孕育期也是一个月。即刚出生的一对小兔一个月后成熟，并立即怀孕了小小兔，两个月后生产下一对小小兔。(3)每次生产都是公母各一，一对兔子。(4)第一个月初只有刚出生的一对小兔F11(5)第二个月初(第一个月末)小兔成熟开始怀孕，但现有的仍是一对原来的小兔F21(6)第三个月初(第二个月末)小兔生下一对小小兔

2、，与原来的父母兔总数是(对数)F3112(7)小兔生下小小兔后，立即又怀孕，所以第四个月初(第三个月末)原来的父母兔再生下第二对小小兔。与此同时第一对小小兔只是成熟并开始怀孕。现有的兔子总数是(对数)F4213(8)第五个月初(第四个月末)，原来的父母兔(小兔)继续又生第三对小小兔；同时第一对小小兔也生下第一对小小小兔。现有的兔子总数是(对数)F532由此递推，所得数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144得到一个递推公式FnFn2Fn1(n2)能不能取得一个最一般的公式，用以表达Fn呢？我们选用了具有普遍意义的差分方程法来求取这项具一般性质的Fn。显然，递推公式指出斐波

3、那契数列适合差分方程f(x2)f(x1)f(x)取f(x)A ax有a2a10a1,2eq f(1r(5),2)得两个解的组合式仍是f的解(通解)f(x)A1aeq oal(x,1)A2aeq oal(x,2)A1(eq f(1r(5),2)xA2(eq f(1r(5),2)x因递推关系式中的初始条件为：f00f11eq blcrc (avs4alco1(f0A1aoal(x,1)A2aoal(x,2)0,f1A1aoal(x,1)A2aoal(x,2)1)即x0 x1有eq blcrc (avs4alco1(A1A20,A1a1A2a21)解得A1eq f(1,r(5)A2eq f(1,r(5)最后，斐氏数列的通项公式以大写Fn表示Fneq f(1,r(5)(eq f(1r(5),2)neq f(1,r(5)(eq f(1r(5),2)n(Fn)(参阅“华罗庚科普著作选集，第一部分，十二、循环级数的一个例子斐波那契级数”P34)当初始条件为：L11L23时的递推关系成立时LnLn2Ln1(n3)应用上述求取Fn的差分方程法，仍然可得Ln的通项解Ln(eq f(1r(5),2)n(eq f(1r(5),2)n(Ln)这就是鲁卡斯(Lucas)数列的通项式，也称鲁卡斯通项封闭式。为简便计，设n(eq f(1r(5),2)n则(eq f(1r(5),2)n(1)nn有Lnn(1)

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