概率论与数理统计独家课件2.第二章

1、课程：概率论与数理统计教师：沈其骅邮箱： 办公室：2号楼306室办公室电话：67705091百度云网盘： 密码：math0310正整数集合 1, 2, 3, 4, 平方数集合 1, 4, 9, 16, 与正偶数集合 2, 4, 6, 8, 哪一个集合数更“多”呢？(可列)无穷 2, 4, 6, 8, 1, 2, 3, 4, 1, 4, 9, 16, 一一对应，所以“一样多”。请问：大家有看过电影吗？电影是连续的还是离散的？世界是连续的还是离散的？为什么？为什么？一、离散型随机变量的分布律二、常见离散型随机变量的概率分布三、小结第二节 离散型随机变量 及其分布律引入分布的原因以认识离散随机变量为

2、例, 我们不仅要知道X取哪些值,而且还要知道它取这些值的概率各是多少,这就需要分布的概念.有没有分布是区分一般变量与随机变量的主要标志. 这个就是随机变量X 的概率分布。引例：从盒中任取3 球， 记 X 为取到白球数。则 X 是一随机变量。X 可能取的值为: 0, 1, 2。取各值的概率为且说明 一、离散型随机变量的分布律定义用这两条性质判断一个函数是否是分布律离散型随机变量的分布律也可表示为解: 依据分布律的性质P(X =k)0, a 0 ,从中解得即例1设随机变量X的分布律为：k =0,1,2, ,试确定常数a .（2）中的数列不是随机变量的分布律，因为（1）中的数列为随机变量的分布律；解

3、例2X 所有可能取的值为0，1，2.于是分布律为以A记事件第一次罚球时罚中, 以B记事件第二次罚球时罚中, 则有 或将分布律写成0.075 0.325 0.6 0 1 2 X线条图概率直方图另外还可用图形来表示分布律：线条图、概率直方图.0.20.40.60120.0750.3250.60.20.40.6012PXPX二、常见离散型随机变量的概率分布 设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为则称 X 服从 (01) 分布或两点分布.1.两点分布 （伯努利试验）实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况. 随机变量 X 服从 (01) 分布.其分布律为实例2 200件产品中,有19

4、0件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定取得不合格品,取得合格品.则随机变量 X 服从(0 1)分布. 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布.说明2.等可能分布如果随机变量 X 的分布律为实例 抛掷骰子并记出现的点数为随机变量 X,则有将试验 E 重复进行 n 次, 若各次试验的结果互不影响 , 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果, 则称这 n 次试验是相互独立的, 或称为 n 次重复独立试验.(1) 重复独立试验3.二项分布(2) n 重伯努利试验 伯努利

5、资料实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬币抛 n 次,就是n重伯努利试验.实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就是 n重伯努利试验.(3) 二项概率公式现在求它的分布律:由试验的独立性，得 这种项共有 个，而且两两互不相容。 同理可得上式右边各项所对应的概率均为 即 利用概率的加法定理知 显然 称这样的分布为二项分布.记为二项分布两点分布注意: n 重伯努利试验对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同； 二项分布描述的是n重伯努利试验中出现“成功”次数X的概率分布.（2）每次试验只考虑两个互逆结果A 或 ， 且 P(A) = p ， ； （3

6、）各次试验相互独立.例如 在相同条件下相互独立地进行 5 次射击,每次射击时击中目标的概率为 0.6 ,则击中目标的次数 X 服从 b (5,0.6) 的二项分布.分析 这是不放回抽样. 但由于这批元件的总数很大, 且抽查元件的数量相对于元件的总数来说又很小,因而此抽样可近似当作放回抽样来处理.例3解图示概率分布二项分布的图形解因此例4 有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆汽车在一天的某段时间内,出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过, 问出事故的次数不小于2的概率是多少? 设 1000 辆车通过,出事故的次数为 X , 则解例5故所求概率为二项分布 泊松

7、分布4. 泊松分布 泊松资料易于验证：非负性规范性泊松分布的图形泊松分布的背景及应用二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子数X 服从泊松分布.电话呼唤次数交通事故次数商场接待的顾客数地震火山爆发特大洪水 在生物学、医学、工业统计、保险科学及公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的.例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电话呼唤次数等, 都服从泊松分布.泊松定理 设随机变量X服从二项分布，其分布律为 ，k = 0,1,2, n.又设 ,( 是常数)，则有二项分布

8、与泊松分布有以下的关系.该定理于1837年由法国数学家泊松引入！注.1 很小 设1000 辆车通过,出事故的次数为 X , 则所求概率为解例5(续)有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过,设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率为0.0001,在每天的该段时间内有1000 辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少?可利用泊松定理计算例6 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况) ,问至少需配备

9、多少工人 ,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?解所需解决的问题使得合理配备维修工人问题由泊松定理得故有个工人,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01.故至少需配备8例7（讨论讨论! ） 设有80台同类型设备,各台工作是相互独立的发生故障的概率都是 0.01,且一台设备的故障能由一个人处理. 考虑两种配备维修工人的方法 , 其一是由四人维护,每人负责20台; 其二是由3人共同维护台80.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.解按第一种方法发生故障时不能及时维修”,而不能及时维修的概率为则知80台中发生故障故有即有 按第二种方法故 80 台中发

10、生故障而不能及时维修的概率为团结友爱，干活不累！5. 几何分布(了解) 若随机变量 X 的分布律为则称 X 服从几何分布.实例 对某一目标进行射击，每次射击的命中率为 p，直至击中为止，那么所需射击的次数 X 是一个随机变量 , 求X 的分布律.所以 X 服从几何分布.说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功”的概率模型.解几类常见的离散型分布 分布名称 记号 分布律 背景 退化分布(单点分布)必然事件两点分布(或 01分布)X B(1,p) 伯努利概型(0p0)(0p1)稀有事件 分布名称记号 分布律 背景几何分布在n重独立试验中，A首次发生的试验次数为X.超几何分布设N件产品中有M件次品，从中任取n件，其中的次品数为X.离散型随机变量的分布两点分布均匀分布二项分布泊松分布几何分布二项分布泊松分布两点分布三、小结Jacob BernoulliBorn: 27 Dec 1654 in Basel,