专题导数的概念及其应用经典精讲课后练习

1、导数的概念及其应用经典精讲课后练习主讲教师：王题一：函数 yxln x 的单调递增区间为( A(1,1)C(1，)数学高级教师).B(0,1)D(0，)题二：函数 f (x)xln x 的单调递增区间是题三：函数 f (x)x3ax23x9 在 x3 处取得极值，则 a().A2C4B3D52题四：已知函数 f (x)x3ax2bxc(x1,2)，且函数 f (x)在 x1 和 x 3 处都取得极值求 a，b 的值；求函数 f (x)的单调递增区间题五：已知函数 f (x)x2ln x.(1)求函数 f (x)在1，e上的最大值和最小值；(2)求证：当 x(1，)时，函数 f (x)的图象在

2、g(x) 2 x312x2 的下方3题六：已知函数 f (x)xln x，g(x)x2ax3，其中 a 为实数求函数 f (x)在t，t2上的最小值；对一切 x(0，)，2f (x) g(x)恒成立，求实数 a 的取值范围a1R)，g(x) 2x2exxex.题七：已知函数：f (x)x(a1)ln x x(a(1)当 x1，e时，求 f (x)的最小值；(2)当 a 1 时，若存在 x1e，e2，使得对任意的 x22,0，f (x1) g(x2)恒成立，求 a 的取值范围1题八：设函数 f (x)x3x2x，g(x)2x24xc.当 x3,4时，函数 f (x)与 g(x)的图象有两个3公共

3、点，求 c 的取值范围xxe题九：已知函数 f (x)(a 0)xa(1)当 a4 时，试判断函数 f (x)在(4，)上的单调性； (2)若函数 f (x)在 xt 处取到极小值求实数 t 的取值集合 T；t 2t1问是否存在整数 m，使得 m f (t ) 0) (1)若 f (x)是单调函数，求 a 的取值范围；(2)若 f (x)有两个极值点 x1，x2，证明：f (x1)f (x2) 32ln 2.导数的概念及其应用经典精讲课后练习参考题一： C.详解：根据函数的导数大于 0 的解集就是函数的单调增区间求解1由题意知，函数的定义域为(0，)，又由 y1 0，解得 x 1，所以函数的单

4、调增区间为(1，).x()1，题二：.e详解：函数 f (x)的定义域为(0，)，因为 f (x)ln x1，由 f (x) 0，得 x 1，所以 f (x)的单调递增区间为e()1，.e题三： D.详解：f (x)3x 22ax3.因为函数 f (x)x 3ax 23x9，在 x3 处有极值所以 f (3)276a30，所以 a5.1a2，1，)和(1,22题四： (1)(2)3b2.详解：(1)因为 f (x)x 3ax 2bxc，所以 f (x)3x 22axb.()21f 30，a2，由题，解得f (1)0，b2.(2)由(1)知，f (x)3x2x2(3x2)(x1)，)21，因为当

5、 x时，f (x) 0；3当 x( ，1)时，f (x) 0.)2所以 f (x)的单调递增区间为 1，和(1,23题五： (1) 最小值是 1，最大值是 1e2.(2) 见详解.1详解：(1)因为 f (x)x2ln x，所以 f (x)2x .x因为 x 1 时，f (x) 0，故 f (x)在1，e上是增函数，所以 f (x)的最小值是 f (1)1，最大值是 f (e)1e2.12(2)证明：令 F(x)f (x)g(x)x2x3ln x，231x22x31x2x3x31(1x)(2x2x1)所以 F(x)x2x2 .x因为 x 1，所以 F(x) 0.xxx所以 F(x)在(1，)上

6、是减函数121所以 F(x) F(1) 0，即 f (x) g(x)236所以当 x(1，)时，函数 f (x)的图象g(x)的图象的下方11- ，0 t ，ee(1)f (x)min题六：(2)a 4.1tln t，t e.详解：(1)由题知函数 f (x)的定义域为(0，)，f (x)ln x1，(0)()11，e0，e当 x时，f (x) 0，故 f (x)在( ，)上单调递增11ee1当 0 t t2 时，无解；e( )1111当 0 t t2，即 0 t 时，函数 f (x)在t，t2上的最小值f (x)minfe；eee11e当e t t2，即 t 时，f(x)在t，t2上单调递增

7、，故函数 f (x)在t，t2上的最小值f (x)minf (t)t ln t.11e，0 t 0)，则 h(x)，x2当 x(0，1)时，h(x) 0，故 h(x)在(1，)上单调递增所以 h(x)在(0，)上有唯一极小值 h(1)，即为最小值，所以h(x)minh(1)4，因为对一切 x(0，)，a恒成立，所以 a 4. h(x)题七： (1) 当 a 1 时，f (x)min1a；当 1 a e 时，f (x)mina(a1)ln a1；当 a e 时，f (x)mine(aa1) e.e22e e1 ，1.(2)详解：(1)依题意得，f (x)的定义域为(0，)，(x1)(xa)因为

8、f (x)(aR)，x2所以当 a 1 时，x1，e，f (x) 0，f (x)为增函数，f (x)minf (1)1a.当 1 a e 时，x1，a，f (x) 0，f (x)为减函数，xa，e，f (x) 0，f (x)为增函数，f (x)minf (a)a(a1)ln a1.a当 a e时，x1，e，f (x) 0，f (x)为减函数，f (x)minf (e)e(a1)e.综上，当 a 1 时，f (x)min1a；当 1 a e 时，f (x)mina(a1)ln a1；当 a e 时，f (x)mine(a1)ae.(2)若存在 x1e，e2，使得对任意的 x22,0，f (x1)

9、 g(x2)恒成立，即f (x1)min g(x2)min.当 a 0，f (x)为增函数，a所以f (x1)minf (e)e(a1) e，g(x)xexxexexx(1ex)，当 x22,0时,g(x) 0，g(x)为减函数，g(x2)ming(0)1，e22e e1 ，a所以e(a1)ee22e所以 a 的取值范围为 e1 ，1.205题八： 3 c 3或 c9.11详解：设 f (x)g(x)，则有3x3x2x2x24xc，所以 c 3x3x23x.1设 F(x)x3x23x，则 F (x)x22x3，令 F(x)0，解得 x11，x23.3当 x 变化时，F(x)，F(x)的变化情况

10、如表所示：由表可知 F(x)在3，1，3,4上是增函数，在1,3上是减函数520当 x1 时，F(x)取得极大值 F(1)3；当 x3 时，F(x)取得极小值 F(3)9，而 F(3)9，F(4) 3 .如果函数 f(x)与 g(x)的图象有两个公共点，则函数 F(x)与 yc 有两个公共点，205所以 3 c 0，又 a 0，得 a 4.t 2由 a4，得 t 1，且 t 2.t1a a24a由于 xt 为函数 f (x)的极小值点，tg(a)，2 a2 )，当 a 4 时，g(a) g(4)2.从而得2 t 1，所以实数 t 的取值集合 T(2，1)x3(3，1)1(1,3)3(3,4)4

11、F(x)00F(x)9增极大值减极小值增20 3te tf (t)(t1)e .ttat22 tt设 h(t)f (t)t e ，则 h(t)t(t2)e .t1当2 t 1 时，h(t) 0，故 h(t)在(2，1)上递减14所以 0 h(t) 1，从而存在满足条件的 m 值，且 m0.ee2)1题十： (1)，.(2) 见详解.82ax2x11详解：(1)由 f (x)ln xax2x，得 f (x) 2ax1 .xx令 g(x)2ax2x1，(1)242a1 18a.当 a 1时， 0，所以 g(x) 0，所以 f (x) 0，8所以 f (x)在(0，)上单调递减18当 0 a 0，方程 2ax2x10 有两个不相等的正根 x1，x2，不妨设 x1 0，所以 f (x)0；当 x(x1，x2)时，g(x) 0.此时 f (x)不是单调函数)1综上，a 的取值范围是， .8(0)111，8(2)由(1)知，当且仅当 a时，f (x)有极小值点 x1 和极大值点 x2，且 x1x2 2a，x1x22a.