09讲-1226第9周讲义课堂笔记

1、2016 初中数学竞赛班讲义-08组合数学-3主讲教师:Update on 2015 年 12 月 26 日目录1基本例题2课后练2711基本例题1.在 1, 2, 3, , 100 这 100 个正整数中任取 11 个数, 证明其中一定有两个数的比值不超过 3 .222. 从 1, 2, 3, , 20 中, 至少任取多少个数, 才能使得其中一定有两个数, 大的数是小的数的倍数.33. 证明: 在任意的 52 个正整数中, 一定可以找到两个数 a, b, 使得 a +b 或 a b 能被100 整除.44. 某校初三年级学生要从 8 名候选人中投票三好学生, 规定每人必须从这 8 名候选人中

2、任意选两名, 那么至少有多少人参加投票, 才能保证必有不少于 5 名同学投了相同两个候选人的票?55. 把圆周分成 12 段, 将 1, 2, 3, , 11, 12 这 12 个数任意写在每一段内, 使每一段恰好有一个数字. 证明: 一定存在连续的三段, 它们的数字和至少是 20.66. 空间有 6 点, 任何 3 点都是一个不等边三角形的顶点, 求证: 这些三角形中的一个三角形的最短边同时是另一个三角形的最大边.77. 证明在任意 11 个无穷小数中, 一定可以找到两个小数, 它们的差或者含有无穷多个数字 0, 或者含有无穷多个数字 9.88. 一个书架有五层, 从下到上依次称为第 1 层

3、, 第 2 层, , 第 5 层. 今把 15 册分放到书架的各层上, 有些层可不放. 证明: 无论怎样放法, 书架每层上的册数, 以及相邻两层上册数之和, 这些数中至少有两个是相等的.99. 男生 m 人和n 人排成一列横队. 问:共有多少种排法?(a)(b)若必须排在一起, 共有多少种排法?(c)若男生和分别都要在一起, 共有多少种排法?若法?必须按照身材高矮排列 (假定 n 个身高各不相同), 共有多少种排(d)1010. 从 1, 2, 3, , 16 这 16 个数中, 最多能选出多少个数, 使得被选出的数中, 任意三个数都不是两两互质的.1122211. 已知 x , x , ,

4、x都是正整数, 且 x + x + + x= 58, 若 x + x + + x的最大124012401240值为 A, 最小值为 B , 求 A +B 的值.1212. 从 1, 2, 3, , 1995 中最多能挑出多少个数, 使其中的任何两数之和不被其差所整除.1313. 证明不定方程 x3 + 2y 3 = 4z3 没有正整数解 (x, y, z).1414. 若干个人聚会, 其中有些人彼此认识, 已知如果某两人在聚会者中有相同数目的熟人, 那么他俩便没有共同的熟人. 证明: 若聚会者中有人至少有 2008 个熟人, 则必然也有人恰好有 2008 个熟人.1515. 在平面上任给 2n

5、 个点, 其中任意三点不共线, 并把其中 n 个点染成红色, n 个点染成蓝色. 求证: 可以一红一蓝的把它们连成 n 条线段, 使这些线段互不相交.162课后练习利用数字 1, 2, 3, 4, 5 共可组成1.多少个数字不重复的三位数?多少个数字不重复的三位偶数?多少个数字不重复的偶数?一个班级有 30 名学生.2.(a)从中选出 2 人, 一个担任班长, 一个担任副班长, 共有多少种不同的选法?从中选出 2 个人去参加数学竞赛, 有多少种不同的选法?(b)在 1, 11, 111, , 11 1, 中, 是否有 2007 的倍数? 请证明之3. n个14.从任意给定的 1999 个自然数

6、中总可以找到 k 个数, 使得它们的和能被 1999 整除.在 2n 个连续自然数 1, 2, 3, , 2n 中, 任取出 n + 1 个数. 证明: 在这 n + 1 个数中, 一定有两个数, 其中一个是另一个的倍数.5.6.某个篮球运动员共参加了 10赛, 他在第 6, 7, 8, 9赛中分别得了 23, 14, 11和 20 分, 他的前 9赛的平均分比前 5赛的平均分要高, 如果他的 10赛的平均分超过 18 分, 问: 他在第 10赛中至少得了多少分?设 a1, a2, , a10 为正整数, a1 a2 b2 b10, 证明: a10 500.求所有的正整数 m, n, 使得 m2 + 1 是一个质数, 且100(m2 + 1) = n2 + 1设 m 是一个小于 2006 的四位数, 已知