连续函数的性质一连续函数的局部性质课件

1、连续函数的性质一连续函数的局部性质连续函数的性质一连续函数的局部性质 从而，根据函数极限的性质能推断出函数 在 的性态. 若函数 在点 连续, 则 在点 有极限, 2 连续函数的性质 首页一、连续函数的局部性质 且极限值等于函数值 从而，根据 则(当 时)存在某 ,存在某 ,(这里 )也都在点 连续.若函数 f 和 g 在点 连续,使得对一切 ,有(或 ).则对任何正数 (或 ),且 (或 ),若函数 在点 连续, 若函数 在点 连续,则 在某 内有界. 首页定理4.2 （局部有界性） 定理4.3 (局部保号性) 注在具体应用局部保号性时,常取使在其内有定理 4.4(四则运算) 则 由 和 在

2、 上的连续性,在其定义域的每一点都是连续的.和有理函数 , 对常量函数 和函数 反复应用定理4.4, 能推出首页例1例2可推出在其定义域的每一点都连续.多项式函数由 和 在 上的连续性,在其定义域的每一点对任给的 , 使得当 时， 又由 及 在点 连续,存在 使得 由于g在 连续,g在点 连续, , 这就证明了 在点 连续.当 时有有 . 故对上述 存在当 时，有 对任给的 ,则复合函数 在点 连续.若函数 在点 连续, 首页关于复合函数的连续性, 有如下定理： 定理4.5证（1）联系(1)得:存在注1根据连续性的定义, 上述定理的结论可表为对任给的 , 使得当 时在 上的最大（最小）值. 并

3、称 为 则称 在 上有最大（最小）值， 设 为定义在数集 上的函数,下面讨论 在 上的整体性质.设 为闭区间 上的连续函数, 很自然地, 闭区间上的连续函数的整体性质在微积分理论中具有相当的重要性.二、闭区间上连续函数的基本性质 首页 数学分析课程中主要的研究对象是连续函数, 定义1若存在 使得对一切 有 一般而言, 函数在其定义域上不一定有最大值或最小值（即使在上有界）.注3在 上的最大（最小）值. 并称 为 则称 最大、最小值定理一方面对开区间上的连续函数不成立; 另一方面对闭区间上的不连续函数也不成立. 存在最大、最小值或函数有界是函数在闭区间上连续的必要条件. 闭区间 上的一条连续曲线

4、必有最低点, 也有最高点.若函数 在闭区间 上连续, 则 在 上有界.则 在 上有最大值与最小值.若函数 在闭区间 上连续,首页下述定理给出了函数能取得最大、最小值的充分条件.定理4.6 （最大最小值定理） 推论 （有界性定理） 注4 从几何上看,注5注6函数的最大、最小值也可能在端点处取得.注7 最大、最小值定理一方面对开区间上的连续若 为则 在 上必能取得区间 中的一切值, 则至少存在一点 使得若 在 上连续,又不妨设介于 与 之间的任何实数且 ,设函数 在闭区间 上连续,其几何意义如图42所示.首页定理4.7 （介值性定理） 注8换句话说,即有若 为则 在 上必能取得区间 的连续曲线 与

5、 轴至少有一个交点. 若 与 分别在 轴的两侧, （即 ）,即方程 在 内至少有一个根.则至少存在一点 , 且 与 异号 若函数 在闭区间 上连续, 首页推论（根的存在性定理） 使得这个推论的几何解释如图43所示：则连接的连续曲线 与 轴至少有一个交首页首页设正数 使得并有 ,因 在 上连续,至少存在一点 ,故必存在正数 使得 由于当 时有 ， 证明：若 为正整数, 则存在唯一正数 下面举例说明介值性定理的应用 首页使得 称为 的 次正根(即算术根),记作先证存在性.证故由介值性定理,使得再证唯一性.则有由于第二个括号内的数为正, 所以只能即设正数 使得并有 ,使它们与 的距离小于. 可在 内

6、 的两侧各取异于 的点则 . 任取 ,设 ,此时 的值域即反函数 的定义域 不妨设 在 上严格增, 若函数 在 上严格单调并连续,则反函数 在其定义域 或 上连续. 三 、反函数的连续性 首页定理4.8证于是对任给的为（图44）使它们与 的距离小于. 可在 首页首页由 的严格增性 右连续与左连续, 所以 在 上连续.类似地可证 在其定义区间的端点 与 分别为这就证明了 在点 连续, 从而 在 内连续. 对应的 的值都落在 与 则当 时,知 . 设与 对应的函数值分别为 , 首页令 之间,故有由 的严格增性 右连续与左连续, 所以 在 只要 , 若对任给的 , 存在 小于 , 不论两点 与 在 中处于什么位置,直观地说, 在 上一致连续意味着： 则称函数 在区间 上一致连续.使得对任何 ,设 为定义在区间 上的函数.四、一致连续性数学分析的一个难点 首页定义2就有只要它们的距离就可使只要 , 若对任给的 则对任何 , 任给 , 只要 , 就有故可选取 , 证明 在 上一致连续.首页例10证由于 这就证得 在 上一致连续.函数 在区间 上不一致连续： 定义 满足 但是 则对任何 若 分别在 和 上一致连续,则 在 上也一致连续. 设区间 的右端点为 , 区间