2015年第五章晶体中电子在电场和磁场的运动

1、组成波包时将限制在下列范围内：kx k2y2k Z由（5-1）、（5-2），这时波包函数可写成： (rv, t) dkx dk y dkZ k k (rv, t)222(5-3)0222v v E ( v ) / 2 / 2 / 2v v (k E )ki k r k0 t ik r 0 t (rv, t) u v (rv)e 0hdkdkdk ehk0 x y z / 2 / 2 / 262、波包函数：用波组成波包v v E ( v )tk (rv, t) ei (k r h ) u (rv)k kv (5-1)E ( v)t其中：k是时间因子，ukv (r ) 是周期函数。hv考虑到 k

2、接近于 k0 ： k k0 kvk 很小，上式中：E(k ) 按 k 展开，保留到线性项：E(k ) E(k0 ) k (k E)k(5-2)055.1 电子的准经典运动一、波包和电子速度: vv(kv) 1 v E (kv)h k量子力学中对有经典类比的力学系统的状态，用波包来描述。其精确度由测原理确定。1、波包定义：是指该粒子（如电子）空间分布在r0 附近的 r 范围内，动量取值为 hk0 附近 hk 范围内，r 与 k 满足测关系，把波包中心 r0 称为该粒子的位置，把中心 hk0称为该粒子的动量。4第五章 晶体中电子在电场和磁场中运动主要内容：1、准经典运动：波包，准动量，加速度，空穴

3、、电子的有效质量m*(k) 。2、电场作用下电子的运动：说明外电场下电子、空穴的导电机制；导体和非导体的导电机理。3、计算一维紧近似下电子的v(k) 和 m*(k)，画出它们在第一区的形式。3紧近似：微扰:U (r) V (r Rm )能量:E(k) J J (R )eik Rsi0SRS 近邻电子能级与固体能带之关系。k空间中的等能面;能态密度： N (E) 2 Vds(2 )3 面，能级简约k ： k 2 n k a2k E第四章 总结能带理论的三个基本假设；能带理论是一种单电子近似理论。电子在周期性势场中运动，波函数满足定理。 (r R ) e ikRn (r )（4-3）n近 电子近似

4、的结果；简并微扰与非简并微扰；固体能带的形成。V ( x ) V 2Vn1)(dv d ( 1 E ( k ) ) 1 dk ( E ( k ) )dtdt h k h dt k k dk将F h 代入，dtdv12E kvdth2 k k得到加速度分量： F 用矩阵表示： 2 E 2 E 2 E V&x k k k k k F 2xxyxZ 1 2 E 2 E 2 E x V&y 2 2 Fy & h ky kx ky ky kZ F VZ 2 E 2 E 2 E Z k k k k k 2 ZxZyz12二、在外力作用下状态的变化和准动量Fv d (hk )(5-8)vdthk 是准动量。

5、三、加速度和有效质量电子的速度：vv 1 ( E)kkk 0h电子的速度分量： vv 1 E(k )ah kad vv加速度 a 为，加速度分量形式：dtdv d ( 1 E ( k ) )dtdt h k 114、简单的一维近电子近似例子：在一维近电子近似的E(k)能带图中，斜率dE/dk的分析：、在带顶和带底 dE/dk =0（斜率）, 速度为0；2、在带中 d E 0 （拐点），速度最大。dk 2103、波包速度rv 1 ( E) t0kk0h若把波包看成一个准粒子，则该粒子的速度为：vv 1 ( E)k0hkk0而且：vk 0 vk 0 xi vk 0 y j vk 0 z k其中：v

6、 x0 1 ( E )k0 xth k k0 xv y0 1 ( E )v Z0 1 ( E )k0 yth k k0k0 Zth k k0yZ波包速度与斜率 dE/dk 有关！9| sin u |2 具有如图形式:u波包主要集中在的范围，其中心： u v w 0即波包中心：x 1 ( E ) ty 1 ( E ) tZ 1 ( E ) t0k0kh k00h kk0h k0 xyZrv 1 ( E) t(5-6)0kk0h8为了分析波包运动，仅需分析 | |2 ，完成（5-3）的积分： / 2 / 2 / 2v v (k E )k 2 (rv, t) 2 u v (rv)dkdkdk eh2

7、ik r 0 t k0 x y z / 2 / 2 / 2| |2 | u (rv) |2 | sin u |2 | sin v |2 | sin w |2 6k0uvw其中：u x 1 ( E ) t v y 1 ( E ) t w Z 1 ( E ) th k k0h kk0h k k0 xyZ7E(k) s J0 2J1 (cos kxa cos kya cos kza) 2 E * h2 /00 mxx00 k 2 x 2 0m*0 0h2 /E0yy k 2y 00m* 2 E ZZ 00h2 / k 2 z *2 2 Eh21mx h / k 2 2a2 J (cos kxa)x1

8、*2 2 Eh21有效质量my h / k 2 2a2 J (cos kya)y1*2 2 Eh21mz h / k 2 2a2 J (cos kz a)18z1例子：在紧下简单立方格子s能带的有效质量E(k) s J0 2J1 (cos kxa cos kya cos kza)可以验证： kx 、 ky 、 kz 轴沿张量主轴方向：1 2 E 0 h2 k k 0 17 2 E 2 E 2 E V& k 2 k k k k F x xxyxZ x 222这样V& 1 EEE F y h2 k k k 2 k k yV& yxyyZ F Z 2 E 2 E 2 E Z k k k k k 2

9、ZxZyzm*可表示为m* v& F与定理相似y yym* v& F Z ZZ有效质量是个张量，mx*, my*, mz* 一般不相等，因此加速度和外力方向可以不相同。是的函数有效质量与电子质量不同，它包含了周期场的作用。有效质量在晶体学里面是个很重要的概念.16这时电子有效质量张量： 2 E * h2 /00 mxx00 k 2 x 2 0m*0 0h2 /E 0yy k 2 00m* yZZ 2 2E 00h / k 2 z *2 2 E其中： m h / k 215如果进一步取 kx 、 ky 、 kz 轴沿张量主轴方向， 则有：1 2E 0 对角线上h2 k k 0 非对角线上这样可以

10、倒有效质量张量对角化: 2E 2E 2E 2E 00 k 2 k k k k k 2xxyxZ x1 2E 2E 2E 1 2E00h2 k k k 2 k k h2 k 2yxyyZ y 2E 2E 2E 2E 002 k k k k k 2 k ZxZyzz 14 2 E 2 E 2 E V& k 2 k k k k F x xxyxZ x 222V& 1 EEE F y h2 k k k 2 k k y V& yxyyZ F Z 2 E 2 E 2 E Z k k k k k 2 ZxZyzV& dvv 1 Fv与定律比较：dtm 2 E 2 E 2 E k 2 k k k k xxyx

11、Z 1 2 E 2 E 2 E 电子倒有效质量张量： h2 k k k 2 k k yxyyZ 2 E 2 E 2 E k k k k k 2 ZxZyz 1 2 E这个二阶张量为倒有效质量张量，其分量为： h 2 k k 13第一区、电子速度、电子有效质量如下图：在能带底部 k = 0 和能带顶部 k = /a 速度为零*h2在能带底部 k = 0 ：有效质量为正： m (k) 2J a21*h 2在能带顶部 k = /a ：有效质量为负：m (k ) 2J a 224 1一、一维紧近似下的 电子的运动规律例：求一维紧近似下的 E(k )、V (k )、m（* k )(1)电子第i个能带能量

12、： E i (k ) J 2J cos kai01（2)电子速度：V ( k ) 1 E 2 aJ 1 sin kah kh*2 d 2 E 1221(3)有效质量： m (k) h ( d k 2 ) h (2J1a cos ka)分析：J1 0 ，k = 0 为带底， k = /a为带顶235.2 恒定电场作用下电子的运动掌握 1点：一、一维紧近似下的 电子的运动规律224. 结论：晶体公有化电子的有效质量是个张量，是k的函数。在一个能带的能带顶附近，有效质量总是负的。在一个能带的能带底附近，有效质量总是正的。在能带顶或底，E(k)函数有极小或极大值，相应其二级微商也有正负。213. 在能

13、带中部（区侧面中心）：k = ( /a, 0 , 0 ),h2mx * 2a2 J1有效质量:h2my * mz * 2a2 J1 m*00 xx1 0 0有效质量是个张量：h2 0m*0 01 0yy 2a2 J 00m* 1 00 1ZZ 20h21. 在能带底部：k = (0, 0 , 0),有效质量: mx* my * mz * 2a2 J1这样有效质量可以约化为一个标量 * mxx00 1 0 022 h 0m*0 h 0 1 0 或m* 2yy 2a2 J2a J11 00m* 0 0 1ZZ2. 在能带顶部：k = ( /a, /a , /a ), 有效质量:h2mx * my

14、* mz * 2a2 J1h2有效质量可以约化为一个标量: m* 2a2 J191b）外场作用下，所有电子以相同速度沿电场反向运动，由于导带不是满带，这样会有某个反向运动的电子比较多，因此电子向一方移动，破坏了原来的对称分布，发生了一个小偏移，其中电子电流仅部分抵消，产生了一定的电流。h d k q rEdt302、导带中电子的运动部分填充的能带和满带不同。在外电场下可产生电流。a）无外电场时， k 和 - k 对称地被电子填充，总电流抵消。29无外场作用下：同一能带中 k 和 - k 态速度大小相等，方向相反，每个电子产生的电流:qV，对电流总的贡献抵消有外场作用下：所有电子以相同的速度沿电

15、场相反方向运动，满带下，这种运动不改变区内的电子分布，所有不产生宏观电流。结论：在一个完全为电子充满的能带中，电子的运动不产生电流8。1. 满带中的电子运动（在外电场中）分析：上章中能带论知：k 和 - k 态具有相同的能量：E( v) E(k )（5-12）k即同一能带中 k 和 - k 态速度大小相等，方向相反:Vv( v) Vv( v) （5-13）kk275.3 导体、绝缘体和半导体的能带论解释所有固体都电子，但不同材料的导电性却相差非常大！导体的电阻率：106.cm半导体的电阻率：102 109 .cm绝缘体的电阻率：1014 1022 .cm造成导体，半导体，绝缘体区别的原因？电子

16、能带理论来解释！26(4)、在恒定电场作用下，电子的运动：设电场力：F = - qE （E沿k的v 负方向），沿轴正向，根据：h dk Fv dt电子在K空间作运动，电子从-/a 移出去，同时从/a 移进来。做周期循环运动。25结论：空穴满带顶附近有空状态 k 时，整个能带中的电流及电*流在磁场下的变化就相当一个带正电 q 和具有有效质量 | m |速度为V(k)的粒子。这个假象的“粒子”就叫空穴。固体中导带底的少量电子引起的导电电子导电性固体中满带顶的少量电子引起的导电空穴导电性固体中满带顶的少量电子激发到导带，引起的导电电子空穴混合导电性36作用 在 k 状态电子的外力为： qE V (k

17、 ) B F引入有效质量：v v2dI (k ) q Ev Vv( v) Bvkdtm* q qEv qVv( v) Bv（5-17）k进一步分析：实际在空状态 k 往往是在满带顶附近的，有效质量m* 为负值。35m*4、定量分析：（1）设想在一个状态 k 没有电子，即为空的 k 态（空穴），这时电流为I(k) 。放入一个电子，这个电子所荷电流为-qV(k) ，这时能带被填满。总电流为0，I (k ) qV (k ) 0（5-14）或I (k ) qV (k )（5-15）近满带的总电流如同一个带正电荷q的粒子，它的速度为空状态k 的电子速度 V(k) 所引起的。对上式求微商：dI (k )dVv( v) qk（5-16）dtdt343、近满带和空穴近满带：满带中的