离散数学代数结构部分课件

1、第三部分 代数结构第五章 代数系统代数结构又称为代数系统，简称代数，是抽象代数的主要研究对象。代数系统的种类很多，它们在计算机科学的自动机理论、编码理论、形式语言、时序线路、开关线路计数问题以及计算机网络纠错码的纠错能力判断、密码学、计算机理论科学等方面有着非常广泛的应用。本部分主要内容二元运算及其性质。二元运算中的特殊元素幺元，零元，逆元。代数系统的定义及其性质。 定义5.1 设 为集合，函数 称为 上的二元运算，简称为二元运算。5.1节 二元运算及其性质在整数集合 上，对任意两个整数所进行的普通加法和乘法，都是集合上的二元运算。 如何判断一个运算是否为集合 上的二元运算 唯一性集合S中任意

2、的两个元素都能进行这种运算，并且结果要是唯一的。封闭性 集合S中任意的两个元素运算的结果都是属于S的，就是说S对该运算是封闭的 例5.1设Ax|x ，nN，问在集合A上通常的乘法运算是否封闭，对加法运算呢?解：对于任意的 所以乘法运算是封闭的。 而对于加法运算是不封闭的 , 因为至少有 定义5.2 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的x,yA，都有x*yy*x，则称该二元运算*是可交换的。例5.2 设Q是有理数集合，*是Q上的二元运算，对任意的a，bQ，a*ba+b-ab，问运算*是否可交换。解：因为a*ba+b-abb+a-bab*a，所以运算*是可交换的。定义5.3 设*是定义在

3、集合A上的二元运算，如果对于任意的x，y，zA，都有(x*y)*zx*(y*z)，则称该二元运算*是可结合的，或者说运算*在A上适合结合律。例5.3 设A=Z,“+”是整数中的加法：则 “+”在Z中适合结合律。 “。”是整数中的减法：则特取 而 运算“。”不满足结合律 定义5.4 设*是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意的xA，都有x*xx，则称运算*是等幂的。例5.4 设P(S)是集合S的幂集，在P(S)上定义的两个二元运算，集合的“并”运算和集合的“交”运算，验证，是等幂的。解： 对于任意的AP(S)，有AAA和AAA，因此运算和都满足等幂律。 定义5.5 设。和*是S上的两个二元

4、运算，如果对任意的 有 例5.5 在实数集R上， 对于普通的乘法和加法有 即乘法对加法是可分配的。 在自然数集N上加法的幺元是0，乘法的幺元是1. 对于给定的集合和运算有的存在幺 元，有的不存在幺元。定理5.1 设*是S上的二元运算， 如果S中存在关于运算*的）幺元， 则必是唯一的。 所以幺元是唯一的。定理5.2 设*是S上的二元运算，如果S中既存在关于运算*的左幺元 ，又存在关于运算的右幺元 则S中必存在关于运算*的幺元e并且 定理5.4 设 *是S上的二元运算，如果S中既存在关于运算*的左零元 又存在关于运算*的右零元 定义5.9 设*是S上的二元运算，2. 逆元 例5.8 整数集Z上关于

5、加法的幺元是0，对任意的整数m，它关于加法的逆元是-m,因为定理5.5 设*是S上可结合的二元运算，e为幺元,如果S中元素x存在（关于运算* ）的逆元， 则必是惟一的。 所以对于可结合的二元运算，逆元是惟一的。定理5.6 设*是S上可结合的二元运算，e为幺元,如果S中元素x既存在关于运算*的左逆元 ，又存在关于运算*的右逆元 ， 则 S中必存在x关于运算*的逆元并且 解：*运算适合交换律、结合律和消去律，不适合幂等律。单位元是a，没有零元，且 运算适合交换律、结合律和幂等律，不适合消去律。单位元是a，零元是b.只有a有逆元， 运算不适合交换律，适合结合律和幂等律，不适合消去律。没有单位元，没有

6、零元，没有可逆元素。 定义5.10 设S是非空集合，由S和S上若干个运算 构成的系统称为代数系统，记作 5.3节 代数系统 代数系统也简称为代数。 例如，R是实数集，对于普通的加法和剩法运算， M是n阶方阵构成的集合，对于矩阵的加法和剩法运算， 定义5.11 设 都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数，则称 定义5.12 设 例5.14 表示求两个数的最小公倍数的运算。则 解： 零元是不存在的， 只有惟一的逆元。例5.15 在有理数集Q上定义二元运算*解：例5.16 设有集合 解：讨论这5个集合对普通的乘法和加法运算是否封闭。例5.17 设 解：第六章 几个典型的代数系统 本章讨论几类重要的代

7、数结构： 半群、群、环、域、格与布尔代数 定义6.1 设 6.1节 半群与群是可结合的即： 定义6.2若半群 例6.1（1）普通加法是 （2）普通乘法是N,Z,Q和R上的二元运算，满足 结合律且有幺元1 定义6.3 设例6.2定义6.3 设 定义6.4 设定义6.5 设 例6.3 设 证明G关于矩阵乘法构成一个群故G关于矩阵乘法是Z上的代数运算，矩阵乘法满足结合律，故G关于矩阵乘法构成半群， 在G中每个矩阵的逆元都是自己， 所以 G关于矩阵乘法构成一个群。定义6.6 若群例6.4 （1）在 中除0之外都没有逆元，所以它仅是含幺半群而不是群。 中每个元素都有逆元即它的相反数，且运算满足交换律，所

8、以它们是交换群。 0没有逆元，所以它们仅是有么半群而不是群。 例6.5设G=e,a,b,c,。为G上的二元运算，它由以下运算表给出。不难证明G是一个群，称该群为Klein四元群。定义6.7 设例6.6 在群解：定理6.1 设 证明：略。定义6.8 设定义6.9例6.7 对于集合 列出其运算表如下表从表中可以看出，运算满足封闭性，满足结合律和交换律，0是单位元，每个元都有逆元 ， 这个群的阶数是6，元素0，1，2，3，4，5的次数分别为1，6，3，2，3，6。 定理6.2 设 下面证明唯一性从而唯一性得证。例6.8 设定理6.3 定理6.4 设 定理6.5 G为有限群，则G的运算表中的每一行（每

9、一列）都是G中元素的一个置换，且不同的行（或列）的置换都不相同。定义6.10 设 例6.9 例6.10 群 定理6.6(子群判定定理1)设H是群 。证明：必要性是显然的。定理6.7( 子群判定定理2) 设H是群 证明：必要性充分性证明： 定理6.8(子群判定定理3)设H是群 证明：必要性是显然的。例6.11 设 定义6.11 设 6.2节 陪集与拉格朗日定理 例6.12 设 解： H的右陪集为 定理6.9 设H是群 定理6.10 设定理6.11 设证明： 略。推论6.1定理6.12 设定理6.13 设定义6.12 群 定理6.14（拉格朗日定理）设 即子群的阶数一定是群的阶数的因子。根据定理6

10、.11的推论有推论6.2 设 推论6.3 设 根据定理6.11的推论有定义6.13 设 任何群G都有正规子群，因为G的两个平凡子群 定理6.15 设 证明：略。例6.13 设 例6.14 设 定理6.16 设 定义6.14 设6.3 群的同态与同构 例6.13 设 定义6.15 设定理6.17 设 证明：略。定义6.16 设定理6.18 （群同态基本定理）设 定义6.17 设6.4 循环群与置换群 定理6.19 设 例6.16例6.17 设 定义6.18 设 例6.18 设 定义6.19 设 例6.19 4元置换定义6.20设 定理6.20定义6.21例6.20 如图进行旋转，也可以围绕它的对称轴进行翻转，但经过旋转或翻转后仍要与原来的方格重合（方格中的数字可以改变）。如果把每种旋转或翻转看作是作用在 定义6.22 设 6.5 环和域例6.21 （1）整数集 定理6.21 设 2,3证明略。例6.22 定义6.23 设 例6.23 （1）整数环 例6.22模6整数环 定义6.24 设 定义6.22 设 6.5 环和域例6.25 设 定义6.25 设 6.6 格与布尔代数 例6.26 设n是正整数 例6.2