课题学习最短路径问题

1、课题学习最短路径问题第1页，共28页，2022年，5月20日，8点29分，星期三为什么有的人会经常践踏草地呢？绿地里本没有路，走的人多了 禁止践踏爱护草坪两点之间，线段最短第2页，共28页，2022年，5月20日，8点29分，星期三 如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？ 两点之间,线段最短第3页，共28页，2022年，5月20日，8点29分，星期三 要在河边修建一个泵站向张村引水，在何处修建才能使所用引水管道最短？为什么？ 垂线段最短张村河流泵站第4页，共28页，2022年，5月20日，8点29分，星期三前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最

2、短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为 最短路径问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题.本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题” 第5页，共28页，2022年，5月20日，8点29分，星期三将军饮马问题： 两点之间线段最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题： 将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中 马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？ 这就是被称为将军饮马而广为流传的问题。第6页，共28页，2022年，5月20日，8

3、点29分，星期三P两点之间线段最短. 根据：BA(一)两点在一条直线两侧例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中 马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？ 最短路线：将军饮马：A -P- B.第7页，共28页，2022年，5月20日，8点29分，星期三 例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B， 途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？ AB河两点在一条直线同侧第8页，共28页，2022年，5月20日，8点29分，星期三C河边BAB利用对称：将两条线段的和转化到一条直线上，运用两点之间线段最短求最小值将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线 前面的问题就转

4、化为：当饮马点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小做法：（1）作点B关于直线l 的对称点B；（2）连接AB，与直线l 相交于点C 则点C 即为所求 第9页，共28页，2022年，5月20日，8点29分，星期三证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知， BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC 在ABC中， ABAC+BC， AC +BCAC+BC即AC +BC 最短你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ BlABCC第10页，共28页，2022年，5月20日，8点29分，星

5、期三若直线l 上任意一点（与点C 不重合）与A，B 两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小 BlABCC证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C（与点C 不重合），证明AC +BC AC+BC？这里的“C”的作用是什么？ 第11页，共28页，2022年，5月20日，8点29分，星期三回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？ BlABCC轴对称第12页，共28页，2022年，5月20日，8点29分，星期三.两点在一条直线同侧(二)一次轴对称：第13页，共28页，2022年，5月20日，8点29分，星期三活动一：甲、乙两村之间隔一条河，如图

6、所示现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？BA第14页，共28页，2022年，5月20日，8点29分，星期三BAB1cD活动一：甲、乙两村之间隔一条河，如图所示现在要在小河上架一座桥，使得这两村之间的行程最短，桥应修在何处？利用平移：将折线和的最小值，转化到一条直线上，用两点之间线段最短求最小值第15页，共28页，2022年，5月20日，8点29分，星期三回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？ 平移第16页，共28页，2022年，5月20日，8点29分，星期三活动二 如图，河流与公路所夹的角是一个锐角，某公司A在锐角内现在要在河边建一个码头C，

7、在公路边D修建一个仓库，工人们从公司出发，先到 河边的码头卸货，再把货物转运到公路边的仓库里去，然后返回到A处，问仓库、码头各应建在何处，使工人们所行的路程最短河流公路A公司BC第17页，共28页，2022年，5月20日，8点29分，星期三活动二 抽象成数学模型：点A在MON内，在边MO和NO上各找一点B、C使AC+CB+BA（即ABC的周长）的距离最短。NMA公司BCO提示一：求三角形周长的最小值可转化为一条直线上第18页，共28页，2022年，5月20日，8点29分，星期三河流公路A公司A1A2BC 活动二 抽象成数学模型：点A在MON内，在边MO和NO上各找一点B、C使AC+CB+BA（

8、即ABC的周长）的距离最短。利用对称：将三角形三边和，转化到一条直线上，用两点之间线段最短求最小值第19页，共28页，2022年，5月20日，8点29分，星期三活动三：根据上述原理回答：在两条互相垂直的公路a、b旁有两个居民小区A、B，现要在这两条公路旁建立两奶站向两居民区供奶，应建在何处，使得两居民小区A、B与这两个奶站所围成的四边形的周长最小？ 我思考,我进步变式思考 活跃思维BA公路a公路bCD第20页，共28页，2022年，5月20日，8点29分，星期三活动三 抽象成数学模型：在直线a和直线b上各找一点C、D，使AB+AD+CD+BC（即围成的四边形）的最小值。 我思考,我进步变式思考

9、 活跃思维BA公路a公路bCD提示一：AB为定值，只需求折线AD、CD、BC和的最小值。第21页，共28页，2022年，5月20日，8点29分，星期三 我思考,我进步变式思考 活跃思维BA公路a公路bB1A1CD利用对称：三边和转化到一条直线上，用两点之间线段最短求最小值活动四 抽象成数学模型：在直线a和直线b上各找一点C、D，使AB+AD+CD+BC（即围成的四边形）的最小值。第22页，共28页，2022年，5月20日，8点29分，星期三探究二：在河边有A、B两个村庄，要在河边建立水泵站，要使它到两个村庄的距离之差最大，请你确定水泵站的位置？AB两点在一条直线同侧C问：两边之差|CB CA|

10、是否存在最值问题？C当A、B、C三点共线时，|CBCA|最大第23页，共28页，2022年，5月20日，8点29分，星期三探究二：在河两边有A、B两个村庄，要在河边建立水泵站，要使它到两个村庄的距离之差最大，请你确定水泵站的位置？BP1A两点在一条直线两侧第24页，共28页，2022年，5月20日，8点29分，星期三抽象成数学模型：A、B两点分别在直线L的两侧，在直线L上取一点P使PBPA最大。提示：BP1A作B的对称点B1，将PB-PA转化到同侧探究二：两点在一条直线两侧第25页，共28页，2022年，5月20日，8点29分，星期三BB1PP1A抽象成数学模型：A、B两点分别在直线L的两侧，在直线L上取一点P使PBPA最大。利用对称：将两线段之差转化到三角形中比较，当三点共线时求线段差的最大值探究二：第26页，共28页，2022年，5月20日，8点29分，星期三 小结（1）本节课研究问题的基本过程是什么？ （2）轴对称和平移在所研究问题中起什么作用？能利用轴对称和平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想利用轴对称或平移实质是将折线段转化为直线段，利用“两点之间