《直线的方程》教学课件【高中数学必修2(北师大版)】

1、第二章解析几何初步直线的方程北师大版统编教材高中数学必修2新课学习 有一根长长的线，线的一端绑着一个美丽的风筝。如果把风筝看作一个点，随着风向的变化，风筝带着线在空中画出了一条条的直线。在平面直角坐标系中，若风筝看作一点，则过此点是否可以确定无数条直线?解：(1)已知直线上一点P(x0，y0)和直线的倾斜角。 (2)已知直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)。答案是肯定的。那么在平面直角坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？新课学习注意：一个方程是直线l 的方程，必须同时具备两个条件，缺一不可：“直线l上任一点的坐标(x，y )都满足这个方程”，说明直线l上没有坐标不满足方程的点，也

2、就是说直线l上所有的点都适合这个方程无一例外。“满足该方程的每一个数对(x，y)所确定的点都在直线l上”，说明适合方程的所有点都在直线l上无一遗漏。只有具备了以上两点，某个方程才能与直线l 的方程建立一一对应关系。（1）直线的方程的概念：如果一个方程满足以下两点，就把这个方程称为直线l 的方程：直线l上任一点的坐标(x，y)都满足这个方程。满足该方程的每一个数对(x，y)所对应的点都在直线l上。新课学习(2) 直线方程的点斜式： 条件：点P(x0，y0)在直线l上，直线l 的斜率存在，设为k。图示：如图所示。形式：注意：直线的点斜式方程的适用前提是直线的斜率存在，即直线不与x轴垂直；已知直线过

3、定点且斜率存在时，常用点斜式求直线方程；方程 与yy0k(xx0)是不相同的，前者表示除去点(x0，y0)外的直线，后者则表示整条直线；当直线的倾斜角为90时，直线l 没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示。直线l上每一点的横坐标都等于x0，所以它的方程是xx00。新课学习（3）直线方程的斜截式：注意：截距是直线与y轴交点的纵坐标，不是距离，它可以是任意的实数。并非所有的直线在y轴上都有截距，当直线的斜率不存在时，该直线在y轴上就没有截距。直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，且知在y轴上的截距b。 条件：直线l的斜率存在，设为k，直线在y

4、轴上的截距为b。图示：如图所示。形式：y=kx+b。新课学习（4）直线方程的两点式：注意：直线方程的两点式应用的前提条件是：x1x2，y1y2，即直线的斜率不存在及斜率为零时，没有两点式方程。当x1x2时，直线方程为xx1；当y1y2时，直线方程为yy1。直线方程的两点式与直线上两点的顺序无关。两点式方程若变形为(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)，则此方程不再受x1x2且y1y2的限制，可表示过(x1，y1)，(x2，y2)的所有直线。设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是直线l上的任意两点。 两点满足的条件： 形式：新课学习(5)直线方程的截距式：注意：当A、B两点为直线与坐标

5、轴的交点(非原点)时，两点式可化为截距式，所以截距式是两点式的特殊情况。截距式方程的适用条件是a0，b0，即截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线。设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是直线l上的任意两点。形式：a、b的几何意义：a为直线在x轴上的截距；b为直线在y轴上的截距。新课学习（6）直线方程的一般式：注意：当A0，B0时，直线与两条坐标轴都相交。当A0，B0，C0时，直线与y 轴平行，与x 轴垂直。当A0，B0，C0时，直线与x 轴平行，与y 轴垂直。当A0，B0，C0时，直线与x 轴重合。当A0，B0，C0时，直线与y 轴重合。 关于x，y的二元一次方程Ax

6、ByC0(A，B不同时为0 )，表示的是一条直线 ，我们把它叫作直线方程的一般式。 新课学习已知直线 l经过两点 ,求直线l 的方程。解：根据已知两点的坐标，先判断是否存在斜率，然后求出直线的斜率，从而可求出直线方程：新课学习解：直线方程为y=y0思考2：经过点 且平行于y轴（即垂直于x轴）的直线方程是什么？解：直线方程为 x=x0思考1：经过点 且平行于x轴（即垂直于y轴）的直线方程是什么？新课学习思考3： x轴所在直线的方程是什么？ y轴所在直线的方程是什么？解：x轴所在直线的方程是y=0, y轴所在直线的方程是x=0。随堂练习例1 分别求过P(3,4)且满足下列条件的直线方程。（1）斜率

7、k=2；（2）与x轴平行；（3）与x轴垂直。解：(1)过P(3,4)且斜率k=2，点斜式方程为y-4=2(x-3),即y=2x-2; (2)由于直线过点P（3,4）且与x轴平行，即斜率为0， 所以直线方程为y=4； (3)由于直线过点P（3,4）且与x轴垂直，所以直线方程为x=3。随堂练习例2 求经过两点A(-5,0),B（3，-3）的直线方程。解：根据经过两点的直线斜率公式得：直线AB的斜率为 ，该直线的点斜式方程为 ,可化为3x+8y+15=0。随堂练习例3 已知直线经过点A（4，-3），斜率为 ,求直线的点斜式方程，并化为一般式方程。解：由已知和点斜式方程可知直线的方程为化为一般式为2x

8、+3y+1=0。随堂练习解：过AB的直线方程为 ,整理得2x+5y+6=0，这就是直线AB的直线方程。过AC的直线方程为 ,整理得x-3y+3=0，这就是直线AC的直线方程。过BC的直线方程为 ,整理得3x+2y-2=0，这就是直线BC的直线方程。例4 已知三角形的三个顶点A（-3，0），B（2，-2），C（0，1），求三角形三边各自所在直线的方程。随堂练习（1）过点(0,1)，且倾斜角为45的直线方程是()Ayx1 Byx1 Cyx1 Dyx1解析：因为直线的斜率ktan451，所以由已知及直线的点斜式方程，得y1x0，即yx1。C随堂练习(2) 经过点A(2，1)，B(4,5)的直线的一般式方程为()Axy10 Bxy10 Cxy10 Dxy10D解析：因为直线过A(2，1)，B(4,5)，所以由直线方程的两点式得直线方程为 ，化为一般式得xy10。随堂练习解：直线在x，y轴上的截距分别为a，b，且ab0。又易证明函数 在 上是减函数，在 上是增函数，所以当 时，S 取得最小值，且Smin4，此时直线l 的方程为x2y40。新课学习（1）直线的方程的概念如果一个方程满足以下两点，就把这个方程称为直线l的方程：直线l上