高中数学必修四《平面向量的坐标运算》优秀教学设计

1、 平面向量的坐标运算（教案）教学目标：知识与技能：（1）理解并掌握平面向量的坐标运算 .过程与方法：（1）通过经历探究活动，使学生掌握平面向量的和、差、实数 与向量的积的坐标表示方法。（2）通过平面向量坐标表示和坐标运算法则的推导培养学生归纳、猜想、 演绎的能力；（3）通过用代数方法处理几何问题，提高学生用数形结合的思想方法解决 问题的能力 .情感、态度与价值观 : （1）使学生认识数学运算对于建构数学系统、刻画 数学对象的重要性，进而理解数学的本质；（ 2）让学生体会从特殊到一般，从一般到特殊的认识规律 . 教学重点和教学难点：教学重点：平面向量的坐标运算；教学难点：平面坐标运算的应用 .教

2、学方法： “探究学习”及“合作学习”的模式 .教学手段： 利用多媒体演示教学过程设计：一、复习回顾（1）平面坐标的正交分解把一个向量分解成两个互相垂直的向量 .（2）平面向量的坐标表示a xi yj （x,y）（ i , j分别是与 x轴、 y轴方向相同的两个单位 向量）（3）起点在原点的向量的坐标表示 已知 A=（ x, y）,则 OA （x,y）二、创设问题情境，引入课题 .我们知道向量的加法、减法以及实数与向量的积这几种运算的结果仍是向量， 而向量是可以用坐标来表示的， 因此，这些运算的结果也能用坐标来表示， 那么 如果是坐标的话，我们该如何来表示呢？这就是这节课我们要学习的平面向量的

3、坐标运算。三、探究，推导法则 .探究一：( 1)已知 a (x1, y1),b (x2,y2),求a b,a b， a的坐标.分析： a b= (x1i y1 j) (x2i y2 j) 由向量线性运算的结合律和分配律，可得(x1i y1 j) (x2i y2 j) = (x1 x2)i (y1 y2 )j 即 a b =( x1 x2,y1 y2) 因此，两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和。 两个向量差的坐标让学生自己讨论推导， 再将推导所得结论在班上进行交流， 最后，教师再来归纳整理，由此得出a b (x1 x2,y1 y2 ) 即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差。 而

4、a (x1i y1 j) x1i y1 j ( x1, y1) 即 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。下面我们通过具体的例子来深化对平面向量的坐标运算法则的理解。 例 1. 已知 a ( 2,1), b ( 3,4),求a b,a b,3a 4b的坐标 .解：a b (2,1) ( 3,4) ( 1,5)a b (2,1) ( 3,4) (5, 3)3a 4b 3(2,1) 4( 3,4) (6,3) ( 12,16) ( 6,19)变式：已知 a (1,0), b (1,1), c ( 1,0),求实数 和 ，使 c a b.分析：运用方程的思想解题 .请学生上来黑板板

5、书，教师再根据学生所得的结果进行分析讲解。探究二：通过前面的学习， 我们知道， 起点在原点的向量的坐标就是其终点 坐标，那么， 对于起点不在原点的向量， 又该如何来确定其坐标？若已知其起点 坐标和终点坐标，如何求出此向量的坐标？先来看一个具体的例子：求出图中的向量 a 的坐标，并观察其坐标与其起点 坐标、终点坐标之间有何关系？(引导学生从特殊到一般，归纳猜想) 学生不难发现：其坐标等于向量的终点坐标减去起点坐标 . 再将 A,B 的坐标 推广到一般的 (x1,y1),(x2, y2) ，可得相应结论。教师指出：这只是我们从具体的例子中得到的猜想，要说明其正确性，必须进行严密的推证。 指导学生进

6、行证明， 关键说明：已知 A,B 两点的坐标相当于知道了向量 OA, OB 的坐标，而AB OB OA ，从而转化为坐标的运算由此，得到一个重要的结论： 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的 终点的坐标减去始点的坐标 .练习.(1) 已知A(2,3), B ( 3,5),求BA 的坐标 .(2)已知 AB (1, 2), A(2,1), 求B 的坐标 .四、巩固应用，加深理解 .例 2、已知平行四边形 ABCD的三个顶点 A、B、C的坐标分别为（ -2 ，1）、 （-1，3）、（3，4），求顶点 D的坐标 .（引导学生思考，多媒体展示）解：点 D的坐标为 (x, y)AB (1, 2) ，

7、 DC (3 x,4 y) 由 AB DC , 得1，2)=(3 x,4 y)3x14y2x2y2点 D的坐标为（ 2 ，2）已知：点 A（2，3）、B（5，4）、C（7，10），若 AP AB AC（R） ，试求 为何值时，点 P在一、三象限角平分线上？点 P 在第三象限内？ 分析：可以用 表示 P 的横坐标、纵坐标，再根据条件建立等量关系，求点 P 的坐标；解：设点 P 的坐标为（ x，y），则 AP （x，y）-（2， 3）=（ x-2，y-3）AB AC=（3,1）+ （5,7）=（3+5 ，1+7 ）AP AB AC ， （x 2, y 3） （3 5 ,1 7 ）x 2 3 5 y

8、317x55 y 4 7P（5 5 ,4 7 ）（1） 若点 P 在一、三象限角平分线上，则 5 5 4 7=11-12（2） 若 点 P 在第三象限 内， 则即只要-1 时，点 P就在第三象限内五、课堂小结 . (先请学生归纳，再由教师完善)1. 平面向量的坐标运算法则 :若a (x1, y1),b (x2, y2 ), 则(1) a b (x1 x2,y1 y2),(2)a b (x1 x2,y1 y2), (3) a ( x1, y1)2. 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 即：若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB (x2 x1, y2 y1)六、布置作业 .1 、已知a (2,1),b ( 3,4),c ( 6,19),用a,b表示 c.若 A、B、C三点的坐标分别为( 2， 4)，( 0,6)，( 8,10)，2 、 1求AB BC和BC 2AC的坐标 .2七、板书设计1、平面向量的坐标运算法则(1)a (x1, y1),b (x2,y2),则a b=( x1 x2,y1 y2) 即 两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 .(2)a (x1, y1),b (x2,y2), 则a b (x1 x2,y1 y2) 即 两个向量差的坐标等于这两个向量相