立体几何中的垂直问题

1、直线、平面垂直的判定与性质学习目标1、熟练掌握线线、线面、面面垂直的转化关系，会选择正确的方法证明或判断垂直2、会把面面垂直转化为线面垂直，能够熟练运用平几的知识解决垂直证明问题。知识回顾：思考：清楚线线、线面、面面垂直三者之间的转化关系？判断线线、线面、面面垂直有哪些方法？三种垂直位置关系证明中谁最重要？（仿照平行问题学生自己梳理）二面角、距离例题与变式考点1：线线、线面垂直的判定AA=2y2，D是AA的例1.在三棱柱ABC-A1B1CAA=2y2，D是AA的C1中点，BD与AB交于点O,且CO丄平面ABB1A.C1（1）证明:CD丄AB；若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值.

2、A4DA1（选题意图:（1）第一问检查学生平几的知识证明相交直线垂直，以及通过线面垂直转化1为异面直线垂直是否掌握；（2）第二问为后面复习用几何法求线面角用，本节课不用）1.证明:VABB1A是矩形，D为AA中点，AB=2，AA尹冗，AD=-2,在直角三角形在直角三角形ABB中,tanZABB=，在直角三角形ABD中,tanZABD=所以ZABB=ZABD，又ZBAB1+ZABB=90，ZBAB1+ZABD=90，3分所以在直角三角形ABO中，故ZBOA=90,即BD丄AB，4分又因为CO丄侧面ABB1A1，AB1U侧面ABBA，所以CO丄AB又因为CO，BD为相交于点O,所以AB丄面BCD5

3、4分因为CDU面BCD，所以CD丄AB6分A解：分别以OD,OB1，OC所在的直线为1,y,z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0,-.,0）,B（-2弓,0,0）,C（0,0,三）,AH=(，0一)8分设平面ABC的法向量为匸=(x,y,z).n-AB=n-AB=0由1得n-AC=0可得:=(1,2,-是平面ABC的一个法向量10分.cos.cosn,CD=nCD二工InI-1CDI511分所以直线CD所以直线CD与平面ABC所成角的正弦值为琴12分变式1：(2015高考全国卷I)如图，四边形ABCD为菱形，ZABC=120,E,F是平面ABCD同一侧的两点，BE丄平面ABCD,DF

4、丄平面ABCD,BE=2DF,AE丄EC.证明：平面AEC丄平面证明：平面AEC丄平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.【解】证明：如图，连接BD,设BDAC=G,连接EG,FG,EF.在菱形ABCD中，不妨设GB=1.由ZABC=120,可得AG=GC=$.由BE丄平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC.又AE丄EC,所以EG=V3,且EG丄AC.在RtEBG中，可得BE=边,故DF=咅.6在RtFDG中，可得FG=专.3-:在直角梯形BDFE中，由BD=2,BE=2,DF=,可得EF=从而EG2+FG2=EF2,所以EG丄FG.又ACQFG=G,所以EG丄平面AFC.因为

5、EG平面AEC,所以平面AEC丄平面AFC.（2）如图，以G为坐标原点，分别以GBGC的方向为x轴，y轴正方向，iGBl为单位长度，建立空间直角坐标系Gxyz.由（1）可得A（0,屈,0）,E（l,0,品,Fl-1,0,半），C（0,曲，0）,故cosAE,CF=a|lAEllCFl3故cos10=25|cos0|=n-ntT-uU=5込-10=252后25立体几何大题训练卷1、（2016年全国丨高考）如图，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，ZAFD=90,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60.0（I）证明：平面ABEF丄平面EFDC；（

6、II）求二面角E-BC-A的余弦值.【解析】JABEF为正方形.AF丄EFZAFD=90.AF丄DFTDF门EF=F.AF丄面EFDCAF丄面ABEF平面ABEF丄平面EFDC由矢口ZDFE=ZCEF=60JABEFAB丘平面EFDCEFu平面EFDCAB平面ABCDABu平面ABCD面ABCD门面EFDC二CDABCDCDEF,四边形EFDC为等腰梯形以E为原点，如图建立坐标系，设FD二aTOC o 1-5 h z/；3）E（0，0，0）B（0，2a，0）Ca，0，aA（2，2，）32222丿（-3）EB=（0，2a，0），BC=，-2a，-a，AB=（-2a，0，0）22k2丿设面BEC法

7、向量为m=（x，y，z）.m-EB=0m-EB=0m-BC=0ia小P3-x-2ay+2ii2x=3，y=0，z=-1iii0，-i)设面ABC法向量为n=0，-i)设面ABC法向量为n=2，y2，z)2n-BC=0n-AB=0aX22ax=02az=02x=0，y=、:3，z=4222n=()，v3，4)设二面角E-BC-A的大小为9.E麻矿岀+1二3+16,二面角E-BC-A的余弦值为-帶2.如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD丄平面ABCD,ABDC,PAD是等边三角形，已知BD=2AD=8，(I)设M是PC上的一点，证明：平面MBD丄平面PAD；(II)求四棱锥P-ABCD的体积.

8、解：(I)证明：在厶ABD中,由于AD=4,BD=8,_1所以AD2+BD2=AB2.故AD丄BD.又平面PAD丄平面ABCD，平面PADQ平面ABCD=AD,BD平面ABCD,所以BD丄平面PAD,又BD平面MBD,故平面MBD丄平面PAD.(II)解：过P作P0丄AD交AD于O,由于平面PAD丄平面ABCD,所以P0丄平面ABCD因此PO为四棱锥P-ABCD的高，又APAD是边长为4的等边三角形因此在底面四边形ABCD中，ABDC,AB=2DC,所以四边形ABCD是梯形，在RtAADB中，斜边AB边上的高为；,此即为梯形ABCD的高，所以四边形ABCD的面积为故旷扣皿片吓.3.(2018全

9、国卷3.19.)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C,D的点.证明：平面AMD丄平面BMC；当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.19.（12分）55解：（1）由题设知，平面CMD丄平面ABCD，交线为CD.因为BC丄CD,BCU平面ABCD,所以BC丄平面CMD,故BCLDM,因为M为CD上异于C,D的点，且DC为直径，所以DMLCM.又BCIICM=C,所以DM丄平面BMC.而DMU平面AMD,故平面AMD丄平面BMC.（2）以（2）以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.当三棱锥M-ABC体积最大时，M为CD的中点.由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1)AM二(2,1,1),AB二(0,2,0),DA