浙江专用2022版高中数学第一章空间几何体1.31.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积学案新人教A版必修2

1、（浙江专用）2021版高中数学第一章空间几何体1.31.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积学案新人教A版必修2PAGE PAGE 251.3.1目标定位1.了解表面与展开图的关系.2.了解柱、锥、台体的表面积和体积计算公式；能运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.自 主 预 习1.多面体的表面积多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积.2.旋转体的表面积名称图形公式圆柱底面积：S底2r2侧面积：S侧2rl表面积：S2rl2r2圆锥底面积：S底r2侧面积：S侧rl表面积：Srlr2圆台上底面面积：S上底r2下底面面积：S下底r2侧面积：S侧l(rr)表面积：

2、S(r2r2rlrl)3.体积公式(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则VSh.(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则Veq f(1,3)Sh.(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S、S，高为h，则Veq f(1,3)(Seq r(SS)S)h.即 时 自 测1.判断题(1)直棱柱的侧面展开图是矩形，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长.()(2)圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形.()(3)柱体的底面积为S，高为h，其体积VSh，特别地，圆柱的底面半径为r，高为h；其体积Vr2h.()(4)已知圆锥SO的底面半径r2，高为4，则其体积为16.()提示(2)圆锥的侧面展开图是一个

3、扇形.(4)Veq f(1,3)224eq f(16,3).2.圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其侧面积等于()A.15 B.15 C.24 D.30解析S侧rl3515.答案B3.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A.4 B.3 C.2 D.解析底面圆半径为1，高为1，侧面积S2rh2112.故选C.答案C4.圆台OO的上、下底面半径分别为1和2，高为6，则其体积等于_.解析Veq f(1,3)(121222)614.答案14类型一空间几何体的表面积【例1】 如图所示，已知直角梯形ABCD，BCAD，ABC90，AB5 cm，BC16 cm，AD4

4、 cm.求以解以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm，下底半径是16 cm，母线DCeq r(52（164）2)13(cm).该几何体的表面积为(416)1342162532(cm2).规律方法1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键.2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解.【训练1】 如图，已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体SABC，求它的表面积.解先求SBC的面积，过点S作SDBC，交BC于点D.因为BCa，SDeq r(SB2

5、BD2)eq r(a2blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)sup12(2)eq f(r(3),2)a.所以SSBCeq f(1,2)BCSDeq f(1,2)aeq f(r(3),2)aeq f(r(3),4)a2.因此，四面体SABC的表面积S4eq f(r(3),4)a2eq r(3)a2.类型二空间几何体的体积(互动探究)【例2】 如图，三棱台ABCA1B1C1中，ABA1B112，求三棱锥A1ABC，三棱锥BA1B1C，三棱锥CA1B1思路探究探究点一题中三棱台与三棱锥有什么关系？提示题中三个三棱锥可看作是由三棱台分割而成的.探究点二求体积的常用方法有哪些？提示求几何体体积

6、的常用方法有：公式法，等积变换法，补体法，分割法.解设棱台的高为h，SABCS，则SA1B1C14SVA1ABCeq f(1,3)SABCheq f(1,3)Sh，VCA1B1C1eq f(1,3)SA1B1C1heq f(4,3)Sh.又V台eq f(1,3)h(S4S2S)eq f(7,3)Sh，VBA1B1CV台VA1ABCVCA1B1eq f(7,3)Sheq f(Sh,3)eq f(4Sh,3)eq f(2,3)Sh，体积比为124.规律方法求几何体体积的常用方法【训练2】 如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d解在三棱锥A1ABD中，AA1平

7、面ABD，ABADAA1a，A1BBDA1Deq r(2)a，VA1ABDVAA1BD，eq f(1,3)eq f(1,2)a2aeq f(1,3)eq f(1,2)eq r(2)aeq f(r(3),2)eq r(2)ad.deq f(r(3),3)a.A到平面A1BD的距离为eq f(r(3),3)a.类型三与三视图有关的表面积、体积问题【例3】 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是()A.4eq r(5)，8 B.4eq r(5)，eq f(8,3)C.4(eq r(5)1)，eq f(8,3) D.8，8解析由正视图得出四棱锥的底面边长

8、与高，进而求出侧面积与体积.由正视图知：四棱锥的底面是边长为2的正方形，四棱锥的高为2，Veq f(1,3)222eq f(8,3).四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底为2，高为eq r(5)，S侧4eq f(1,2)2eq r(5)4eq r(5).答案B规律方法1.解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据.2.若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和.【训练3】已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是_解析由三视图可大致画出三棱锥的直观图如图，由正、俯视图可知

9、，ABC为等腰三角形，且AC2eq r(3)，AC边上的高为1，SABCeq f(1,2)2eq r(3)1eq r(3).由侧视图可知：三棱锥的高h1，VSABCeq f(1,3)SABCheq f(r(3),3).答案eq f(r(3),3)课堂小结1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键.2.计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题.3.在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”

10、、“补体思想”及“等价转化思想”.1.已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是123，对角线的长是2eq r(14)，则这个长方体的体积是()A.6 B.12 C解析设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x、2x、3x，又对角线长为2eq r(14)，则x2(2x)2(3x)2(2eq r(14)2，解得x2.三条棱长分别为2、4、6.V长方体24648.答案D2.一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为()A.12B.18C.24 D.36解析由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r3，母线l5，S表rlr224.故选C.答案C3.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆

11、柱的表面积与侧面积的比为_.解析设底面半径为r，侧面积为42r2，表面积为2r242r2，其比为eq f(12,2).答案eq f(12,2)4.在长方体ABCDA1B1C1D1中，截下一个棱锥CA1DD1求棱锥CA1DD1解已知长方体可以看成直四棱柱，设它的底面ADD1A1的面积为S，高为h，则它的体积为VSh而棱锥CA1DD1的底面积为eq f(1,2)S，高为h，故三棱锥CA1DD1的体积：VCA1DD1eq f(1,3)eq f(1,2)Sheq f(1,6)Sh，余下部分体积为：Sheq f(1,6)Sheq f(5,6)Sh.所以棱锥CA1DD1的体积与剩余部分的体积之比为15.基

12、 础 过 关1.圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于()A.72 B.42 C.67 D.72解析S圆台表S圆台侧S上底S下底(34)6324267.答案C2.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1ACDA.eq f(1,6) B.eq f(1,3) C.eq f(1,2) D.1解析三棱锥D1ADC的体积Veq f(1,3)SADCD1Deq f(1,3)eq f(1,2)ADDCD1Deq f(1,3)eq f(1,2)111eq f(1,6).答案A3.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如下图所示该四棱锥侧面和体积分别

13、是()A.4eq r(5)，8B.4eq r(5)，eq f(8,3)C.4(eq r(5)1)，eq f(8,3)D.8，8解析由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为eq r(2212)eq r(5)，所以S侧4eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)2r(5)4eq r(5)，Veq f(1,3)222eq f(8,3).答案B4.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为_.解析S圆柱2eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)eq sup12(2)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(

14、a,2)aeq f(3,2)a2，S圆锥eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)eq sup12(2)eq f(a,2)aeq f(3,4)a2，S圆柱S圆锥21.答案215.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.解析根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4 m，高为2 m的圆锥，下部是一个底面直径为2 m，高为Veq f(1,3)222124eq f(20,3)(m3).答案eq f(20,3)6.如图是某几何体的三视图.(1)画出它的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积和体积.解(1)这个几何体的直观图如图所示.(2)这个几何体是

15、一个简单组合体，它的下部是一个圆柱(底面半径为1，高为2)，它的上部是一个圆锥(底面半径为1，母线长为2，高为eq r(3)，所以所求表面积为S12212127，体积为V122eq f(1,3)12eq r(3)2eq f(r(3),3).7.在ABC中，AC3，BC4，AB5，以AB所在直线为轴，三角形面旋转一周形成一旋转体，求此旋转体的表面积和体积.解过C点作CDAB，垂足为D.以ABC中边AB所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，如图所示，这两个圆锥的高的和为AB5，底面半径DCeq f(ACBC,AB)eq f(12,5)，故S表DC(BCAC)eq f(84,5)

16、。Veq f(1,3)DC2ADeq f(1,3)DC2BDeq f(1,3)DC2(ADBD)eq f(48,5).即所得旋转体的表面积为eq f(84,5)，体积为eq f(48,5).能 力 提 升8.体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是()A.54 B.54 C.58 D.58解析设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52eq f(1,3)h1(r29r23rr)，r2h112.令原圆锥的高为h，由相似知识得知eq f(r,3r)eq f(hh1,h)，heq f(3,2)h1，V原圆锥eq f(1,3)(3r)2

17、h3r2eq f(3,2)h1eq f(9,2)1254.答案A一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为()A.eq f(1,3)eq f(2,3) B.eq f(1,3)eq f(r(2),3)C.eq f(1,3)eq f(r(2),6) D1eq f(r(2),6)解析由三视图知，半球的半径Req f(r(2),2)，四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥，Veq f(1,3)111eq f(1,2)eq f(4,3)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)eq sup12(3)eq f(1,3)eq f(r(2),6)，故选C.答案C10.

18、在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCDA1C1D1，且这个几何体的体积为10，则AA解析由题意知VABCDA1C1D1VABCDA1B1C1D1VBA1B1C122AA1eq f(1,3)eq f(1,2)22AA1eq f(10,3)AA110，AA13.答案311.若E，F是三棱柱ABCA1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1ECF，三棱柱的体积为m，求四棱锥ABEFC的体解如图所示，连接AB1，AC1.B1ECF，梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积.又四棱锥ABEFC的高与四棱锥AB1EFC1的高相等，VABEFCVAB1EFC1eq f(1,2)VABB1C1C.又VAA1B1C1eq f(1,3)SA1B1C1h，VABCA1B1C1SA1B1C1hm，VAA1B1C1eq f(m,3)