2022版高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.2数系的扩充与复数的引入学案理

1、2021版高考数学一轮复习第11章算法、复数、推理与证明11.2数系的扩充与复数的引入学案理PAGE PAGE 2711.2数系的扩充与复数的引入知识梳理1复数的有关概念2复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数zabi复平面内的点Z(a，b)(a，bR)(2)复数zabi(a，bR) 平面向量eq o(OZ,sup16().3复数代数形式的四则运算(1)运算法则设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3C，

2、有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)(3)复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z1，z2，z3C，有z1z2z2z1，(z1z2)z3z1(z2z3)，z1(z2z3)z1z2z1z3.(4)复数加、减法的几何意义复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量eq o(OZ1,sup16()，eq o(OZ2,sup16()不共线，则复数z1z2是以eq o(OZ1,sup16()，eq o(OZ2,sup16()为两邻边的平行四边形的对角线eq o(OZ,sup16()所对应的复数复数减法的几何意义：复数z1z2是eq o(OZ1,sup16()

3、eq o(OZ2,sup16()eq o(Z2Z1,sup16()所对应的复数4模的运算性质：|z|2|eq xto(z)|2zeq xto(z)；|z1z2|z1|z2|；eq blc|rc|(avs4alco1(f(z1,z2)eq f(|z1|,|z2|).诊断自测1概念思辨(1)关于x的方程ax2bxc0(a，b，cR且a0)一定有两个根()(2)若复数abi中a0，则此复数必是纯虚数()(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模()答案(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(选修A22P1

4、16A组T1(3)在复平面内，复数zeq f(1,2i)(i为虚数单位)对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案D解析zeq f(1,2i)eq f(2i,2i2i)eq f(2,5)eq f(1,5)i，其对应的点为eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,5)，f(1,5)，在第四象限故选D.(2)(选修A22P112A组T3)在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点CA48i B82i C24i D4i答案C解析A(6,5)，B(2,3)，线段AB的中点C(2,4)，则点C对应的复数为z24i.故选C.3小题热身(1)

5、(2017全国卷)eq f(3i,1i)()A12i B12i C2i D2i答案D解析eq f(3i,1i)eq f(3i1i,1i1i)eq f(42i,2)2i.故选D.(2)(2015全国卷)设复数z满足eq f(1z,1z)i，则|z|()A1 B.eq r(2) C.eq r(3) D2答案A解析由已知eq f(1z,1z)i，可得zeq f(i1,i1)eq f(i12,i1i1)eq f(2i,2)i，|z|i|1，故选A.题型1复数的有关概念eq o(典例)已知x，y为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求x，y.复数问题实数化解设xabi(a，bR)，则yabi，xy2a

6、，xya2b2代入原式，得(2a)23(a2b2根据复数相等得eq blcrc (avs4alco1(4a24，,3a2b26，)解得eq blcrc (avs4alco1(a1，,b1)或eq blcrc (avs4alco1(a1，,b1)或eq blcrc (avs4alco1(a1，,b1)或eq blcrc (avs4alco1(a1，,b1.)故所求复数为eq blcrc (avs4alco1(x1i，,y1i，)或eq blcrc (avs4alco1(x1i，,y1i)或eq blcrc (avs4alco1(x1i，,y1i)或eq blcrc (avs4alco1(x1i，

7、,y1i.)方法技巧有关复数的基本概念问题的关键因为复数的分类、相等、模、共轭复数等问题都与实部与虚部有关，所以处理复数有关基本概念问题的关键是找准复数的实部和虚部，即转化为abi(a，bR)的形式，再从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理见典例冲关针对训练(2018山西四校联考)i是虚数单位，若eq f(2i,1i)abi(a，bR)，则lg (ab)的值是()A2 B1 C0 D.eq f(1,2)答案C解析因为eq f(2i,1i)eq f(2i1i,2)eq f(3,2)eq f(i,2)，所以aeq f(3,2)，beq f(1,2)，ab1，所以lg (ab)0，故选C.题型2

8、复数的几何意义eq o(典例)(2017全国卷)设复数z满足(1i)z2i，则|z|()A.eq f(1,2) B.eq f(r(2),2) C.eq r(2) D2先求z的代数形式，再求|z|.答案C解析由(1i)z2i得zeq f(2i,1i)1i，|z|eq r(2).故选C.方法技巧复数几何意义及应用1复数z、复平面上的点Z及向量eq o(OZ,sup16()相互联系，即zabi(a，bR)Z(a，b)eq o(OZ,sup16().2由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观提醒：|z|的几何意

9、义：令zxyi(x，yR)，则|z|eq r(x2y2)，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离冲关针对训练若复数z满足|z|1；|zi|12i|，则z在复平面内所对应的图形的面积为_答案4解析设zxyi(x，yR)，由|z|1及|zi|12i|易得x2y21及x2(y1)25知z在复平面内对应图形的面积为54.题型3复数的代数运算eq o(典例)(2016全国卷)若z12i，则eq f(4i,zxto(z)1)()A1 B1 Ci Di先作乘法zeq xto(z)运算，然后作除法运算答案C解析zeq xto(

10、z)(12i)(12i)5，eq f(4i,zxto(z)1)eq f(4i,4)i，故选C.方法技巧1加减乘除用法则(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式(2)记住以下结论，可提高运算速度：(1i)22i；eq f(1i,1i)i；eq f(1i,1i)i；eq f(abi,i)bai；i4n1，i4n1i，i4n21，i4n3i(nN)2复数方程要求解，运用概念相等来解决解决复数与三角函数、方程等综合问题，关键是抓住复数的实部、虚部，运用好复数的概念来解决问题冲关针对训练eq f(2r(3)i,12r(3)i)

11、eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),1i)2018_.答案2i解析原式eq f(i12r(3)i,12r(3)i)eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),1i)2)1009ieq blc(rc)(avs4alco1(f(2,2i)1009ii1009ii42521ii2i.1(2017全国卷)设有下面四个命题p1：若复数z满足eq f(1,z)R，则zR；p2：若复数z满足z2R，则zR；p3：若复数z1，z2满足z1z2R，则z1eq xto(z)2；p4：若复数zR，则eq xto(z)R.其中的真命题为()Ap1，p3

12、Bp1，p4 Cp2，p3 Dp2，p答案B解析设zabi(a，bR)，z1a1b1i(a1，b1R)，z2a2b2i(a2，b2R)对于p1，若eq f(1,z)R，即eq f(1,abi)eq f(abi,a2b2)R，则b0且a0zabiaR，所以p1为真命题对于p2，若z2R，即(abi)2a22abib2R，则ab0.当a0，b0时，zabibi/ R，所以p2为假命题对于p3，若z1z2R，即(a1b1i)(a2b2i)(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)iR，则a1b2a2b10.而z1eq xto(z)2，即a1b1ia2b2ia1a2，b1b2.因为a1b2a2b10/

13、a1a2，b1b2，所以p3为假命题对于p4，若zR，即abiR，则b0eq xto(z)abiaR，所以p4为真命题故选B.2(2018安徽安庆模拟)设i是虚数单位，如果复数eq f(ai,2i)的实部与虚部相等，那么实数a的值为()A.eq f(1,3) Beq f(1,3) C3 D3答案C解析eq f(ai,2i)eq f(2a1a2i,5)，由题意知2a1a2，解之得a3.故选C.3(2017浙江高考)已知a，bR，(abi)234i(i是虚数单位)，则a2b2_，ab_.答案52解析(abi)2a2b22abi.由(abi)234i，得eq blcrc (avs4alco1(a2b

14、23，,ab2.)解得a24，b21.所以a2b25，ab2.4(2017天津高考)已知aR，i为虚数单位，若eq f(ai,2i)为实数，则a的值为_答案2解析aR，eq f(ai,2i)eq f(ai2i,2i2i)eq f(2a1a2i,5)eq f(2a1,5)eq f(a2,5)i为实数，eq f(a2,5)0，a2. 基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2018湖南长沙四县联考)i是虚数单位，若复数z满足zi1i，则复数z的实部与虚部的和是()A0 B1 C2 D3答案C解析复数z满足zi1i，可得zeq f(1i,i)eq f(1ii,ii)1i.故复数z的实部与虚部的和是112，

15、故选C.2(2018湖北优质高中联考)已知复数z1i(i是虚数单位)，则eq f(2,z)z2的共轭复数是()A13i B13i C13i D13i答案B解析eq f(2,z)z2eq f(2,1i)(1i)2eq f(21i,1i1i)2i1i2i13i，其共轭复数是13i，故选B.3(2017河南洛阳模拟)设复数z满足eq o(z,sup16()|1i|i(i为虚数单位)，则复数z()A.eq r(2)i B.eq r(2)i C1 D12i答案A解析复数z满足eq o(z,sup16()|1i|ieq r(2)i，则复数zeq r(2)i.故选A.4(2018广东测试)若z(aeq r(

16、2)ai为纯虚数，其中aR，则eq f(ai7,1ai)()Ai B1 Ci D1答案C解析z为纯虚数，eq blcrc (avs4alco1(ar(2)0，,a0，)aeq r(2)，eq f(ai7,1ai)eq f(r(2)i,1r(2)i)eq f(r(2)i1r(2)i,1r(2)i1r(2)i)eq f(3i,3)i.故选C.5(2018安徽江南十校联考)若复数z满足z(1i)|1i|i，则z的实部为()A.eq f(r(2)1,2) B.eq r(2)1 C1 D.eq f(r(2)1,2)答案A解析由z(1i)|1i|i，得zeq f(r(2)i,1i)eq f(r(2)i1i

17、,1i1i)eq f(r(2)1,2)eq f(r(2)1,2)i，z的实部为eq f(r(2)1,2)，故选A.6(2017安徽江南十校联考)若zeq f(2i,2i)，则|z|()A.eq f(1,5) B1 C5 D25答案B解析解法一：zeq f(2i,2i)eq f(2i2i,2i2i)eq f(3,5)eq f(4,5)i，故|z|1.故选B.解法二：|z|eq blc|rc|(avs4alco1(f(2i,2i)eq f(|2i|,|2i|)eq f(r(5),r(5)1.故选B.7(2017河南百校联盟模拟)已知复数z的共轭复数为eq o(z,sup16()，若eq blc(r

18、c)(avs4alco1(f(3z,2)f(o(z,sup16(),2)(12eq r(2)i)5eq r(2)i(i为虚数单位)，则在复平面内，复数z对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案A解析依题意，设zabi(a，bR)，则eq f(3z,2)eq f(o(z,sup16(),2)2abi，故2abieq f(5r(2)i,12r(2)i)1eq r(2)i，故aeq f(1,2)，beq r(2)，则在复平面内，复数z对应的点为eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，r(2)，位于第一象限故选A.8(2018新乡、许昌、平顶山调研)复数z1，z

19、2满足z1m(4m2)i，z22cos(3sin)i(m，R)，并且z1z2，则的取值范围是()A.eq blcrc(avs4alco1(1，1) B.eq blcrc(avs4alco1(f(9,16)，1)C.eq blcrc(avs4alco1(f(9,16)，7) D.eq blcrc(avs4alco1(f(9,16)，7)答案C解析由复数相等的充要条件，可得eq blcrc (avs4alco1(m2cos，,4m23sin，)化简得44cos23sin，由此可得4cos23sin44(1sin2)3sin44sin23sin4eq blc(rc)(avs4alco1(sinf(3

20、,8)2eq f(9,16)，因为sin1,1，所以eq blcrc(avs4alco1(f(9,16)，7).故选C.9对于复数z1，z2，若(z1i)z21，则称z1是z2的“错位共轭”复数，则复数eq f(r(3),2)eq f(1,2)i的“错位共轭”复数为()Aeq f(r(3),6)eq f(1,2)i Beq f(r(3),2)eq f(3,2)iC.eq f(r(3),6)eq f(1,2)i D.eq f(r(3),2)eq f(3,2)i答案D解析由(zi)eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)f(1,2)i)1，可得zieq f(1,f(r(3),2

21、)f(1,2)i)eq f(r(3),2)eq f(1,2)i，所以zeq f(r(3),2)eq f(3,2)i.故选D.10已知zabi(a，bR，i是虚数单位)，z1，z2C，定义：D(z)|z|a|b|，D(z1，z2)|z1z2|，给出下列命题：(1)对任意zC，都有D(z)0；(2)若eq xto(z)是复数z的共轭复数，则D(eq xto(z)D(z)恒成立；(3)若D(z1)D(z2)(z1，z2C)，则z1z2；(4)对任意z1，z2，z3C，结论D(z1，z3)D(z1，z2)D(z2，z3)恒成立其中真命题为()A(1)(2)(3)(4) B(2)(3)(4)C(2)(4

22、) D(2)(3)答案C解析对于(1)，由定义知当z0时，D(z)0，故(1)错误，排除A；对于(2)，由于共轭复数的实部相等而虚部互为相反数，所以D(eq xto(z)D(z)恒成立，故(2)正确；对于(3)，两个复数的实部与虚部的绝对值之和相等并不能得到实部与虚部分别相等，所以两个复数也不一定相等，故(3)错误，排除B，D，故选C.二、填空题11(2017江苏高考)已知复数z(1i)(12i)，其中i是虚数单位，则z的模是_答案eq r(10)解析解法一：z(1i)(12i)12ii213i，|z|eq r(1232)eq r(10).解法二：|z|1i|12i|eq r(2)eq r(5

23、)eq r(10).12(2016天津高考)已知a，bR，i是虚数单位若(1i)(1bi)a，则eq f(a,b)的值为_答案2解析由(1i)(1bi)a得1b(1b)ia，则eq blcrc (avs4alco1(b1a，,1b0，)解得eq blcrc (avs4alco1(a2，,b1，)所以eq f(a,b)2.13(2016北京高考)设aR.若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点位于实轴上，则a_.答案1解析(1i)(ai)(a1)(a1)i，aR，该复数在复平面内对应的点位于实轴上，a10，a1.14若虚数z同时满足下列两个条件：zeq f(5,z)是实数；z3的实部与虚部互为相反数则z_.答案12i或2i解析设zabi(a，bR，b0)，则zeq f(5,z)abieq f(5,abi)aeq blc(rc)(avs4alco1(1f(5,a2b2)beq blc(rc)(avs4alco1(1f(5,a2b2)i.又z3a3bi实部与虚部互为相反数，zeq f(5,z)是实数，根据题意有eq blcrc (avs4alco1(bblc(rc)(avs4alco1(1f(5,a2b2)0，