9.离散随机变量的数字特征

1、第九离散量的数字特1X x1 x2 ，xn p1p2 ，pn EX x1 p1 x2 p2 xn 第九离散量的数字特1X x1 x2 ，xn p1p2 ，pn EX x1 p1 x2 p2 xn pn ，叫做这个离散型随X 2 p ，p DX) x E(x)2 p x E(x)2 p x E(x)2 p 12nn2nX D(X的算术平方根 D(x) X X 为 X p nX 的期望取值为np 量 X 服从参数为 n 和 p 的二项分布 ， 则 EXnp 二项分布： 若 离散型随D(x) npq (q 1 p)，D(X) n(N n)(N MEX) NN2(N 1】的点数为，则的数学期望为）D等

2、于的产品为优质品现用两种新配方（AB配方）做试验，各生产了件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： B 已知用B配方生产的一种产品利润y：元）与其质量指标值t的关系式 等于的产品为优质品现用两种新配方（AB配方）做试验，各生产了件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： B 已知用B配方生产的一种产品利润y：元）与其质量指标值t的关系式 ：元X（由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质品率为 =. 【】A配方生产的产品的优质品率的估计值为.B 配方生产的产品中优质品的频率为 .B 生产的产品的优质品率的估计值为.的频率分别为.，.，.，因此 X 的分布列为

3、X EX . . . .备（2011湖南某商店试销某种商品 X X 】 P（“当天商品不进货【01231595X24P48P（“当天商品销售量为件”）P（“当天商品销售量为件”） ) P（“当天商品销售量为件”） P(P（“当天商品销售量为件”）P（“当天商品销售量为件”）P（“P( 商品销售量为件”）X P（“当天商品销售量为件”）P（“当天商品销售量为件”） ) P（“当天商品销售量为件”） P(P（“当天商品销售量为件”）P（“当天商品销售量为件”）P（“P( 商品销售量为件”）X X EX 【例2（2011重庆 申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4 位申请人 恰有2【所有可能

4、的申请方式有34 种，恰有2 人申区房源的申请方式C222种，从而恰4C22 人申区房源的概率为 记“申区房源”为事件A，则P(A)1312 28P (2)4 34 3P(1)C2C (2 )P(2)或P(2) C1C2C2449P(3 3 4 2 或P(3 4 3 9 34 65 E 123P1X23P备（2011山东A、B、CAB，丙对C各一 】用表示红队队员获胜的总盘数，求ADB E ，丙胜C F ，D，E，F AB ，丙不胜C 的事件 P(D) .，P(E) .，P(F) . 备（2011山东A、B、CAB，丙对C各一 】用表示红队队员获胜的总盘数，求ADB E ，丙胜C F ，D，E

5、，F AB ，丙不胜C 的事件 P(D) .，P(E) .，P(F) . DEF，DEF，DEF，DEF 为P P(DEF) P(DEF) P(DEF) P(DEF . . . .12P( ) P(DEF) . .【P() P(DEF)P(DEF)P(DEF).P( P(DEF.P()P()P()P().所以E.】 和 的分布列如下 【6136130.7，D00.72 10.72 20.72 E02 0.891工人乙生产出次品数 的期望和方差分别为5325320.7 ，D00.72 10.72 20.72 E02E E 知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当D D ，可见乙的技012012P

6、613P5320123P备】甲保护区次数 X1 的数学期望和方差为EX1 00.310.3 20.2 30.2 DX1 (01.3) 0.3(11.3) 0.3(21.3) 0.2(31.3) 0.2备】甲保护区次数 X1 的数学期望和方差为EX1 00.310.3 20.2 30.2 DX1 (01.3) 0.3(11.3) 0.3(21.3) 0.2(31.3) 0.2【次数X 2 的数学期望和方差为EX200.110.520.4DX2 (01.3) 0.1(11.3) 0.5(21.3) 0.40.41EX1) E(X2，DX1 D(X2（标准差X1 DX11.1X2 DX2 0.64这

7、两个值在科学计算器上容易获得，显然(X1)(X2)【铺垫】一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，从中任意取4个，则取到新球的个】2.8；超几何分布，47 2.8，已知在备选的10道试题中，能答对其中的6试都从备选题中随机抽出5 E 56 3故他得分的期望值为20360【铺垫可从一个内有2张100元，3 张50元的袋子里任取2 张，求他获得钱数的期望值【 C03610) 2 3 1) 2 3 2) 2 3 P(555 121500)150P(2140100P( 22 4 因此他获得钱数的期望值为：100 4 502 414055X012P0123P【例4（2011辽宁行田间试验选取两

8、大块地，每大块地分成n小块地，在总共n 小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙 假设nXX 的分布列和数8 小块，即n的每公顷产量（ kghm）n的的样本方差s n【】X 0，1，2，3，4) )【例4（2011辽宁行田间试验选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共n 小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙 假设nXX 的分布列和数8 小块，即n的每公顷产量（ kghm）n的的样本方差s n【】X 0，1，2，3，4) ) P() ) P(X X 的数学期望为E(X) x ()甲S ( () () () ).甲x ()乙S ( () () () )乙（

9、2011江西不同的饮8 杯，其颜色完全相同，并且其中4 A 饮料4 杯为B 饮料，公司84A443杯，则月工资定为元，否则月工资定为X 表示此人选A A B 两种饮料没有鉴别能力备】X X 【X1234PCi i) (i，P(X 则P(Y ) P(X )P(Y ) P(X )P(Y ) P(X ) EY 所以新录用员工月工资的期望为【铺垫】一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，7个新的，每次取一球，取后放回，取4次，Ci i) (i，P(X 则P(Y ) P(X )P(Y ) P(X )P(Y ) P(X ) EY 所以新录用员工月工资的期望为【铺垫】一盒子内装有10个乒乓球，其中3个旧的，

10、7个新的，每次取一球，取后放回，取4次，72.842.8【例5x2 y2 4确定的平面区域为U x y 1确定的平面区域为V 定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域U内任取3个整点在区域V 在区域U 内任取3个点，记这3个点在区域V X X 的分布列和数学期望 】【C2P ：平面区域U 4，平面区域V 12222在区域U 内任取1个点，则该点在区域V 内的概率 122 32 0 111110) 1 1P ，3 23 2 2321 2 1112)2 1 23)2 1 2P( X X0123P2 32 32 1X01234P2 32 321 X EX 0231 （或者：X B，故EX np32

11、 备）甲种保险的概率为. ，险的概率为.，设各车主 求该地甲、乙两种保险中的种的概率X 表示该地的2 32 321 X EX 0231 （或者：X B，故EX np32 备）甲种保险的概率为. ，险的概率为.，设各车主 求该地甲、乙两种保险中的种的概率X 表示该地的X 【】记A表示事件：该地的1位车B1C1 P(A).，P(B) .，C AB P(C) P(A B) P(A) P(B) . DC，P(D)P(C).XB(，.X EX .；备某班级有n人，设一年365天中，恰有班上的m （mn ）X ，X 的期望值以及至少有两人过生日的天数的期望值n 个人在哪天过生日可看成 n 次独立重复试验，

12、设某天过生日的人数为 【，则n m 36411Y B nP(Y m Cm ，365365nn 365天每天有多少人过生日，又可看作365XB365，P(Ym)m E(X)365P(Y m)0n没有人过生日的天数期望值为n1 恰有一人过生日的天数期望值为Cn 365n1 n365n1 nX Cm Cn M m) NM Cmpmqnm ，其中p nNN【例6赛 161213【27 （2008 备赛1026 2 ，乙在每局中获胜的概率为13且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望E为3）D【22 15 3 39 P( 2) 5 ，P(4)45 20999 4P(6)9【27 （2008 备赛1

13、026 2 ，乙在每局中获胜的概率为13且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望E为3）D【22 15 3 39 P( 2) 5 ，P(4)45 20999 4P(6)9 EAk 表示甲在第kAk 表示乙在第k局比赛中获胜P( 2) P(A A ) P(A A ) 5 1 1 9221120 4) P(A A A A ) P(A A A A ) P(A A A A ) P(A A A A 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 22 116 6) P(A A A ) P(A A A ) P(A A A ) P(A A A A ) 31 2 3 1 2 3 1 2 3 12 3

14、 3 E【例7只派一次，工作时间不超过 分钟，如果有一个人 分钟内不能完成任务则撤出，再派下 p ，p ，p 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立概12 ，q 是 p ，p ，p 的一个排列，求所需派出数目X 的分布列和均值（数字期望）EX ； p p p ，试分析以怎样的先后顺序派出【论，任务不能被完成的概率都是( p ，q 是 p ，p ，p 的一个排列，求所需派出数目X 的分布列和均值（数字期望）EX ； p p p ，试分析以怎样的先后顺序派出【论，任务不能被完成的概率都是( p)( p)( p) ，( p)( p)( p) p p p p p p p p p pp q X

15、数目的均值（数学期望）EX EX 由EX p p pp p p p p 事实上，两者的差 (p q)(p q) pp )(p p pp(p q)(p q)(p q)p q(p q( p)(p (q)(p p)（方法二)(p q)(p q 可将EX 改写为) q 为) 也可将EX 改写为 综合可知，当 备 ABADAA 1B BC BB 113112 X123P】1AB，AD，AA1 【C1(乙乙蚂蚁只能沿CB ，CC 12 21 3 CAD方向时，乙蚂蚁只能沿C D CC 1 12 2A(甲B3 AA 方向走时，乙蚂蚁只能沿C D C B 12 211 1 3 23 2 93 2 当】1AB，

16、AD，AA1 【C1(乙乙蚂蚁只能沿CB ，CC 12 21 3 CAD方向时，乙蚂蚁只能沿C D CC 1 12 2A(甲B3 AA 方向走时，乙蚂蚁只能沿C D C B 12 211 1 3 23 2 93 2 当0ABCC1ABB1C1ADCC1ADD1C1AABC AADC P 1116 1 1 1 1 1 12当 2ABCDABB1AADCBADD1AAA B B AAD DP 1116 1 1 22 22P(0 1 P( 2 1 E22（2011卓越a个白球和b 个黑球，从中任取一个球，如果取出白球，则把它放回袋中；如n次这样的操作后，记Xn （I）EX1（II）PXnak pkP

17、Xn1 akk 012b1EX 11abn】X1的取值可以是a，a1【abPX a ，11aaa2 ab所以EX1 aPX1 aa1PX1 a1 Xn1 ak Xn a k Xn ak aXn ak 时，则第n1a ba k aPXn1 akPXn akPXn akaa a b1ppkakaak2 a bakb1k a bbbbEXn1 akPXn1 akpk kpkkkDak2 a bb1 a k 1bkbpk akkb1 akb1 a k 1bkpk pk abaakkab b 1 a bak2 a bb1 a k 1bkbpk akkb1 akb1 a k 1bkpk pk abaakk

18、ab b 1 a b1ak abkakkk0 kb b1 1 akp ab1 bka bpabkkakkk0 ab b1 1 akbkabkakk0 1EX 11abn练.）量X的分布列如下表若EX 0，DX 1，则a -1 X121aP1 【12 由题知abc11，ac 1 0，12 a12c221，解得a 1564练习E1000.11150.21250.41300.11450.2E 1100.11200.21250.41300.11350.2 【PPD0.1(100125)20.2(115125)20.4(125125)2 0.1(130125)2 0.2(145125)2 D0.1(11

19、0125)20.2(120125)20.4(125125)2 0.1(130125)2 0.2(135125)2 练习）3 个白球、2 从这两个箱D0.1(100125)20.2(115125)20.4(125125)2 0.1(130125)2 0.2(145125)2 D0.1(110125)20.2(120125)20.4(125125)2 0.1(130125)2 0.2(135125)2 练习）3 个白球、2 从这两个箱子里各随机摸出2 个球 （1 中32 X EX【 12设“1中摸出i个白球”15C2 P(A ) 3 2 3C2 设“在1 中获奖”为事件B，则B A2 A3 C2 C1 C1又P(A )C5 且A ，A 互斥，所以P(B) P(A