-三角函数和解三角形(教师版)

1、三角函数与解三角形教学目标： 1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出,的正弦、余弦、正切的诱导公式;理解同角的三角函数的基本关系式:sin2x+cos2x=1,.3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间0,2上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x轴的交点等),理解正切函数在区间(-,)内的单调性.4.了解函数的物理意义；能画出的图象，了解对函数图象变化的影响.5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用

2、两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系.6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换知识梳理：一、三角恒等变换与三角函数1.三角函数中常用的转化思想及方法技巧:(1)方程思想:, ,三者中,知一可求二;.函数的问题:(1)“五点法”画图:分别令、，求出五个特殊点；(2)给出的部分图象,求函数表达式时,比较难求的是,一般从“五点法”中取靠近轴较近的已知点代入突破;二、解三角形1正弦定理已知在ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，则eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)eq f

3、(c,sinC)2R(R为三角形外接圆的半径)2余弦定理已知在ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，则a2b2c22bccosA，cosAeq f(b2c2a2,2bc)，另外两个同样3面积公式已知在ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，则(1)三角形的面积等于底乘以高的eq f(1,2)；(2)Seq f(1,2)absinCeq f(1,2)bcsinAeq f(1,2)acsinBeq f(abc,4R)(其中R为该三角形外接圆的半径)；(3)若三角形内切圆的半径是r，则三角形的面积Seq f(1,2)(abc)r；(4)若peq f(abc,2)，则三角形的面积Se

4、q r(ppapbpc).例题讲解：考点一 三角函数的概念、诱导公式 例1、已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴若P(4，y)是角终边上一点，且sineq f(2r(5),5)，则y_.【方法技巧】1用三角函数定义求三角函数值有时反而更简单； 2同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式的应用条件. 考点二 三角函数的性质 例2、已知a(sinx，cosx)，b(cosx，eq r(3)cosx)，函数f(x)abeq f(r(3),2).(1)求f(x)的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标；(2)当0 xeq f(,2)时，求函

5、数f(x)的值域【方法技巧】(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，将三角函数式化为yAsin(x)B的形式，然后再求解(2)求函数f(x)Asin(x)(0)的单调区间常用换元法：将x作为一个整体，若求单调增区间，令xeq blcrc(avs4alco1(2kf(,2)，2kf(,2)(kZ)；若求单调减区间，则令xeq blcrc(avs4alco1(2kf(,2)，2kf(3,2)(kZ)值得注意的是，若0)的形式，再用换元法求单调区间.考点三图像例3、已知函数f1(x)Asin(x)(A0，0，|eq f(,2)的一段图像经过点(0,1)，如图所

6、示(1)求f1(x)的表达式；(2)将函数f1(x)的图像向右平移eq f(,4)个单位长度得到函数f2(x)的图像，求yf1(x)f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的集合考点四 三角变换及求值 例4、已知函数f(x)2sin(eq f(1,3)xeq f(,6)，xR.(1)求f (0)的值；(2)设，0，eq f(,2)，f(3eq f(,2)eq f(10,13)，f(32)eq f(6,5).求sin()的值考点五 正、余弦定理的应用 例5、ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且lgalgblgcosBlgcosA0. (1)判断ABC的形状； (2)设向量m(2a，b)

7、，n(a，3b)，且mn，(mn)(mn)14，求a，b，c. .考点 六 解三角形与实际应用问题 在实际生活中，测量底部不可到达的建筑物的高度、不可到达的两点的距离及航行中的方位角等问题，都可通过解三角形解决例6、如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3eq r(3)海里的两个观测点现位于A点北偏东45，B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20eq r(3)海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【方法技巧】应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步 (1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理

8、解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等； (2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出； (3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解； (4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案 高考真题1.函数f（x）=sin ()的导函数的部分图像如图4所示，其中，P为图像与y轴的交点，A,C为图像与x轴的两个交点，B为图像的最低点.（1）若，点P的坐标为（0，），则 ;（2）若在曲线段与x轴所围成的区域内随机取一点，则该点在ABC内的概率为 .2【2012高考真题湖北理11】设的内角，所对的边分别为，. 若，则角 3.【2012高考真题安徽理15】设的内角所对的边为；则下列命题正确的是 = 1 * GB3 若；则 = 2 * GB3 若；则 = 3 * GB3 若；则 = 4 * GB3 若；则 = 5 * GB3 若；则4.【2012高考真题福建理13】已知ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为_.5.【2012高考真题重庆理13】设的内角的对边分别为，且，,则