20192020学年小学奥数竞赛专题数列问题

1、2019-2020学年小学奥数竞赛专题：数列问题2019-2020学年小学奥数竞赛专题：数列问题4/42019-2020学年小学奥数竞赛专题：数列问题2019-2020学年小学奥数竞赛专题：三数列问题从高斯的故事谈起高斯是19世纪德国的出名数学家。他从小喜欢学数学，善于思虑，聪颖过人。听闻他在读小学三年级的时候，一次老师部署一道题目：“把从1到100的自然数加起来，和是多少？”正当同学们专心一个数一个数加的时候，小高斯很快报出答数为5050，这使得老师特别吃惊。小高斯是采用什么方法巧妙地进行计算的呢？先来观察一下题目，发现数字的排列是有规律的。1+2+3+4+5+6+7+8+9+?+100。这

2、是按自然数排列的，后边一个数都比前面一个数大1，恰似上体育课同学们排成一队，叫做队列，这就叫做数列。请观察下面的数列：1，3，5，7，9，11；2，6，10，14，18，22；5，10，15，20，25，30。这些数列的两个数之间的差都是相等的，因此叫做等差数列。既然这些数列排列都有规律可找，因此可以发现好多数学问题，这些就是数列问题。小高斯做的题目是最简单的数列问题。100个数相加大多了。我们先用九个数来研究一下：这样凑成4个10再加上5，和为45。还有一个方法：1+2+3+4+5+6+7+8+9=倍和和9+8+7+6+5+4+3+2+1=10+10+10+10+10+10+10+10+10

3、=90把数列颠倒过来相加，所得结果是和的2倍，只要除以2就获取答案：和90245。依照这个道理，可以获取求等差数列的和的一般公式：（首项+末项）个数2把小高斯做的题目：1+2+3+4+5+?+100代入公式：（1+100）1002=1011002=101002=5050例11+2+3+?+25031375（1+250）2502=2512502=627502=31375例21+3+5+7+9+?+19910000这是一列奇数数列，也可代入公式（首项十末项）个数2（1+199）1002=200002=10000怎样算出连续奇数的个数，不用一个一个地数出来。只要（首项+末项）2，就能求出个数。例31

4、01+103+105+?+199=？这道题和上面讲的有所不同样。它诚然也是求连续奇数的和，但却不是从1开始的。其实也不难，只要先算出从1到199的连续奇数的和，再减去从1到99的连续奇数的和，问题就解决了。1+3+5+?+99=2500，1+3+5+?+199=10000，101+103+105+?+199=10000-25007500。例42+4+6+?+100=？这道题一看就知道，是求从2开始连续偶数的和。同样可用上面的公式代入（2+100）502=51002=2550。要知道从2开始连续偶数的个数，也不用一个一个地去数，只要把最后那个偶数除以2就可以了。例5五个连续偶数的和是150，这五

5、个偶数是哪几个数？粗看这道题目感觉很难，感觉无从下手。可以先列举几组五个连续偶数观察一下：请你仔细观察解析，就会发现规律，五个连续偶数的和，恰好是中间数的5倍。中间数找到了，前后四个数就能写出来了。解例5：先求出五个连续偶数的中间数：1505=30。所以这五个连续偶数是：26，28，30，32，34。例6已知四个连续偶数的和是84，这四个偶数是哪几个数？这道题是四个连续偶数，没有中间数，上面的方法不适用了，要依照上题的思路重新想方法。先列举几组题目观察一下：从上面两组题发现，四个连续偶数分成两个数对，每个数对的和是相等的。依照这个特点，可以从这个和中先求出一个数对，尔后再计算出四个连续偶数来。

6、842=42尔后推算出这个四个偶数：18，20，22，24。例710到80之间能被7整除的各数之和是多少？10到80之间，7的最小倍数是14，7的最大倍数是77，这是一列7的倍数的数列：14+21+28+?+77455。代入求等差数列之和的公式得：（14+77）102=9102=455。111?1例81223?3499100求这一数列各数之和，若是依照一般方法计算实在太麻烦了。你愿意试一试看的话，生怕半天还算不出来呢。从何下手呢？第一要仔细解析题目，看看这些分数有什么特点。不难看出，这99个分数的分子都是1，分母都是两个连续的自然数的乘积。这一数列的编列是有规律可找的。依照分数乘法的法规，它们都可以分成两个分数相乘，如：11111112=1223=23.11123611321236.61111。2323依照上面解析，两个分数的积与这两个数的差可能相等。但这两个分数不是任