高中数学必修二同步练习题库：空间几何体的表面积和体积(填空题：容易)

1、共 共 34 页，第 、参考答案1、2、3、 50 4、37、8、489、10、11、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、124805037、38、39、40、41、42、43、44、45、46、47、48、49、50、51、52、53、54、55、56、57、58、12412459、60、61、62、63、64、65、66、67、68、69、70、解析】1、试题分析：根据几何体的三视图得:该几何体是如图所示的三棱锥，且侧棱 底面 ；所以， ， ；所以，该三棱锥的表面积为 故答案为： 考

2、点：由三视图求面积、体积【方法点晴】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题时应根据三视图画出几何图形，求出各个面 的面积和，是基础题；由三视图均为三角形可初步判断该几何体为三棱锥，由俯视图可知底面是以为底边的等腰三角形，由主视图可以判断定点 在 的正上方，即 底面 且 ，验证侧视图满足，计算出每个面的面积，求其和即可2、由题意得该几何体由上下两部分组成，其中上面为圆锥、下面为半球，且圆锥底面圆的半径等于半球的球半径，都为 1；圆锥的高为，母线长为 。所以几何体的表面积为。答案：3、试题分析：由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的 直径，然后求出球的表

3、面积解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的 8 个顶点都在同一个球面上，；则这个球的表面积是：所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：；则这个球的表面积是：所以球的半径为： 故答案为： 50考点：球内接多面体；球的体积和表面积4、试题分析：设出球的半径，求出球的体积和表面积，利用相等关系求出球的半径即可解：设球的半径为 r，则球的体积为：，球的表面积为： 42r因为球的体积与其表面积的数值相等，所以=4r2，解得 r=3故答案为： 3考点：球的体积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）5、试题分析：由题圆锥的母线长为，则它的侧面积是 考点：圆锥的侧面积6、试题分析：根

4、据该几何体的特征，可知所剩的几何体的体积为长方体的体积减去所截的三棱锥的体积，即 考点：几何体的体积，圆锥的侧面7、试题分析：因为底面圆的周长为，所以底面圆的半径为 1，所以圆锥的底面积为，圆锥的侧面积为 ，所以圆锥的表面积为 。考点：椎体的表面积8、由于四棱锥的斜高h8、由于四棱锥的斜高h4，故其侧面积46448.9、试题分析：设球的半径为，因为球的表面积为所以球的体积考点：本题考查球的表面积与体积的理解9、试题分析：设球的半径为，因为球的表面积为所以球的体积考点：本题考查球的表面积与体积的理解10、试题分析：根据题意 ,由于圆柱的底面半径为，高为 ，则圆柱的底面积为,故可知答案为,故可知答

5、案为考点：圆柱的全面积 点评：主要是考查了圆柱的表面积的计算,属于基础题11、底面积，12、设两个球的半径分别为,由题意得，解得2:5。答案： 考点：圆柱的全面积 点评：主要是考查了圆柱的表面积的计算,属于基础题11、底面积，12、设两个球的半径分别为,由题意得，解得2:5。答案： 2:5，即这两个球的半径之比为13、球的半径球的表面积，则它的表面积为14、正四面体的四个面均为正三角形边长为a,每个面的面积为，则它的表面积为15、试题分析：已知圆锥的母线长为5cm，侧面积为所以圆锥的底面周长： 6，底面半径是： 3，圆锥的高是： 4 此圆锥的体积为： 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积16、圆柱的高

6、为 8,它的两个底面的圆周在直径为 10 的同一个球的球面上该圆柱底面圆周半径 r= ，该圆柱的体积： V=Sh= .17、长方体的长、宽、高分别为 3，2，1，其顶点都在球 O 的球面上，可知长方体的对角线的长就是球的 直径，所以球的半径为： .则球 O 则球 O 的表面积为：故答案为： 14.点睛：若长方体长宽高分别为 则其体对角线长为 ;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法 :过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心 . 三棱锥三条侧棱两两垂直 ,且棱长分别为，则其外接球半径公式为18、根据等积法可得18、根据等积法可得19、长方体的长、宽、高分别

7、为 3，2，1，其顶点都在球 O 的球面上，可知长方体的对角线的长就是球的 直径，所以球的半径为： .故答案为： 14.点睛：若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线故答案为： 14.点睛：若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法 :过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心 . 三棱锥三 条侧棱两两垂直 ,且棱长分别为 ，则其外接球半径公式为 : .20、空间四个点 ， ， ， 在同一球面上， ， ， 两两垂直，且 ，则 ， ， 可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点 ， ，

8、， 的球面即为棱长为 6 的正方体的外接球，球的直径即是正方体的对角线，长为 ， .所以这个球面的面积 .综上所述答案为： .点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关 系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各 顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在 平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的 直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底 面中

9、心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧 棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球 .21、设圆锥底面半径为，则有 ，所以 ，则圆锥侧面积为 .22、由于三条侧棱相等，根据三角形面积公式可知，当两两垂直时，侧面积之和最大 .此时可看成正方体一个顶点的三条侧棱，其外接球直径为正方体的体对角线，即，故球的表面积为 .23、由已知得，则24、依题意有体积为，故一共有斛）米 23、由已知得，则24、依题意有体积为，故一共有斛）米 .25、依题意可知25、依题意可知故求得表面积为26、试题分析：因为正三棱柱的底面边长为 ，侧棱长为 为 中点，

10、所以底面的面积为 ， 到底面的距离为就是底面正三角形的高 ，所以三棱锥 的体积为 考点：几何体的体积的计算27、试题分析：因为正三棱柱的底面边长为 ，侧棱长为 为 中点，所以底面的面积为 ， 到底面的距离为就是底面正三角形的高 ，所以三棱锥 的体积为 考点：几何体的体积的计算28、依题意，设球的半径为，根据体积公式有 ，解得2928、依题意，设球的半径为，根据体积公式有 ，解得29、试题分析：棱柱的底面积为考点：棱柱体积30、试题分析：由已知可得30、试题分析：由已知可得考点：定积分31、试题分析：球心为长方体的体对角线的中点， ， 考点： 1、长方体的外接球； 2、球的表面积公式【方法点晴】

11、本题考查长方体的外接球、球的表面积公式，涉及数形结合思想和转化化归思想，考查空间 想象能力、逻辑思维能力、等价转化能力和运算求解能力，综合性较强，属于中档题型 首先利用数形结合思想可判断：球心 为长方体的体对角线的中点，从而求得 ，再代入球的表面积公式 可得 32、试题分析：因为正三棱柱的底面边长为 ，侧棱长为 为 中点，所以底面的面积为 ， 到底面的距离为就是底面正三角形的高的体积为 考点：几何体的体积的计算33、试题分析：矩形的对角线的长为，所以棱锥 的体积为 考点：几何体的体积的计算34、试题分析：由题意得，根据几何体的三视图可知，该几何体为正方体与圆柱的组合体，其中圆柱的体积为 ，正方

12、体的体积为 ，所以几何体的体积为.考点：几何体的三视图；几何体的体积 .35、设水箱底长为 x cm33、试题分析：矩形的对角线的长为，所以棱锥 的体积为 考点：几何体的体积的计算34、试题分析：由题意得，根据几何体的三视图可知，该几何体为正方体与圆柱的组合体，其中圆柱的体积为 ，正方体的体积为 ，所以几何体的体积为.考点：几何体的三视图；几何体的体积 .35、设水箱底长为 x cm，则高为，得.设容器的容积为 y ，则cm.由有.求导得.令，解得舍去 ).当时，；当 时.因此是函数 的极大值点，也是最大值点，此的长方形，如图所36、试题分析：因为该三棱锥的对棱两两相等，所以可构造长、宽、高分

13、别是的长方形，如图所示，三棱锥 的外接球即为所构造的长方体的外接球，所以所求外接球的半径，则三棱锥 的外接球的表面积为，则三棱锥 的外接球的表面积为故答案为考点：球的表面积、体积 【方法点晴】本题主要考查了几何体的外接球以及球的表面积计算，由该三棱锥的对棱两两相等，将三棱锥的外接圆构造成长方体的外接圆是解决本题的关键所在，对空间想象能力要求较高，难度中档；在正方体与球的组合体中常见的有三种形式：1、正方体的各个定点均在球面上，球的直径即为正方体的体对角线； 2、正方体的个面与球相切，球的直径即为棱长；3、球与正方体的各条棱相切，球的直径即为面对角线.a，b，c，由题意可知4a，b，c，由题意可

14、知4，底面正三角形的高是38、试题分析：此几何体为一个三棱柱，棱柱的高是设底面边长为 a，则a， a=6，故三棱柱体积 V ?62? ?4考点：由三视图求面积、体积39、试题分析：因为 D ， E，分别是 AB ，AC 的中点，所以 SADE ： SABC=1 ：4， 又 F是 AA 1的中点，所以 A 1到底面的距离 H为 F到底面距离 h的 2倍即三棱柱 A1B1C1-ABC 的高是三棱锥 F-ADE 高的 2 倍所以 V 1：V 2= SADE?h/S ABC?H =1：24考点：棱柱、棱锥、棱台的体积40、试题分析：可采用补体的方法，先画一个正方体，正方体的棱长为，那么正方体的面对角线

15、为3，取四点构成棱长为 3 的三棱锥，若与三棱锥的各棱均相切，即与正方体的各面相切，所以正方体的内切球就是所求的球，球的半径为棱长一半，即 ，这样球的表面积为.考点：几何体的内切球41、试题分析：由三视图可知该几何体是四棱锥和四棱柱的组合体，该几何体的上部分是有一条侧棱垂直 于底面的四棱锥，其底面是边长为 4 的正方形高为 3，下部分是四棱柱，其底面是边长为4 的正方形，高为 4，则考点：空间几何体的三视图及体积【方法点睛】名求组合体的几何，首先应该知道它是哪些简单几何体组合而成，这就要求必须掌握简单几 何体（柱、锥、台、球等）的三视图，只有在掌握简单几何体三视图的基础上才能确定组合体的“组合

16、 ”，同时注意三视图的作图原则： “长对正，高平齐，宽相等 ”，由此可确定几何体中各数据42、解：把四棱锥补成长方体，则四棱锥的外接球是长方体的外接球，长方体的对角线长等于球的直径，2R=5 ，R=，外接球的表面积 S=4R2=50 故答案为： 50【点评】本题考查了棱锥的外接球的表面积的求法，利用长方体的对角线长等于球的直径求得外接球的半 径是解答此题的关键43、试题分析：由题中平面平面 ， ，可知 为直角三角形 ,且,侧面底面,则侧面的 边上的高即为四面体的高 ,由,可知高为.则四面体的体积为.故本题答案应填考点： 1.三棱锥的体积； 2.线、面之间的垂直的判定与性质 .【思路点睛】本题主

17、要考查三棱锥的体积,线 ,面之间的垂直关系的判定与性质及空间想象能力.利用用已知知条件找出底面上的高是解决本题的关键,底面上的高对应线面垂直 .线面垂直的常见判定方法有 .（ 1）利用线面垂直的判定定理；（ 2）利用两平行线中的一条与平面垂直 ,则另一条也与这个平面垂直；（ 3）利用一 条直线垂直于两平等平面中的一个,则垂直于另一个平面；（ 4）利用面面垂直的性质 .44、试题分析：由三棱锥中， 底面 ，将三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径，则三棱锥外接球的直径为 ，半径为 ，外接球的表面积。所以答案应填： 。考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积。【方法点睛】由于几何体的形状多种多

18、样，所以体积的求法也各不相同。针对一些不规则的几何体，直接 运用体积公式可能比较困难，我们常对原几何体进行割补，转化为几个我们熟悉的几何体，其解法也会呈 现一定的规律性：几何体的 “分割 ”几何体的分割即将已给的几何体，按照结论的要求，分割成若干个易 求体积的几何体，进而求之。几何体的 “补形 ”与分割一样，有时为了计算方便，可将已给的几何体补成 易求体积的几何体，如长方体，正方体等等。本题将三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径， 从而即可求得该三棱锥的外接球的表面积。本题考查球的表面积的计算，考查学生分析解决问题的能力， 得出将三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径是解题的关键

19、。45、试题分析： 考点：棱锥体积46、试题分析：由已知，取中点 ，连接 ，当平面 时，四面体46、试题分析：由已知，取中点 ，连接 ，当平面 时，四面体的体积最大，则 ， ，设球 半径为 ，则 ，解得考点：三棱锥的外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点） 或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内 切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程 （组）求解 .47、试题分析：设外接球的球心为,四边形的外接圆的圆心为,点到平面的距离为即,设等边

20、三角形的高与的交点为 ,则平面,且,如图 ,故,又因四边形的外接圆的圆心 是的中点 ,则,联立与 可得, 所以四棱锥的外接球的面积.考点：多面体的几何性质与外接球面积的计算 【易错点晴】多面体的外接球的体积面积问题一直以来都是教与学的难点.解答这类问题的关键是求半径 ,也是解答这类问题的难点值所在 .本题在解答时充分借助题设条件 ,先搞清楚了四边形的外接圆的圆心 的位置 ,再求出外接圆的半径 . 再结合球心与截面圆的半径之间的关系 ,建立了方程组48、试题分析：,求出了外接球的半径是面积，二维度量，结论是最后运用球的面积公式求出了外接球的面积为是体积，是三维度量，因此可类比结论为48、试题分析

21、：,求出了外接球的半径是面积，二维度量，结论是最后运用球的面积公式求出了外接球的面积为是体积，是三维度量，因此可类比结论为事实上，设正四面体的内切球半径为 ，外接球半径为 ，一个面的面积为 ，则正四面体体积为，所以，所以考点：类比推理49、试题分析：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得如下结论：正四面体的外接球和内切球的半径之比是 3： 1，故正四面体的内切球体积为V1，外接球体积为 V2 之比等于考点：球的表面积和体积50、试题分析：该几何体是一个半圆柱，其中半圆柱的底面半径是，高是 ，因此几何体的体积为，故答案填 .考点： 1、三视图； 2、柱体的体积 .51、试题分析：三棱锥的体

22、积等于三棱锥 的体积的一半，等于三棱锥 的体积的四分之一 .考点：三棱锥体积52、试题分析：由题意得52、试题分析：由题意得因此 由余弦定理得： 或 ，因此 或 考点：三棱锥体积，余弦定理53、试题分析：由题意得：球心为中点 ，而 ，球 的表面积等于考点：球的表面积【方法点睛】（ 1）求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问 题求解，注意求体积的一些特殊方法 分割法、补形法、等体积法 .（2）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作 截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画

23、内切、外接 的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求 解.54、试题分析：由题意知平面 ABD 平面 BCD ，三棱锥 A BCD 侧视图为等腰直角三角形，两条直角边 分别是过 B和 D向AC 所做的垂线，求出直角边的长度，得到侧视图的面积 解：由正视图和俯视图可知平面 ABD 平面 BCD ，三棱锥 ABCD 侧视图为等腰直角三角形，两条直角边分别是过A 和 C 向 BD 所做的垂线，由面积相等可得直角边长为 =，侧视图面积为 S = = 故答案为： 考点：简单空间图形的三视图55、试题分析：矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：，

24、所以棱锥 O-ABCD 的体积为：考点：球内几何体的体积56、试题分析：设 AB=a ， AD=b ，=c则 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积57、试题分析：设长方体长宽高分别为考点：棱锥体积考点： 1几何体的体积；2三视图59、试题分析：设三棱柱A1B1C1ABC的底面积为 s，高为 h,则棱锥 F考点： 1几何体的体积；2三视图59、试题分析：设三棱柱A1B1C1ABC的底面积为 s，高为 h,则棱锥 FADE 的高，即点F 到平面 ADE的距离等于,所以考点：多面体的体积运算60、试题分析：设三棱柱A1B1C1 ABC的底面积为 s，高为 h,则棱锥 FADE 的高，即点F 到平面 ADE的距离等于,所以考点：多面体的体积运算61、试题分析：直观图如图所示，底面是边长为1 的正方形，高 ，体积，表面积58、试题分析：此几何体是下面是长方体，上面是正四棱锥，考点：由三视图求表面积和体积62、试题分析：由题