高中数学同步讲义必修二-第一章空间几何体

1、2 直观图与原图形的互化知多少1 学习空间几何体要“三会”1会辨别例 1 如图，甲、乙、丙是不是棱柱、棱锥、棱台？为什么？分析 切实理解棱柱、棱锥和棱台的定义是解答此类问题的关键解 图甲这个几何体不是棱柱，这是因为虽然上、下面平行，但是四边形ABB1A1 与四边形A1B1B2A2 不在一个平面内， 所以多边形 ABB1B2A2A1不是一个平面图形， 它更不是一个平行四 边形，因此这个几何体不是一个棱柱；图乙中的六个三角形没有一个公共点，故不是棱锥， 只是一个多面体；图丙也不是棱台，因为侧棱的延长线不能相交于同一点评注 要准确辨别各种几何体，可从轴、侧面、底面、母线、平行于底面的截面等方面入手，

2、 当然掌握定义是大前提2会折展例 2 纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北现在沿该正 方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“ ”的面的 方位是 分析 将平面展开图按要求折叠成正方体，根据方位判断即可解析 将平面展开图折叠成正方体，如图所示，标“ ”的面的方位应为北故填北答案 北 评注 将空间几何体展开成平面图形，或将展开图折叠成空间几何体，在后面的计算或证明 中经常用到，应引起重视解决这类问题的关键是充分发挥空间想象能力或亲自动手制作模 型进行实践3会割补例 3 如图所示是一个三棱台 ABC A1B1C1.(1)试用一个平面把这个三棱台

3、分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示； (2)试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥分析 (1) 三棱柱要求两个底面为平行且全等的三角形，其余三个面为四边形，且相邻两个四 边形的公共边都相互平行；(2)三棱锥要求底面为三角形，且其余各面为有一个公共顶点的三角形解 (1)作 A1D BB1，C1E BB1，连接 DE，则三棱柱为 A1B1C1DBE ，多面体为 ADECC 1A1(如图所示 )(2)连接 A1B，A1C，C1B，就能把三棱台分成三部分， 形成的三个三棱锥分别是三棱锥A1ABC、三棱锥 B A1B1C1、三棱锥 A1 BCC 1(如图所示 )评注 正确理解

4、各类几何体的概念是将几何体进行割补的前提，在后面的空间几何体的体积 或面积计算中经常要通过线、面，将不规则的几何体通过割补的方法转化为规则的几何体， 从而可以利用公式求解在高考中常借助于求平面图或直观图的面积来考查斜二测画法中角度和长度的变化，也实现 了原图形与直观图的互化关于两者的互化，关键是要抓住它们之间的转化规则 “斜”和“二测”“斜”也即是直角坐标系到斜45坐标系之间的相互转化，“二测”也即是两者在转化时，要做到“水平长不变，垂直倍半化”现通过例题讲述一下两者之间的具体转化策略1原图形到直观图的转化例 1 已知正三角形 ABC 的边长为 a，那么 ABC 的平面直观图 AB C的面积为

5、 ( )A. 3a2 B. 3a2 C. 6a2 D. 6a2A. 4 a B. 8 a C. 8 a D.16a分析 先根据题意，在原图形中建立平面直角坐标系(以 AB 所在直线为 x 轴，以 AB 边上的高所在直线为 y 轴)，然后完成由原图形到直观图的转化，然后根据直观图ABC的边长及夹角求解解析 根据题意，建立如图 所示的平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出其直观图，如图所示易知， AB AB易知， AB ABa，C D 22O C作 C D A B于 D ，则68 a.6 6 6 6 28 a 16a .421.在求解SABC12ABCD12a答案 D评注 通过斜二测画法画出的平面图

6、形的直观图的面积与实物图的面积之比为 中注意面积中的水平方向与垂直方向的选择与定位2直观图到原图形的转化例 2 一个四边形的直观图是一个底角为45，腰和上底长均为 1 的等腰梯形 求原四边形的面积解 方法一 如图 (1)是四边形的直观图，取 BC所在直线为 x 轴因为ABC45 ，所以取 BA所在直线为 y轴 过点 D作DEAB，DE交BC于E，则 BEAD1.又因为梯形为等腰梯形，所以 EDC为等腰直角三角形，所以 E C 2. 再建立一个直角坐标系 xBy，如图 (2)，在 x 轴上截取线段 BCBC 1 2， 在 y 轴上截取线段 BA 2BA2.过A作 AD BC，截取 ADAD1.连

7、接 CD，则四边形 ABCD 就是四边形 A BCD的原平面图形四边形 ABCD 为直角梯形，其中上底 AD1，下底 BC1 2，高 AB 2，所以 S梯形 ABCD 21AB（AD BC）21 2（11 2） 2 2.方法二 四边形的直观图是一个底角为 45，腰和上底长均为 1 的等腰梯形， 其面积为 S11 2 22212 221所以原四边形的面积为22 2( 2 1)2 2.4点评 (1) 只由直观图很难发现所求与已知的关系，当根据直观图画出原平面图形时，原平面图形的形状及数量关系很容易发现，体现了数形结合思想的应用S直观图2S直观图2S原图形4(2)一个平面图形与其斜二测画法所画直观图

8、的面积间的关系是由于柱、锥、台的表面积是各个面的面积之和，因此计算的关键在于对几何体各个面的正确 认识以及对表面积公式的正确运用1锥体的表面积例 1 正三棱锥的底面边长为 4 cm ，它的侧棱与高所成的角为 45，求正三棱锥的表面积 分析 本题的关键在于求正三棱锥的斜高解 如图所示，过 S点作 SO平面 ABC于 O 点，则 O为ABC的中心，连接 AO 并延长与BC 相交于 D 点.由正三角形的性质得 D 为 BC 的中点，连接 SD，则 SD 为正三棱锥的斜高在 Rt ASO中， ASO 45 ，AO 334433(cm)， SO AO 433(cm)在 RtSOD 中，OD 634233

9、(cm)，故 SD 故 SD SO2OD 2 136432 315(cm)令 SDh，根据正三棱锥的侧面积公式，得S侧321 4 2 3154 15(cm 2)，又ABC 的面积为 4 3 cm2，故正三棱锥的表面积为 (4 154 3) cm2.评注 有关棱锥、棱台的表面积问题，常常涉及到侧棱、高、斜高、边心距和底面外接圆半 径五个量之间的关系解决问题时，往往把它们转化为平面图形，即由侧棱、高、底面外接 圆半径所组成的直角三角形或由高、斜高、边心距所组成的直角三角形，求出所需要的量， 从而使问题得以解决2柱体的表面积例 2 如图，已知直三棱柱 ABCA1B1C1，其底面是等腰直角三角形，且A

10、B BC 2，AC A1A 2.(1)求该几何体的表面积；(2)若把两个这样的直三棱柱拼成一个 大棱柱，求拼得的棱柱表面积的最小值1解 (1)该几何体有 5 个面，两个底面的面积均为 2 2 2 1，三个侧面面积和为 2( 22 2)4( 21)，故其表面积 S64 2.4 空间几何体体积的求法精析(2)设两个这样的直三棱柱重合的面的面积为S1，则组合后的直棱柱的表面积为2S 2S1，故当且仅当重合的面的面积最大时，拼得的棱柱的表面积最小又侧面 AA1C1C 的面积最大， 此时拼得的棱柱的表面积最小值为2S2S 四边形 AA1C1C48 2.评注 本例中 (1)的关键在于准确识别几何体的各个面

11、的形状； (2)的关键在于找到影响拼合后 的面积的变化量，当然也可以分类讨论，列举出各种拼合的办法，一一计算表面积，再进行 比较3 台体的表面积例 3 已知一个正三棱台的两底面边长分别为30 cm 和 20 cm ，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高分析 求棱台的侧面积要注意利用公式及正棱台中的特殊直角梯形，转化为平面问题来求解 所需的几何元素解 如图所示，正三棱台 ABCA1B1C1 中，O，O1 分别为两底面中心， D，D1分别为 BC 和 B1C1的中点，则 DD1 为棱台的斜高A1B120 cm，AB30 cm，OD5 3 cm， O1D1103 3 cm，3由 S侧S 上S 下

12、，得 21(2030)3DD1 43(202302)，DD 1133 3 cm.棱台的斜高为 133 3 cm.在直角梯形 O1ODD 1中，O1O DD 12 ODO1D1 24 3(cm) 棱台的高为 4 3 cm.评注 本题的关键是找到正棱台中的特殊直角梯形空间几何体的体积公式在实际生活中有着广泛的应用，但在具体求解过程中，仅仅记住公式 是远远不够的，还要把握图形的内在因素，掌握一些常见的求解策略，灵活选择恰当的方法 进行求解1直接用公式求解 根据柱体、锥体、台体、球体的体积公式，明确公式中各几何量的值，把未知的逐个求出， 再代入公式进行求解例 1 已知圆锥的表面积为 15 cm2 ，侧

13、面展开图的圆心角为 60，求该圆锥的体积1分析 根据锥体的体积公式 V3Sh，知应分别求出圆锥的底面半径和高，代入公式计算r2rl 15 ，解 设圆锥的底面半径为 r ，高为 解 设圆锥的底面半径为 r ，高为 h，母线长为 l ，根据题意可得解得所以 hl 2r2 6r 2r2 35r2 35r 35175所以 h(cm 3(cm 3) 所以 V 3故该圆锥体积为 257 3 cm3.评注 直接利用几何体的体积公式求体积时，需牢固掌握公式，明确各几何量之间的关系， 准确进行计算2分割补形求解 当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用时，可以采用“分割”或“补形”的方 法，化复杂的几何体

14、为简单的几何体（柱、锥、台、球 ），利用各简单几何体的体积和或差求解例 2 如图所示，在三棱台 ABCA1B1C1 中，ABA1B112，求三棱锥 A1 ABC 、三棱锥 BA1B1C、三棱锥 C A1B1C1的体积之比分析 如题干图所示，三棱锥 B A1B1C 可以看作棱台减去三棱锥 A1ABC 和三棱锥 C5 巧解空间几何体中的最值问题5 巧解空间几何体中的最值问题A1B1C1 后剩余的几何体，然后相比即可解 设三棱台的高为 h，SABCS，则 S A1B1C1 4S.所以 V三棱 锥A1所以 V三棱 锥A1 ABC 3SABCh13Sh，1V三棱锥 CA1B1C1 3SA1B1C1h43

15、Sh.又 V三棱台 ABCA1B1C1 3Sh，7142 所以 V三棱 锥BA1B1CV三棱台 ABCA1B1C1V三棱锥A1ABCV三棱锥CA1B1C1 3Sh3Sh 3Sh 3Sh.所以 V三棱锥A1 ABC : V三棱锥BA1 B1C : V三棱锥CA1B1C1 124.评注 三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可由锥体的体积求柱体和台体的体 积在立体几何中，通过分割或补形，将原几何体割成或补成较易计算体积的几何体，从而 求出原几何体的体积，这是求体积的重要思路与方法3等积转换求解对于一个几何体， 可以从不同的角度去看待它， 通过改变顶点和底面， 利用体积不变的原理， 求原几何体的

16、体积例 3 如图所示的三棱锥 O ABC 为长方体的一角，其中 OA，OB ，OC 两两垂直，三个侧面 OAB ，OAC ， OBC 的面积分别为 1.5 cm2，1 cm2,3 cm2，求三棱锥 OABC 的体积分析 三棱锥 OABC的底面和高不易求解， 可以转换视角， 将三棱锥 O ABC看作 C为顶 点， OAB 为底面由三棱锥 COAB 的体积得出三棱锥 OABC的体积解 设 OA，OB，OC 的长分别为 x cm，y cm，z cm，12xy1.5，2x 1，1则由已知可得2xz 1，解得 y 3，1z 2.2yz3.1 1 1于是V 三棱锥 O ABC V 三棱锥 C OAB 3S

17、OABOC 3 2 1 3 2 1(cm 3).于是在空间求最值问题时，一般思路是将空间图形展开转化为平面图形的问题例1如图，侧棱长为2 3例1如图，侧棱长为2 3的正三棱锥 VABC 中， AVB BVC CVA40，过 A 作截面 AEF ，求截面 AEF 周长的最小值解题流程 正三棱锥 沿一条侧棱将侧面展开 解三角形解 将三棱锥沿侧棱 VA 剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段 AA1 的长为所求 AEF 周长的最小值，取 AA1的中点 D，则 VDAA1，AVD60，可求 AD3，则 AA16.例 2 如图所示，圆柱体的底面半径为1，母线长为 2， M，N 是圆柱体的同一条

18、母线上且位于上、下底面上的两点，若从 M 点绕圆柱体的侧面到达 N 点，求其最短长度解题流程 圆柱 沿一条母线将侧面展开 长方形解 如图所示， 从 M 点绕圆柱体的侧面到达 N 点，实际上是以侧面展开图的长方形的一个顶 点M 到达不相邻的另一个顶点 N，而两点间以线段的长度最短， 故最短长度为21222 42 42 2 1.例 3 已知圆锥底面半径为 1，高为 2 2，轴截面为 PAB ，如图，从 A 点拉一绳子绕圆锥侧 面一周回到 A 点，求最短绳长解题流程圆锥 解题流程圆锥 解 圆锥沿 PA 将其两侧面展开为平面扇形如图OA1， PO2 2，PA 3，2 APA 2 360 120.23作 PDAA，则APD60 .AA2AD23sin 60 3 3， 最短绳长为 3 3.评注 在立体几何中常通过转化的方法将