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文档简介

1、 第7章 常微分方程7.4 线性微分方程组函数矩阵记号:注意:连续(可微):连续(可微).7.4.1 一般理论记号:线性微分方程组记为 线性微分方程组常系数线性微分方程组:为常数.定理(存在唯一性)设若在I上连续,则初值问题在 I 上存在唯一解.其齐次方程为:(*)向量值函数的相关与无关 常数 使得则称函数 线性相关, 若 不全为0的n个命题 若在区间I上线性相关, 否则称线性无关.则其为0. Wronsky行列式向量值函数的Wronsky行列式:行列式定义为:的Wronsky显然.命题 若都是(*)在I上的解, 且证即存在非0解.所以线性方程组函数与函数都是初值问题的解,故线性相关,从而定理

2、 (*)的解集是 n 维线性空间.命题 齐次方程组(*)的解集是线性空间. 是解是解.(*)(*)证取令为初值问题的解,则线性无关.若为初值问题的解,则7.4.2 线性微分方程组解的结构基本解组,基本解矩阵 的集合称为(*)的一个基本解组. (*)的n个线性无关解组成(*)(*)是(*)的基本解矩阵,若矩阵称为基本解矩阵.则初值问题的解为设则即例1 (*) 解: 基本解矩阵: (1)解方程组的满足的解. 例1 (2)求定理 设是齐次的基本解矩阵,通解为:证明(常数变易)： 命题(*)(*)若是(*)的解,是(*)的解,则是(*)的解.(1)(2)若也是(*)的解,则存在(*)的解使得则非齐次则

3、有(*)(*)是(*)的基本解矩阵.即(*)的通解为:(省掉常数,一个就好!)例2 (*) 解方程组解相应的齐次方程化为基本解组的通解因为所以原初值问题的解7.4.3 常系数齐次线性微分方程组系数特殊,应该有特殊方法!($)特征方程:即称为($)的特征方程,定理若系数矩阵A有n 个线性无关的特征向量分别对应特征根则是齐次线性微分方程组的一个基本解组.证是($)的基本解组.(1)线性无关,因为在的Wronsky行列式非0.(2)所以是($)的解.注意:当对应于时,的实部, 虚部分别是($)的解.即是两个线性无关解.例3(1)解方程组解特征方程即特征根:对应的特征向量:故例3(2)解方程组解特征方程:即特征根令解得即故基本解组方程组通解为7.4.4 线性微分方程组与高阶线性微分方程线性微分方程组与高阶线性微分方程可互相转换.以2,3维为例.例4解方程组解由得代入得即故例5解3阶方程解记则得到方程组方程组的

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