高考数学-导数中二次求导的运用

1、高考数学-导数中二次求导的运用【理2010全国卷一第20题】已知函数f(x)(x1)lnxx1.(i)若xf(x)x2ax1,求a的取值范围；(n)证明：(x1)f(x)0 TOC o 1-5 h z 解析：先看第一问，首先由f(x)(x1)lnxx1可知函数fx的定义域为0,.1勿得fxInxx11Inx-xx,19,，L则由xf(x)xax1可知xInx-xax1,化间得xxlnxx2ax,这时要观察一下这个不等式，显然每一项都有因子x,而x又大于零，一一,一1所以两边同乘一可得lnxxa,所以有alnxx,在对gxInxx求导有x1gx-1,即当0vx0,gx在区间0,1上为增函数；当x

2、1x时，gx0;当1vx时，gx0即可。1由上知fxlnx一,但用fx去分析fx的单调性受阻。我们可以尝试再对x TOC o 1-5 h z .111fxlnx求导，可得fx,显然当0Vx1时，fx0；当1vxxxx1.时，fx0,即fxInx在区间1,上为减函数，所以有当0Vx1时，xfxf11,我们通过二次求导分析fx的单调性，得出当0Vx1时fx1,则fx在区间0,1上为增函数，即fxf10,此时，则有(x1)f(x)0成立。卜面我们在接着分析当1vx时的情况，同理，当1vx时，fx0,即fx在区间1,上为增函数，则fxf11,此时，fx为增函数，所以fxf10,易得(x1)f(x)0也

3、成立。综上，(x1)f(x)0得证。下面提供一个其他解法供参考比较。下面提供一个其他解法供参考比较。 一1 一斛：(I) f x ln x 一，则 xf xx2.题设xf (x) x ax 1等价于ln x x.令 g x lnxx,则gx -1。x当 0vxv1 时，g x 0;当 x 1 时,xln x 1a。g x 0, x 1是g x的最大值点，所以gxg11。综上，a的取值范围是1,(n)由(i)知，gxg1当 0vxv1时，f x当 0vxv1时，f xIn x x In x x 1In x x In xIn xx ln1 x因为x1V0,所以此时(x1)f(x)0。In x x

4、In - - 1x x当x1时，fxInxxInIn x x In - - 1x x所以(x1)f(x)0比较上述两种解法，可以发现用二次求导的方法解题过程简便易懂，思路来得自然流畅，难度降低，否则，另外一种解法在解第二问时用到第一问的结论，而且运用了一些代数变形的技巧，解法显得偏而怪，同学们不易想出。不妨告诉同学们一个秘密：熟炼掌握二次求导分析是解决高考数学函数压轴题的一个秘密武器！【理2010安徽卷第17题】设a为实数，函数fXex2x2a,xR。(i)求fx的单调区间与极值；(n)求证：当aln21且x0时，exx22ax1。解析：第一问很常规，我们直接看第二问。首先要构造一个新函数gxexx22ax1,如果这一着就想不到，那没辙了。然后求导，结果见下表。gxex2x2a,继续对gx求导得gxex20,ln2ln2ln2,gx0gx减极小值增由上表可知gxgIn2,而gln2eln22ln22a22ln22a2aln21,由aln21知gln