2012年全国中考数学分类解析汇编专题2：几何问题

1、PAGE PAGE 72 2 012年全国中考数学分类解析汇编专题2：几何问题一、选择题1. （2012上海市4分）如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是【 】A外离B相切C相交D内含【答案】D。【考点】圆与圆的位置关系。【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。因此，两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，62=4，43，即两圆圆心距离小于两圆半径之差，这两个圆的位置关系

2、是内含。故选D。2. （2012安徽省4分）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是【 】A.10 B. C. 10或 D.10或【答案】C。【考点】图形的剪拼，直角三角形斜边上中线性质，勾股定理【分析】考虑两种情况，分清从斜边中点向哪个边沿着垂线段过去裁剪的。根据题意画出图形，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后即可求出斜边的长：如左图：，点E是斜边AB的中点，AB=2CE=10 。如右图：，点E是斜边AB的中点，AB=2CE=。因此，原直角三角形纸片的斜边长

3、是10或。故选C。3. （2012广东省3分）已知三角形两边的长分别是4和10，则此三角形第三边的长可能是【 】A5B6C11D16【答案】C。【考点】三角形三边关系。【分析】设此三角形第三边的长为x，则根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件，得104x10+4，即6x14，四个选项中只有11符合条件。故选C。4. （2012广东珠海3分）如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为【 】A. 30 B. 45 C 60 D90【答案】C。【考点】弧长的计算。【分析】根据弧长公式，即可求解设圆心角是n度，根据题意得，解得：n=60。故选C。5. （2012浙江

4、宁波3分）勾股定理是几何中的一个重要定理在我国古算书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理图2是由图1放入矩形内得到的，BAC=90，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为【 】A90B100C110D【答案】C。【考点】勾股定理的证明。【分析】如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，所以，四边形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7。所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此，矩形KLMJ的面积为1011=110。故选C。6. （

5、2012江苏宿迁3分）在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2 - 4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是【 】A.（2，3）B.（1，4）C.（1，4）D.（4，3）【答案】D。【考点】坐标平移。【分析】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。因此，将抛物线y=2x2 - 4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，其顶点也同样变换。 的顶点坐标是（1，1）， 点（1，1）先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得点（4，3），即经过这两次平移后所得抛物线的

6、顶点坐标是（4，3）。故选D。7. （2012福建南平4分）如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为【 】A B C D3 【答案】B。【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，勾股定理。【分析】正方形纸片ABCD的边长为3，C=90，BC=CD=3。根据折叠的性质得：EG=BE=1，GF=DF。设DF=x，则EF=EGGF=1x，FC=DCDF=3x，EC=BCBE=31=2。在RtEFC中，EF2=EC2FC2，即（x1）2=22（3x）2，解得：。DF= ，EF=

7、1。故选B。8. （2012湖北咸宁3分）中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池类似地，有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，则该几何体为【 】ABCD【答案】A。【考点】由三视图判断几何体。【分析】一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞，即要这个几何体的三视图分别是正方形、圆和正三角形。符合此条件的只有选项A：主视图是正方形，左视图是正三角形，俯视图是圆。故选A。9. （2012福建泉州3分）如图，点O是ABC的内心，过点O作EFAB，与AC、BC分别交

8、于点E、F，则【 】A .EFAE+BF B. EFAE+BF C.EF=AE+BF D.EFAE+BF 【答案】C。【考点】三角形内心的性质，切线的性质，平行的性质，全等三角形的判定和性质。【分析】如图，连接圆心O和三个切点D、G、H，分别过点E、F作AB的垂线交AB于点I、J。 EFAB，HEO=IAE，EI=OD。 又OD=OH，EI=OH。 又EHO=AIE=900，EHOAIE（AAS）。EO=AE。 同理，FO=BF。AE+BF= EO+FO= EF。故选C。10. （2012湖南长沙3分）现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三

9、角形的个数是【 】A1个 B2个 C3个 D4个【答案】B。【考点】构成三角形的三边的条件。【分析】四条木棒的所有组合：3，4，7和3，4，9和3，7，9和4，7，9，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件，只有3，7，9和4，7，9能组成三角形。故选B。11. （2012湖南怀化3分）等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为【 】A7 B6 C5 D【答案】 C。【考点】等腰三角形的性质，勾股定理。【分析】如图，ABC中AB=AC，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，ADBC。 在RtABD中，BD=6=3，AD=4，根据勾股定理，得AB=5

10、。 故选C。12. （2012湖南湘潭3分）如图，在O中，弦ABCD，若ABC=40，则BOD=【 】A20 B40 C50 D80【答案】D。【考点】圆周角定理，平行线的性质。【分析】弦ABCD，ABC=BCD（两直线平行，内错角相等）又ABC=40，BOD=2ABC=240=80（同圆所对圆周角是圆心角的一半）。故选D。13. （2012四川自贡3分）如图是一个几何体的主视图和左视图某班同学在探究它的俯视图时，画出了如图的几个图形，其中，可能是该几何体俯视图的共有【 】A3个B4个C5个D6个【答案】C。【考点】简单组合体的三视图。【分析】由主视图和左视图看，几何体的上部都位于下部的中心，

11、在两种视图下是全等的，故d不满足要求。故选C。14. （2012辽宁阜新3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分ABC，CF平分BCD，BE、CF交于点G若使，那么平行四边形ABCD应满足的条件是【 】AABC=60 BAB：BC=1：4 CAB：BC=5：2DAB：BC=5：【答案】D。【考点】平行四边形的性质，平行的性质，等腰三角形的判定。【分析】四边形ABCD是平行四边形，ADBC，AB=CD，AD=BC。AEB=EBC。又BE平分ABC，ABE=EBC。ABE=AEB。AB=AE。同理可得：DC=DF。AE=DF。AEEF=DEEF，即AF=DE。当时，设EF=x，则AD=BC

12、=4x。AF=DE=（ADEF）=1.5x。AE=AB=AF+EF=2.5x。AB：BC=2.5：4=5：8。以上各步可逆，当AB：BC=2.5：4=5：8时，。故选D。15. （2012山东泰安3分）如图，ABCD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是【 】A4B3C2D【答案】D。【考点】三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质。【分析】连接DE并延长交AB于H，CDAB，C=A，CDE=AHE。E是AC中点，DE=EH。DCEHAE（AAS）。DE=HE，DC=AH。F是BD中点，EF是DHB的中位线。EF=BH。BH=ABAH=ABDC=2。EF=1。故选D

13、。16. （2012河南省3分）如图，已知AB为O的直径，AD切O于点A, ，则下列结论不一定正确的是【 】 ABADA BOCAE CCOE=2CAE DODAC 【答案】D。【考点】切线的性质，圆周角定理，平行的判定，垂径定理。 【分析】由为直径，AD为切线，根据切线的性质可知：BADA。故A正确。 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，得。 。OCAE。故B正确。由“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”可以判断C正确。根据垂径定理，只有在点E是的中点时，ODAC才成立。故D不正确。故选D。二、填空题1. （2012北京市4分）在平面直角坐标系中，我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点已知点

14、A（0，4），点B是轴正半轴上的整点，记AOB内部（不包括边界）的整点个数为m当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是 ；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m= （用含n的代数式表示）【答案】3或4；6n3。【考点】分类归纳（图形的变化类），点的坐标，矩形的性质。【分析】根据题意画出图形，再找出点B的横坐标与AOB内部（不包括边界）的整点m之间的关系即可求出答案：如图：当点B在（3，0）点或（4，0）点时，AOB内部（不包括边界）的整点为（1，1），（1，2），（2，1），共三个点，当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是3或4。当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，以OB为长OA为宽的矩形内

15、（不包括边界）的整点个数为（4n1）3=12 n3，对角线AB上的整点个数总为3，AOB内部（不包括边界）的整点个数m=（12 n33）2=6n3。2. （2012广东汕头4分）如图，在ABCD中，AD=2，AB=4，A=30，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E，连接CE，则阴影部分的面积是 （结果保留）【答案】。【考点】平行四边形的性质，扇形面积的计算【分析】过D点作DFAB于点F。 AD=2，AB=4，A=30，DF=ADsin30=1，EB=ABAE=2。阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积扇形ADE面积三角形CBE的面积=。3. （2012广东深圳3分）如图，RtABC中

16、，C= 90o，以斜边AB为边向外作正方形 ABDE，且正方形对角线交于点D，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为 【答案】7。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】如图，过O作OF垂直于BC，再过O作OFBC，过A作AMOF，四边形ABDE为正方形，AOB=90，OA=OB。AOM+BOF=90。又AMO=90，AOM+OAM=90。BOF=OAM。在AOM和BOF中，AMO=OFB=90，OAM=BOF， OA=OB，AOMBOF（AAS）。AM=OF，OM=FB。又ACB=AMF=CFM=90，四

17、边形ACFM为矩形。AM=CF，AC=MF=5。OF=CF。OCF为等腰直角三角形。OC=6，根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，即2CF2=（6）2，解得：CF=OF=6。FB=OM=OFFM=65=1。BC=CF+BF=6+1=7。4. （2012广东珠海4分）如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，如果AB=26，CD=24，那么sinOCE= 【答案】。【考点】垂径定理，勾股定理，锐角三角函数的定义。【分析】如图，设AB与CD相交于点E，则根据直径AB=26，得出半径OC=13；由CD=24，CDAB，根据垂径定理得出CE=12；在RtOCE中，利用勾股定理求出OE=5；再根据

18、正弦函数的定义，求出sinOCE的度数：。5. （2012浙江宁波3分）如图，ABC中，BAC=60，ABC=45，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 【答案】。【考点】垂线段的性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】由垂线段的性质可知，当AD为ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20EsinEOH=20Esin60，当半径OE最短时，EF最短。如图，连接OE，OF，过O点作OHEF，垂足为H。 在RtADB中，ABC=45，AB=2，AD=BD

19、=2，即此时圆的直径为2。由圆周角定理可知EOH=EOF=BAC=60，在RtEOH中，EH=OEsinEOH=1。由垂径定理可知EF=2EH=。6. （2012江苏泰州3分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tanAPD的值是 【答案】2。【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义。【分析】如图，连接BE，交CD于点F。四边形BCED是正方形，DF=CF=CD，BF=BE，CD=BE，BECD，BF=CF。根据题意得：ACBD，ACPBDP。DP：CP=BD：AC=1：3。DP=PF=CF= BF。

20、在RtPBF中，。APD=BPF，tanAPD=2。7. （2012福建福州4分）如图，已知ABC，ABAC1，A36，ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是 ，cosA的值是 (结果保留根号)【答案】 eq f(r(5)1,2)； eq f(r(5)1,4)。【考点】黄金分割，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义。【分析】可以证明ABCBDC，设ADx，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x的值；过点D作DEAB于点E，则E为AB中点，由余弦定义可求出cosA的值： 在ABC中，ABAC1，A36， ABCACB eq f(180

21、A,2)72。 BD是ABC的平分线， ABDDBC eq f(1,2)ABC36。 ADBC36。又CC， ABCBDC。 eq f(AC,BC) eq f(BC,CD)。设ADx，则BDBCx则 eq f(1,x) eq f(x,1x)，解得：x eq f(r(5)1,2)(舍去)或 eq f(r(5)1,2)。x eq f(r(5)1,2)。如图，过点D作DEAB于点E， ADBD，E为AB中点，即AE eq f(1,2)AB eq f(1,2)。在RtAED中，cosA eq f(AE,AD) eq f(f(1,2),f(r(5)1,2) eq f(r(5)1,4)。8. （2012湖

22、北宜昌3分）已知O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与O的位置关系的图形是【 】A B C D【答案】B。【考点】直线与圆的位置关系。【分析】根据直线与圆的位置关系来判定：直线l和O相交dr；直线l和O相切d=r；直线l和O相离dr（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）。因此，O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，53，即：dr，直线L与O的位置关系是相交。故选B。【宜昌无填空题，以倒数第二条选题代替】9. （2012湖北襄阳3分）在等腰ABC中，A=30，AB=8，则AB边上的高CD的长是 【答案】4或或。【考点】等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数定

23、义，特殊角的三角函数值。【分析】根据题意画出AB=AC，AB=BC和AC=BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可：（1）如图，当AB=AC时，A=30，CD=AC=8=4。（2）如图，当AB=BC时，则A=ACB=30。ACD=60。BCD=30CD=cosBCDBC=cos308=4。（3）如图，当AC=BC时，则AD=4。CD=tanAAD=tan304=。综上所述，AB边上的高CD的长是4或或。10. （2012湖南长沙3分）如图，等腰梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=2，B=60，则BC的长为 【答案】4。【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性

24、质，等边三角形的判定和性质。【分析】过点A作AECD交BC于点E，ADBC，四边形AECD是平行四边形。AE=CD=2，AD=EC=2。B=60，ABE是等边三角形。BE=AB=AE=2。BC=BE+CE=2+2=4。11. （2012四川凉山5分）如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2= 。【答案】36。【考点】三角形中位线定理，菱形的判定和性质，勾股定理。【分析】如图，连接EF，FG，GH，EH，EG与FH相交于点O。E、H分别是AB、DA的中点，EH是ABD的中位线。EH= BD=3。同理可得EF=GH= AC=3，F

25、G= BD=3。EH=EF=GH=FG=3。四边形EFGH为菱形。EGHF，且垂足为O。EG=2OE，FH=2OH。在RtOEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2=EH2=9。等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2=94=36。 （2OE）2+（2OH）2=36，即EG2+FH2=36。12. （2012贵州铜仁4分）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是 【答案】。【考点】正方形的性质，垂线段最短的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线定理。【分析】如图，四边形CDEF是正方形，

26、OCD=ODB=45，COD=90，OC=OD。AOOB，AOB=90。CAO+AOD=90，AOD+DOB=90，COA=DOB。在COA和DOB中，OCA=ODB，OC=OD，COA=DOB，COADOB（ASA）。OA=OB。AOB=90，AOB是等腰直角三角形。由勾股定理得：。要使AB最小，只要OA取最小值即可。根据垂线段最短的性质，当OACD时，OA最小。四边形CDEF是正方形，FCCD，OD=OF。CA=DA，OA=CF=1。AB=。13. （2012山东滨州4分）如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线CE和BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形： （用相似符号连接）【答

27、案】BDECDF，ABFACE。【考点】相似三角形的判定。【分析】（1）在BDE和CDF中，BDE=CDF，BED=CFD=90，BDECDF；（2）在ABF和ACE中，A=A，AFB=AEC=90，ABFACE。14. （2012山东济宁3分）如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，延长AD至E，使AE=AC，BAE的平分线交ABC的高BF于点O，则tanAEO= 【答案】。【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】ABC是等边三角形，ABC=60，AB=BC。BFAC，ABF=ABC=30。AB=AC，AE=AC，AB=AE。A

28、O平分BAE，BAO=EAO。在BAO和EAO中，AB=AE，BAO=EAO，AO=AO，BAOEAO（SAS）。AEO=ABO=30。tanAEO=tan30=。15. （2012山东日照4分）如图，过A、C 、D三点的圆的圆心为E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，如果A=63，那么= 来源【答案】180。【考点】等腰三角形的判定和性质，三角形外角定理。【分析】如图，连接CE，DE， 过A、C 、D三点的圆的圆心为E，过B、F、E三点的圆的圆心为D， AE=CE=DE=DB。A=ACE，ECD=CDE，DEB=DBE=。 A=63，AEC=18002630=540。 又ECD=CDE=2，A

29、EC=ECDDBE=3，即3=540。=180。16. （2012山东枣庄4分）如图所示，DE为ABC的中位线，点F在DE上，且AFB90，若AB5，BC8，则EF的长为 _【答案】。【考点】三角形中位线的性质，直角三角形斜边上中线的性质。【分析】由于DE为ABC的中位线，BC8，从而根据三角形中位线平行于第三边并且等于第三边一半的性质，得DE4；又由于AFB90，点D为AB的中点，AB5，从而根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半的性质，得DF。因此EFDEDF4。17. （2012广西来宾3分）如图，为测量旗杆AB的高度，在与B距离为8米的C处测得旗杆顶端A的仰角为56，那么旗杆的高度约是

30、米（结果保留整数）（参考数据：sin560.829，cos560.559，tan561.483【答案】12。【考点】解直角三角形的应用（仰角仰角问题），锐角三角函数定义。【分析】直接根据正切函数定义求解：AB=BCtanACB=8tan5681.48312（米）。18. （2012河北省3分）用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1，用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图2，若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为 。【答案】6。【考点】正多边形内角和定理，周角定义。【分析】正六边形的每个内角为， 围成一圈后中间形成的正多边

31、形的一个内角，它也是正六边形。 n=6。19. （2012新疆区5分）如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积，S2=2，则S3是 【答案】。【考点】勾股定理。【分析】如图，由圆的面积公式得， 解得，。 根据勾股定理，得。 。20. （2012黑龙江哈尔滨3分）如图。四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F，AED=2CED，点G是DF的中点，若BE=1，AG=4，则AB的长为 【答案】。【考点】矩形的性质，平行的性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】四边形ABCD是矩形，ADBC。CED

32、=ADE。 四边形ABCD是矩形，BAD=900。 点G是DF的中点，AG=DF=DG。CGE=2ADE=2CED。 又AED=2CED，CGE=AED。AE=AG。 又BE=1，AG=4，AE=4。 。21. （2012黑龙江大庆3分）用八个同样大小的小立方体粘成一个大立方体如图1，得到的几何体的三视图如图2所示，若小明从八个小立方体中取走若干个，剩余小立方体保持原位置不动，并使得到的新几何体的三视图仍是图2，则他取走的小立方体最多可以是 个【答案】2。【考点】由三视图判断几何体，简单组合体的三视图。【分析】由于从八个小立方体中取走若干个，剩余小立方体保持原位置不动，并使得到的新几何体的三视

33、图都相同，由主视图可知有2层2列，由左视图可知有2层2行，由俯视图可知最少有4个小立方体，所以下层4个小立方体不变，同时上层每一横行和每一竖列上都有一个小立方体。因此，取走的小立方体最多可以是2个，即上层一条对角线上的2个。三、解答题1. （2012山东淄博9分）在矩形ABCD中，BC=4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，AB=x（1）当点G与点D重合时，求x的值；（2）当点F为AD中点时，求x的值及ECF的正弦值【答案】解：（1）当点G与点D重合时，点F也与点D重合。 矩形ABCD中，ACBD，四边形ABCD是正方形。 BC=4，x= AB= BC=4。 （2

34、）点F为AD中点，BC=4，AF=2。 矩形ABCD中，ADBC，AEFBEB。 。 矩形ABCD中，ABC=BAF=900， 在RtABC和RtBAF中由勾股定理得， 即。 两式相加，得。 又ACBG，在RtABE中，。 ，解得（已舍去负值）。 。 在RtCEF中由勾股定理得。 。【考点】矩形的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义。【分析】（1）由点G与点D重合得出四边形ABCD是正方形即可求得x的值。 （2）由点F为AD中点和矩形的性质，得AEFBEB，从而得。在RtABC、 RtBAF和RtABE应用勾股定理即可求得x的值。在RtCEF中应用勾股定

35、理求得CF，根据锐角三角函数定义即可求得ECF的正弦值。2. （2012山西省12分）问题情境：将一副直角三角板（RtABC和RtDEF）按图1所示的方式摆放，其中ACB=90，CA=CB，FDE=90，O是AB的中点，点D与点O重合，DFAC于点M，DEBC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：解：OM=ON，证明如下：连接CO，则CO是AB边上中线，CA=CB，CO是ACB的角平分线（依据1）OMAC，ONBC，OM=ON（依据2）反思交流：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1： 依据2： （2）你有与小宇不同的思

36、考方法吗？请写出你的证明过程拓展延伸：（3）将图1中的RtDEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程【答案】（1）解：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）；角平分线上的点到角的两边距离相等。（2）证明：CA=CB，A=B。O是AB的中点，OA=OB。DFAC，DEBC，AMO=BNO=90。在OMA和ONB中，A=B，OA=OB，AMO=BNO，OMAONB（AAS）。OM

37、=ON。（3）解：OM=ON，OMON。理由如下：连接CO，则CO是AB边上的中线。ACB=90，OC=AB=OB。又CA=CB，CAB=B=45，1=2=45，AOC=BOC=90。2=B。BNDE，BND=90。又B=45，3=45。3=B。DN=NB。ACB=90，NCM=90。又BNDE，DNC=90。四边形DMCN是矩形。DN=MC。MC=NB。MOCNOB（SAS）。OM=ON，MOC=NOB。MOCCON=NOBCON，即MON=BOC=90。OMON。【考点】等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。【分析】（1）根据等腰三角形和角平分线的性质

38、直接作答。（2）利用AAS证明OMAONB即可。（3）利用SAS证明MOCNOB即可得到OM=ON，MOC=NOB。通过角的等量代换即可得MON=BOC=90，而得到OMON。3. （2012福建厦门10分）已知ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分别作PEAC、PFBD，垂足分别为E、F，PEPF（1）如图，若PE eq r(3)，EO1，求EPF的度数；（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF BC3 eq r(2)4，求BC的长【答案】解：（1）连接PO , PEPF，POPO，PEAC、PFBD， RtPEORtPFO（HL）。EPOFPO。在RtPEO

39、中， tanEPO eq f(EO,PE) eq f( eq r(3),3)， EPO30。 EPF60。（2）点P是AD的中点， APDP。又 PEPF， RtPEARtPFD（HL）。OADODA。 OAOD。 AC2OA2ODBD。ABCD是矩形。 点P是AD的中点，点F是DO的中点， AOPF。 PFBD， ACBD。ABCD是菱形。ABCD是正方形。 BD eq r(2)BC。 BF eq f(3,4)BD，BC3 eq r(2)4 eq f(3 eq r(2),4)BC，解得，BC4。【考点】平行四边形的性质，角平分线的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和

40、性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）连接PO，利用解直角三角形求出EPO=30，再利用“HL”证明PEO和PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得FPO=EPO，从而得解。（2）根据条件证出 ABCD是正方形。根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解。4. （2012甘肃白银10分）如图，点A，B，C，D在O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，延长DB到点F，使，连接AF（1）证明：BDEFDA；（2）试判断直线AF与O的位置关系，并给出证明【答案】解:（1）证明：在BDE和FDA中，FBBD，AEED，。又BDEFDA，BDEFDA。（2）直线AF与O相切。证明如下：连接OA，OB

41、，OC，ABAC，BOCO，OAOA，OABOAC（SSS）。OABOAC。AO是等腰三角形ABC顶角BAC的平分线。AOBC。BDEFDA，得EBDAFD，BEFA。AOBE，AOFA。直线AF与O相切。【考点】相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行的判定和性质，切线的判定。【分析】（1）因为BDE公共，夹此角的两边BD：DF=ED：AD=2：3，由相似三角形的判定，可知BDEFDA。（2）连接OA、OB、OC，证明OABOAC，得出AOBC再由BDEFDA，得出EBD=AFD，则BEFA，从而AOFA，得出直线AF与O相切。5. （2012广东广州14分）如

42、图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CEAB于E，设ABC=（6090）（1）当=60时，求CE的长；（2）当6090时，是否存在正整数k，使得EFD=kAEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由连接CF，当CE2CF2取最大值时，求tanDCF的值【答案】解：（1）=60，BC=10，sin=，即sin60=，解得CE=。（2）存在k=3，使得EFD=kAEF。理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G，F为AD的中点，AF=FD。在平行四边形ABCD中，ABCD，G=DCF。在AFG和CFD中，G=DCF， G=DCF，AF=FD，AFGCFD（AAS

43、）。CF=GF，AG=CD。CEAB，EF=GF。AEF=G。AB=5，BC=10，点F是AD的中点，AG=5，AF=AD=BC=5。AG=AF。AFG=G。在AFG中，EFC=AEF+G=2AEF，又CFD=AFG，CFD=AEF。EFD=EFC+CFD=2AEF+AEF=3AEF，因此，存在正整数k=3，使得EFD=3AEF。设BE=x，AG=CD=AB=5，EG=AE+AG=5x+5=10 x，在RtBCE中，CE2=BC2BE2=100 x2。在RtCEG中，CG2=EG2+CE2=（10 x）2+100 x2=20020 x。CF=GF（中已证），CF2=（CG）2=CG2=（200

44、20 x）=505x。CE2CF2=100 x250+5x=x2+5x+50=（x）2+50+。当x=，即点E是AB的中点时，CE2CF2取最大值。此时，EG=10 x=10，CE=，。【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行四边形的性质，对顶角的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，勾股定理。【分析】（1）利用60角的正弦值列式计算即可得解。（2）连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角边角”证明AFG和CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=GF，

45、再根据AB、BC的长度可得AG=AF，然后利用等边对等角的性质可得AEF=G=AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得EFC=2G，然后推出EFD=3AEF，从而得解。设BE=x，在RtBCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的长度，在RtCEG中，利用勾股定理表示出CG2，从而得到CF2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答。6. （2012广东肇庆10分）如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交AC于点E，交BC于点D，连结BE、AD交于点P. 求证：（1）D是BC的中点；（2）BEC ADC；（3）AB CE=2DPAD【答案】证明：（1）AB是

46、O的直径，ADB=90，即ADBC。AB=AC，D是BC的中点。（2）AB是O的直径，AEB=ADB=90，即CEB=CDA=90，C是公共角，BECADC。（3）BECADC，CBE=CAD。AB=AC，AD=CD，BAD=CAD。BAD=CBE。ADB=BEC=90，ABDBCE。BC=2BD，即。BDP=BEC=90，PBD=CBE，BPDBCE。，即ABCE=2DPAD。【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由AB是O的直径，可得ADBC，又由AB=AC，由三线合一，即可证得D是BC的中点。（2）由AB是O的直径，AEB=ADB=90，又由C是公共

47、角，即可证得BECADC。（3）易证得ABDBCE与BPDBCE，根据相似三角形的对应边成比例与BC=2BD，即可证得ABCE=2DPAD。7. （2012贵州毕节14分）如图，AB是O的直径，AC为弦，D是的中点，过点D作EFAC的延长线于E，交AB的延长线于E，交AB的延长线于F。（1）求证：EF是O的切线；（2）若F=，AE=4，求O的半径和AC的长。【答案】（1）证明：连接OD，D是的中点，BOD=A。ODAC。EFAC，E=90。ODF=90。EF是O的切线；（2）解：在AEF中，E=90，sinF= ，AE=4，。设O的半径为R，则OD=OA=OB=R，AB=2R在ODF中，ODF

48、=90，sinF=，OF=3OD=3R。OF+OA=AF，3R+R=12，R=3。连接BC，则ACB=90。E=90，BCEF。AC：AE=AB：AF。AC：4=2R：4R，AC=2。O的半径为3，AC的长为2。【考点】弧、圆周角和圆心角的关系，圆周角定理，平行的判定和性质，切线的判定，锐角三角函数定义，平行线分线段成比例定理。【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理，可得BOD=A，则ODAC，从而得出ODF=90，即EF是O的切线。（2）先解直角AEF，由sinF= ，得出AF=3AE=12，再在RtODF中，由sinF=，得出OF=3OD，设O的半径为R，由AF=12列出关于R的方程，解方

49、程即可求出O的半径。连接BC，证明BCEF，根据平行线分线段成比例定理得出AC：AE=AB：AF，即可求出AC的长。8. （2012江苏泰州12分）如图，已知直线l与O相离，OAl于点A，OA=5，OA与O相交于点P，AB与O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC=，求O的半径和线段PB的长；【答案】解：（1）AB=AC。理由如下：连接OB。AB切O于B，OAAC，OBA=OAC=90。OBP+ABP=90，ACP+CPB=90。OP=OB，OBP=OPB。OPB=APC，ACP=ABC。AB=AC。（2）延长AP交O于D，连接BD

50、，设圆半径为r，则由OA=5得，OP=OB=r，PA=5r。又PC=， 。由（1）AB=AC得，解得：r=3。AB=AC=4。PD是直径，PBD=90=PAC。DPB=CPA，DPBCPA。，即，解得。 （3）作线段AC的垂直平分线MN，作OEMN，则OE=AC=AB=。又圆O要与直线MN交点，OE=r，r。又圆O与直线l相离，r5。r5【考点】切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出OBA=OAC=90，推出OBP+ABP=90，ACP+CPB=90，求出ACP=ABC，根据等

51、腰三角形的判定推出即可。（2）延长AP交O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5r，根据AB=AC推出，求出r，证DPBCPA，得出 ，代入求出PB即可。（3）根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN，作OEMN，求出OEr，求出r范围，再根据相离得出r5，即可得出答案。9. （2012山东淄博9分）在矩形ABCD中，BC=4，BG与对角线AC垂直且分别交AC，AD及射线CD于点E，F，G，AB=x（1）当点G与点D重合时，求x的值；（2）当点F为AD中点时，求x的值及ECF的正弦值【答案】解：（1）当点G与点D重合时，点F也与点D重合。 矩形ABCD

52、中，ACBD，四边形ABCD是正方形。 BC=4，x= AB= BC=4。 （2）点F为AD中点，BC=4，AF=2。 矩形ABCD中，ADBC，AEFBEB。 。 矩形ABCD中，ABC=BAF=900， 在RtABC和RtBAF中由勾股定理得， 即。 两式相加，得。 又ACBG，在RtABE中，。 ，解得（已舍去负值）。 。 在RtCEF中由勾股定理得。 。【考点】矩形的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义。【分析】（1）由点G与点D重合得出四边形ABCD是正方形即可求得x的值。 （2）由点F为AD中点和矩形的性质，得AEFBEB，从而得。在RtAB

53、C、 RtBAF和RtABE应用勾股定理即可求得x的值。在RtCEF中应用勾股定理求得CF，根据锐角三角函数定义即可求得ECF的正弦值。10. （2012四川宜宾10分）如图，O1、O2相交于P、Q两点，其中O1的半径r1=2，O2的半径r2=过点Q作CDPQ，分别交O1和O2于点CD，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交O1和O2于点AB，连接AP、BP、ACDB，且AC与DB的延长线交于点E（1）求证：；（2）若PQ=2，试求E度数【答案】（1）证明：O1的半径r1=2，O2的半径r2=，PC=4，PD=2。CDPQ，PQC=PQD=90。PCPD分别是O1、O2的直径，在O1中，PAB

54、=PCD，在O2中，PBA=PDC，PABPCD。，即。（2）解：在RtPCQ中，PC=2r1=4，PQ=2，cosCPQ=。CPQ=60。在RtPDQ中，PD=2r2=2，PQ=2，sinPDQ=。PDQ=45。CAQ=CPQ=60，PBQ=PDQ=45。又PD是O2的直径，PBD=90。ABE=90PBQ=45。在EAB中，E=180CAQABE=75。答：E的度数是75。【考点】相交两圆的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆周角定理，三角形内角和定理。【分析】（1）求出PC、PD，证PABPCD，得出，从而。（2）由cosCPQ=，求出CPQ=60，同理

55、求出PDQ=45。由圆周角定理，得出CAQ=CPQ=60，PBQ=PDQ=45，求出PBD=90，求出ABE=45根据三角形的内角和定理求出即可。11. （2012四川广安9分）如图，在ABC中，ABC=ACB，以AC为直径的O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且CAB=2BCP（1）求证：直线CP是O的切线（2）若BC=2，sinBCP=，求点B到AC的距离（3）在第（2）的条件下，求ACP的周长【答案】解：（1）ABC=ACB且CAB=2BCP，在ABC中，ABC+BAC+BCA=180，2BCP+2BCA=180。BCP+BCA=90，即PCA=90。又AC是O的直径，直

56、线CP是O的切线。（2）如图，作BDAC于点D，PCAC，BDPC。PCB=DBC。C=2，sinBCP=，解得：DC=2。由勾股定理得：BD=4。点B到AC的距离为4。（3）如图，连接AN，在RtACN中，又CD=2，AD=ACCD=52=3。BDCP，ABDACP。，即。在RtACP中，。ACP的周长为。【考点】切线的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）根据ABC=AC且CAB=2BCP，在ABC中ABC+BAC+BCA=180，得到2BCP+2BCA=180，从而得到BCP+BCA=90，证得直线CP是O的切线

57、。（2）作BDAC于点D，得到BDPC，从而利用求得DC=2，再根据勾股定理求得点B到AC的距离为4。（3）先求出AC的长度，然后由BDPC求得ABDACP，利用比例线段关系求得CP的长度，再由勾股定理求出AP的长度，从而求得ACP的周长。12. （2012四川达州7分）如图，C是以AB为直径的O上一点，过O作OEAC于点E，过点A作O的切线交OE的延长线于点F，连结CF并延长交BA的延长线于点P.（1）求证：PC是O的切线.（2）若AF=1，OA=，求PC的长. 【答案】解：（1）证明：连结OC， OEAC，AE=CE。FA=FC。FAC=FCA。OA=OC，OAC=OCA。OAC+FAC=

58、OCA+FCA，即FAO=FCO。FA与O相切，且AB是O的直径，FAAB。FCO=FAO=90。又OC是O的半径，PC是O的切线。（2）PC是O的切线，PCO=90。而FPA=OPC，PAF=90，PAFPCO 。CO=OA=，AF=1，PC=PA 。设PA=x，则PC=在RtPCO中，由勾股定理得， ，解得：。PC。【考点】切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）连接OC，根据垂径定理，利用等角代换可证明FAC=FCA，然后根据切线的性质得出FAO=90，然后即可证明结论。 （2）先证明PAFPCO，利用相似三角形的性质得出PC与PA的关系，

59、在RtPCO中，利用勾股定理可得出x的值，从而也可得出PC得长。13. （2012四川德阳14分） 如图，已知点C是以AB为直径的O上一点，CHAB于点H，过点B作O 的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连结并延交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G.求证：AEFD=AFEC；求证：FC=FB；若FB=FE=2，求O 的半径r的长.【答案】（1）证明：BD是O的切线，DBA=90。CHAB，CHBD。AECAFD。AEFD=AFEC。（2）证明：CHBD，AECAFD，AHEABF。CE=EH（E为CH中点），BF=DF。AB为O的直径，ACB=DCB=90。CF=DF=BF，即CF=

60、BF。（3）解：BF=CF=DF（已证），EF=BF=2，EF=FC。FCE=FEC。AHE=CHG=90，FAH+AEH=90，G+GCH=90。AEH=CEF，G=FAG。AF=FG。FBAG，AB=BG。连接OC，BC，BF切O于B，FBC=CAB。OC=OA，CF=BF，FCB=FBC，OCA=OACFCB=CAB。ACB=90，ACO+BCO=90。FCB+BCO=90，即OCCG。CG是O切线。GBA是O割线，FB=FE=2，由切割线定理得：（2+FG）2=BGAG=2BG2，【注，没学切割线定理的可由AGCCGB求得】在RtBFG中，由勾股定理得：BG2=FG2BF2，FG24F