广州华商学院《线性代数》课件-第6章线性经济模型简介的知识

1、第六章 线性经济模型简介 投入产出模型简介 6.1 单纯形法 6.3 线性规划 6.2广州华商学院线性代数1.1 n阶行列式的定义一、投入产出模型二、直接消耗系数 三、平衡方程组的解 五、应用举例 四、完全消耗系数 一、投入产出模型 假设一个经济系统是由n个产业部门组成的，将这n个产业部门以及他们之间的数量依存关系按一定的顺序排列在一张表内，称为投入产出表，如表61 。表6-1xij表示第j部门在生产过程中消耗第i部门的中间投入数量xi表示第i个部门的总产出或总投入 yi表示第i个部门可供给社会消费和使用的最终产品数量 zj表示第j部门的初始投入 水平方向反映各部门产品按经济用途的使用情况 垂

2、直方向反映了各部门产品的价值构成 分配平衡方程组消耗平衡方程组分配平衡方程组和消耗平衡方程组统称投入产出平衡方程组 投入产出模型 在利用数学方法研究经济问题中投入与产出的关系时，一般把所研究的某一经济系统中各部门之间的数量依存关系反映在投入产出表中，并将这种关系用数学式子（即建立它们的数学模型）表示出来。从它们的数学模型来看，是研究某一经济系统中各部门之间的投入与产出关系的一种线性模型。 我们将能够反映一个经济系统中各部门之间的数量依存关系的投入产出表以及由此得到的平衡方程组统称为投入产出模型。 二、直接消耗系数 定义1 第j部门生产单位产品直接消耗第i部门的产品量，称为第j部门对第i部门的直

3、接消耗系数，记作aij ，即各部门之间的直接消耗系数构成的n阶矩阵，称为直接消耗系数矩阵，记作 直接消耗系数充分反映了各部门之间在生产技术上的数量依存关系。 矩阵C为中间投入系数矩阵分配平衡方程组和消耗平衡方程组的矩阵表示 X=AX+Y 或 (E-A)X=Y X=CX+Z 或 (E-C)X=Z 矩阵表示矩阵表示分配平衡方程组 消耗平衡方程组 例1.设某企业有三个生产部门，该企业在某一生产周期内各部门的生产消耗量和初始投入量如表62所示求：（1）各部门总产出x1 ,x2,x3 ；（2）各部门最终产品y1，y2，y3；（3）直接消耗系数矩阵A。 解：（1）消耗平衡方程组为 将xij和zj的值代入，

4、得 （2）分配平衡方程组为 将xj和xij 的值代入，得 （3）由直接消耗系数公式和矩阵乘法运算法则，得直接消耗系数矩阵A具有以下性质： 性质1 所有元素均非负，且 性质2 各列元素的绝对值之和均小于1，即 根据这两条性质，可证明以下结论：投入产出模型中的矩阵(E-A)和(E-C)都是可逆矩阵。 三、平衡方程组的解 1.消耗平衡方程组的解 2.分配平衡方程组的解 1.消耗平衡方程组的解若直接消耗系数aij是已知数值，则它就是一个线性方程组，用矩阵表示为三、平衡方程组的解 1.消耗平衡方程组的解 2.分配平衡方程组的解 若已知xj的数值，则求yj值的矩阵运算公式为 若已知yj的数值，由于矩阵(E

5、-A)可逆，则求xj值的矩阵运算公式为 例2由建筑队、电气队、机械队组成一个施工公司，他们商定在某一时期内互相提供服务，建筑队每单位产值分别需要电气队、机械队的0.1，0.3单位服务，电气队每单位产值分别需要建筑队、机械队的0.2，0.4单位服务，机械队每单位产值分别需要建筑队、电气队的0.3，0.4单位服务。又知在该时期内，他们都对外服务，创造的产值分别为建筑队500万元，电气队700万元，机械队600万元。(1) 问这一时期内，每个工程队创造的总产出是多少？ (2)求各工程队之间的中间投入和初始投入。 解: （1）直接消耗系数矩阵和最终产品矩阵为 其分配平衡方程组为 用初等行变换将其增广矩

6、阵化为行简化阶梯形矩阵，得 所以每个施工队创造的总产出分别为 （2）由直接消耗系数公式和矩阵乘法运算规则可知，各工程队之间的中间投入矩阵为 由消耗平衡方程组，得 故各施工队的初始投入为 四、完全消耗系数 定义2 第j部门生产单位产品时对第i部门产品量的直接消耗和间接消耗之和，称为第j部门对第i部门的完全消耗系数，记作bij，即 间接消耗的总和 各部门之间的完全消耗系数构成的n阶矩阵，称为完全消耗系数矩阵，记作 矩阵表示为B=A+BA 完全消耗系数矩阵的计算公式例3 已知某一经济系统的直接消耗系数矩阵 试求该系统的完全消耗系数矩阵B 。解： 因为 利用初等行变换求逆矩阵 例4 已知某一经济系统的

7、完全消耗系数矩阵B和最终产品矩阵Y如下： 试求该系统的总产出矩阵X .解：因为 五、应用举例 例5 已知某一经济系统有三个生产部门，其完全消耗系数矩阵为 下一计划期最终产品的计划是 试求：（1）下一计划期的计划总产量X。（2）在计划的执行过程中，如果发现第1部门产品有5个单位的余量，第3部门产品有10个单位的缺口，那么原计划应如何调整？ 解：（1）因为 所以，下一计划期的计划总产量是 (2) 当最终产品的数量发生改变量 时，则各部门间的总产品量相应发生的改变量是代入上式，得 代入上式，得 即调整后的三个部门的总产值分别为 第六章 线性经济模型简介 投入产出模型简介 6.1 单纯形法 6.3 线

8、性规划 6.26.2 线性规划 一、规划线性问题的数学模型二、线性规划问题的标准形式 三、线性规划问题的几个基本概念 四、两个变量线性规划问题的图解法一、规划线性问题的数学模型例1 某工厂生产甲、乙两种产品，要用A,B,C三种不同的原料，从工艺资料知道：每生产1件甲种产品，需用三种原料分别为1，1，0单位；生产1件乙种产品，需用三种原料为1，2，1单位；每天原料供应的能力分别为6，6，3单位。又知道，每生产1件甲、乙产品，工厂利润收入分别为3千元和4千元，问：工厂应如何安排计划，使一天的总利润为最大？解： 为了解决这个问题，首先需要建立它的数学模型。 建立数学模型一般要经过以下四步：第一步，明

9、确问题的条件。一般可以将问题的条件列成表格形式，如下表63第二步，明确问题的变量。为了做出决策，我们把决策中关键量设为未知量，这种变量称为决策变量。本例中，设产品甲的日产量为件，产品乙的日产量为件。显然，它们都是非负的，即第三步，明确问题的目标。 该问题的目标是在现有条件下，追求最大的利润。设该工厂一天获得的总利润为S，则依题意得 问题就是要求它的最大值，因此，目标函数为 第四步，明确问题的约束条件。由于每天的原料供应限制，A种原料每天只能供给6个单位，所以一天生产甲、乙两种产品所消耗A种原料不得超过6个单位，即 第四步，明确问题的约束条件。由于每天的原料供应限制，A种原料每天只能供给6个单位

10、，所以一天生产甲、乙两种产品所消耗A种原料不得超过6个单位，即 类似地，有 因此，对变量 的限制为 约束条件 综合上述分析，我们可以写出该问题的数学模型如下 约束条件 目标函数 例2 某建设工地，需要直径相同、长度不同的成套钢筋， 每套由7根2m长和2根7m长的钢筋组成，今有15m长的钢筋150根，问怎样下料，才能使废料最少？解：把一根15m长的钢筋割成分别为7m和2m的两种规格，有三种比较经济的方法，如表64所示。S表示废料的总长度。依题意，得把分别表示采用上述三种方法割料的15m长的钢筋的根数，又由于每套由7根2m长，2根7m长的钢筋组成，而2m长有 根7m长有 根，根据配套要求，有问题的

11、目标是废料最少，总废料长为 综合上述讨论，得到该问题的数学模型为： 总结从以上两例子可以看出，它们都属于优化问题，并具有以下共同特征：（1）每一个问题都可以用一组称为决策变量的未知量来表示某种方案，这组未知变量的一组定值就代表一个具体方案。通常，要求这些未知量的取值是非负的。 （2）每个问题都存在一定的限制条件，这些限制条件都可能用决策变量的一组线性等式或线性不等式来表示。 （3）都有一个目标，并且这个目标可以表示为决策变量的线性函数，并按问题的要求，求这个目标函数的最大（小）值。线性规划问题的数学模型的定义一般地，这类问题都可用数学语言描述如下：求一组变量的值，使其满足约束条件 并使函数 达

12、到最大（小）值，其中 均为常数。这就是线性规划问题的数学模型。 线性规划问题的数学模型的一般形式是 简记为二、线性规划问题的标准形式 定义1 下述线性规划问题的数学模型 称为线性规划问题的标准形式 。线性规划问题的标准形式有以下特点： 1.求目标函数的最大值。2.所有的约束方程都用等式表示。3.所有的变量都是非负的。4.约束方程等式右边的常数（称为约束常数）都是非负的。上述标准形式还可以简写为 矩阵表示化为标准形1.化小为大2.化不等式为等式松弛变量 松弛变量 3.化负为正4.化“无非负限制”为正第i个约束方程的两边同乘以1 例3 试将下面的线性规划问题化为标准形式： 解：例4 试将下面的线性

13、规划问题化为标准形式： 解：三、线性规划问题的几个基本概念 定义2 在线性规划问题中，满足约束条件的解， 称为可行解。 一般来说，线性规划问题可能有无穷多个可行解， 也可能没有可行解。 使目标函数达到最大值或最小值的可行解，称为最优解。将最优解代入目标函数，所得到的目标函数值，称为最优值。 定义3 在线性规划问题 中，设约束方程AX=b中的系数矩阵A的秩r(A)=m, B是矩阵A中任一 mm 阶的非奇异矩阵,则称B为该线性规划问题的一个基。 基向量、非基向量、基变量、非基变量 B的列向量称为基向量 N的列向量称为非基向量 基向量对应的变量xj 称为基变量 非基变量所对应的变量称为非基变量 基本

14、解、基本可行解、基可行解、最优基可行解定义4 ： 在线性规划问题中，非基变量取零值时所得到的解称为基本解。如果基本解又满足非负条件，则称为基本可行解，简称基可行解。能使目标函数达到最优的基可行解，称为最优基可行解。 基本可行解一定是基本解，也一定是可行解，但反之不成立。 例5 写出下列线性规划问题的所有基阵： 解： 约束方程组的系数矩阵及各列向量分别为知 都是非奇异矩阵，所以 都是这一问题的基。 四、两个变量线性规划问题的图解法 例6 用图解法求解下列线性规划问题：解： （1）画出可行域；（2）画出等值线； （3）求出最优解。 因此，方程 的交点坐标为（4，2），该问题的最优解为： 对应的目标

15、函数值为：Z=14。 线性规划问题中解的情况有以下几种：（1）唯一解（如上例）；（2）无穷多最优解；（3）无界解； （4）无可行解。无穷多最优解无界解无界解无可行解 无可行解 第六章 线性经济模型简介 投入产出模型简介 6.1 单纯形法 6.3 线性规划 6.26.3 单纯形法 一、引例 二、单纯形表 一、引例例1 求解下列线性规划问题： 解: 我们分以下四步完成： （1）引入松弛变量 ，将原问题化成标准形式： 如果取标准形式的约束方程组中的变量的系数列向量组成一个基,对应的基变量为非基变量为当非基变量取零值，即 得到一个基本可行解 ，即 对应的目标函数值 很明显，这个解不合我们的要求。 （2

16、）寻找更好的可行解。为了使目标函数值逐步优化，可从目标函数maxS= 分析：因为的系数均为正数，所以将她们中的某一个换成基变量（换入者称为进基变量，换出者称为出基变量），则目标函数值都会增加，为了使目标函数值增加得多些，我们对的系数作如下的选择： 即选取系数最大的非基变量 进基，因为基变量只能有三个，有了进基变量，就必须从原基变量中换出一个出基，那么将原基变量中的哪一个换成非基变量呢？在非基变量的条件下，其标准形式（1）中的约束方程可化为为了保证变量都要满足非负约束，所以, 解上述不等式组，得 因此， 应取最小比值 【注】上述确定基变量的方法叫作最小比值法。它是用进基变量的约束方程系数列向量（

17、简称进基列）中大于0的元素作除数，对应的常数作被除数，取得到的商的最小值。 对应的基阵是 因此，有同样，应取最小比值 因此，有 对应的基阵是 （4）寻找最优基可行解。 对应的基阵是二、单纯形表 把线性规划模型化为标准形式，从一个基本可行解开始，用换基迭代方法，转换到另一个基本可行解，使目标函数值逐步增大，当目标函数达到最大值时，也就得到了最优解。这种方法称为单纯形法。 单纯形表例1的解题过程比较繁琐，为了简化叙述和计算，现将这一过程列成一张表格，称为单纯形表。 单纯形表检验数 主元素主元列 最大检验数 表6-5中第三行第二列中的数是目标函数非基化后的系数，称为检验数。从分析知道，当检验数全部非正时，目标函数才取得最优值。最大正检验数所在的列称为主元列，对应的变量为进基变量。用主元列中的正分量去除b列所对应的分量，取得最小比值的元素，称为轴心项（即中括号中的数）。轴心项所在的行对应的基变量为出基变量。换基变换的过程称为换基迭