初二数学秋季讲义 第4讲.全等三角形的经典模型（二） 教师版

1、知识互联网 知识互联网题型一：题型一：“手拉手”模型思路导航思路导航“手拉手”数学模型： 例题精讲例题精讲如图，等边三角形与等边三角形共点于，连接、，求证：=并求出的度数.ABE、AFC是等边三角形 AE=AB，AC=AF，即=又典题精练典题精练如图，正方形BAFE与正方形ACGD共点于，连接、，求证：=并求出的度数.同引例，先证明BD=FC，如图，已知点为线段上一点，、是等边三角形 求证：. 将绕点按逆时针方向旋转，使点落在上，请你对照原题图在图中画出符合要求的图形； 在得到的图形中，结论“”是否还成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 在所得的图形中，设的延长线交于，试判断的形状，并

2、证明你的结论这是一个固定后运动变化的探索题，且在一定的条件下，探究原结论的存在性（不变性）；需要画图分析、判断、猜想、推理论证 、是等边三角形，在和中 （SAS） 将绕点旋转如图： 在的情况，结论仍然成立证明：，（SAS）， 如图，延长交于，则为等边三角形证明：是等边三角形题型二：双垂+角平分线模型题型二：双垂+角平分线模型典题精练典题精练在中，于D，BF平分交AD于E，交AC于F.求证：AE=AF.，是的角平分线如图，已知中，于，的角平分线交于，交于，交于求证：要证，一般想到证明这两条线段所在的三角形全等，由图形可知，不存在直接全等三角形，因此要想到添加辅助线构造全等三角形作于，（角平分线定

3、理）又，又，（AAS），题型三：题型三：半角模型典题精练典题精练已知：正方形中，绕点顺时针旋转，它的两边分别交线段于点.求证. 延长到使四边形ABCD是正方形AD=AB在和 AM=AE 在和中MN=ENDE+DN=BM+DN=MN如图，在四边形ABCD中，E、F分别是线段BC、CD上的点，且BE+FD=EF. 求证：.延长FD到H，使DH=BE，易证，再证在等边三角形的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为三角形ABC外一点，且,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系 图1 图2 如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，BM

4、、NC、MN之间的数量关系是 ； 如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DMDN时，猜想问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明. 如图1， BM、NC、MN之间的数量关系 BM+NC=MN 猜想：结论仍然成立证明：如图，延长AC至E，使CE=BM，连接DE BD=CD且又ABC是等边三角形，在与中：(SAS) DM=DE, 在MDN与EDN中：(SAS) 第04讲精讲：典型的旋转全等构图：“手拉手”全等模型探究；【探究一】“手拉手”模型基本构图；如图1，若与旋转全等，则必有与为两个顶角相等的等腰三角形（即相似的等腰三角形）；反之，如图2，若有两个顶角相等的等腰三角形与共顶角顶点，则必有与旋转

5、全等；而图2正是“手拉手”模型的基本构图；【探究二】将探究一中的普通等腰三角形换成特殊的图形，例如等边三角形、等腰直角三角形、正方形，然后再探究结论如何变化；如图3、图4、图5，当两个等边三角形、等腰直角三角形、正方形共顶点时，与仍然旋转全等，并且有两个共同的结论；结论1：；结论2：与所夹锐角等于两个等腰三角形的顶角；（倒角方法如下图6、图7、图8的八字模型）【探究三】将探究二中的特殊图形旋转后结论是否仍然成立；如下图9、图10、图11易得探究二中的两个结论仍然成立；【探究四】深化探究二中图3的结论；如图12，可得结论1：；结论2：；结论3：如图12、图13、图14，可得三对三角形全等（；）结

6、论4：如图15，连接，可得为等边三角形；（由结论3可得）结论5：；（由结论4可得）结论6：连接，可得平分；（如图16，分别作、，与分别是全等三角形与对应边和上的高，故相等）复习巩固复习巩固题型一 手拉手模型 巩固练习如图，DAAB，EAAC，AD=AB，AE=AC，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. D如图，正五边形ABDEF与正五边形ACMHG共点于，连接、，则线段BG、CF具有什么样的数量关系并求出的度数先证 可得BG=CF， 题型二 双垂+角平分线模型 巩固练习已知AD平分，垂足为E，,垂足为F，且DB=DC，则EB与FC的关系（ ）A. 相等 B. EBFC D.以上都不对A

7、题型三 半角模型 巩固练习如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC120以D为顶点作一个60角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为6 如图，在四边形中，、分别是边、延长线上的点，且，求证： 证明：在上截取，使，连接， ，思维拓展训练(选讲) 思维拓展训练(选讲)如图，为线段上一点，分别以、为边在同侧作等边和等边，交于点，交于点，求证：本题中，与是等边三角形，因此，因为、在同一条直线上，故这样可以得到，故可以得到，则，所以，故和是等边三角形（已知），（等边三角形的各边都相等）（等边三角形的每个角都等于） ，在和中， （SAS）（全等三角形的

8、对应角相等）在和中，（ASA）（全等三角形的对应边相等）（等边对等角）（三角形内角和定理）（等量代换）（内错角相等，两直线平行）条件：正方形，在延长线上，在延长线上，结论： ； .在CD上取一点Q，使DQ=BM先证可得AM=AQ再证MN=NQ 可证ANHAND，AH=AD=AB如图，在中，锐角的平分线交对边于，又交斜边的高于，过引，交于，请问与相等吗？理由是什么？ 相等理由如下：如图，过作于平分，平分，（AAS）如图，ABD为等腰直角三角形，求证：以、为边的三角形是直角三角形. 过B作BD的垂线并取BQ=ND，连接AQ、QM先证再证以、为边的三角形是直角三角形. 课后测课后测如图，等腰直角AD

9、B与等腰直角AEC共点于，连接、，则线段BE、CD具有什么样的数量关系和位置关系先证明BE=CD，再类似例1倒角即可得到BECD如图，ABD为等腰直角三角形，求证：以、为边的三角形是直角三角形. 过B作BD的垂线并取BQ=ND，连接AQ、QM先证再证以、为边的三角形是直角三角形. 学会变通，变则通一天早上，一位贫困的牧师，为了转移哭闹不止的儿子的注意力，将一幅色彩缤纷的世界地图，撕成许多细小的碎片，丢在地上，许诺说：“学会变通，变则通一天早上，一位贫困的牧师，为了转移哭闹不止的儿子的注意力，将一幅色彩缤纷的世界地图，撕成许多细小的碎片，丢在地上，许诺说：“小约翰，你如果能拼起这些碎片，我就给你二角五分钱。”牧师以为这件事会使约翰花费上午的大部分时间，但没有十分钟，小约翰便拼好了。牧师：“孩子，你怎么拼得这么快？”小约翰很轻松的答道：“在地图的另一面是一个人的照片，我把这个人的照片拼在一起，然后把它翻过来。我想，如果这个人是正确的，那么，这个世界也就是正确的。”牧师微笑着给了儿子二角五分钱。伟大的发明家爱迪生曾把一只灯泡交给他的助手普林斯顿大学的数学系毕业生阿普顿，要他算出玻璃灯泡的容积，阿普顿拿着灯炮琢磨了好长时间，于是用皮尺在灯泡上左右、上下量了一阵， 又在纸上画了好多的草图，写满了各种尺寸，列了许多道算式，算来