高中数学必考点1：《函数与导数》（中档提高）

1、关注公众号品数学高中数学必考点1：函数与导数（中档提高）一、单选题1若存在正数使成立，则的取值范围是（ ）ABCD2若方程有三个不同的实数根，则的取值范围（ ）ABCD3已知为上的奇函数，为偶函数，若当，则（ ）ABC1D24设函数，若，则下列不等式正确的是（ ）（参考数据：）ABCD5函数的零点的个数为（ ）A3B4C5D66设函数满足，且对，都有令集合，则集合中的元素个数为（ ）A2020B2021C4040D40427已知、为函数的两个零点，若存在唯一的整数则实数的取值范围是（ ）ABCD8函数，则使得成立的的取值范围是（ ）ABCD9已知函数满足，且时，若时，方程有三个不同的根，则的取

2、值范围为（ ）ABCD10已知是定义在上的偶函数，且在上是减函数，设，则a，b，c的大小关系是（ ）ABCD二、多选题11函数在区间上的值域为，则的值可能是（ ）ABCD12已知，函数满足：存在，对任意的，恒有，则可以是（ ）ABCD13已知是定义在上的偶函数，且当时，则下列说法正确的是（ ）A是以为周期的周期函数BC函数的图象与函数的图象有且仅有个交点D当时，14已知函数是上的奇函数，且满足，当时，则下列四个命题中正确的是（ ）A函数为奇函数B函数为偶函数C函数的周期为8D函数在区间上有4个零点15已知，则使命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）ABCD16已知，是自然对数的底数，则

3、下列结论中正确的是（ ）ABCD17已知函数，若函数在上不存在零点，则的取值范围可以是（ ）ABCD18已知函数，若方程有三个不同的实数根、，且，则（ ）ABCD的取值范围是19已知函数，则下列说法正确的是（ ）A在上单调递减B有两个零点C若恒成立，则实数D是奇函数20定义：若对于上的连续函数，存在常数，使得对任意的实数成立，则称是上的类函数.下列命题中正确的是（ ）A函数是上的类函数B若函数是上的类函数则C若函数是上不恒为零的类函数，则是周期为的函数的充要条件是D若是上的类函数，且，则第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题21已知四面体，点为其内部一点，满足，当四面体体积

4、最大时，四面体外接球的表面积为_22已知函数若方程有三个不同的实数根，且，则的取值范围是_.23已知函数是奇函数，当时，.若不等式（ 且）对任意的恒成立，则实数的取值范围是_.24如果存在，且，使成立，则在区间上，称为的“倍函数”设，若在区间上，为的“倍函数”，则实数的取值范围为_25设函数，若存在、使得成立，则的最小值为时，实数_26已知函数在上有两个极值点，则实数的取值范围是_.27已知函数是定义域为R的偶函数，满足，且当时，若，则的所有取值构成的集合为_.28已知函数有个不同的零点，且对任意实数，均有，则函数的最大值为_.29已知是函数的导函数，其中是自对数的底数，对任意，恒有，则不等式

5、的解集为_30已知函数，其中，为的导函数若存在使得成立，则的最大值为_参考答案1B【分析】令，将问题转化为使，结合函数图象，即可确定的取值范围.【解析】由题设，知：使成立，令，时有，而，仅需时，在，使得成立.故选：B.【小结】令，将问题转化为两个函数在第一象限内存在，应用数形结合的思想求参数范围.2B【分析】设，由导数求函数的极值，即可得当时，有三个不同的实数根，从而可选出正确答案.【解析】解：设，令，解得或，则随的变化如下表 0 2 +0-0+ 则当时，函数有极大值；当时，函数有极小值，又当时，当时，所以当时，有三个不同的实数根，此时，故选:B.【小结】关键点睛:本题的关键是由方程的根和函数

6、零点的关系，将已知条件转化为与图象有三个交点，结合导数确定的图象趋势，从而可得.3C【分析】根据为上的奇函数可求出，又为偶函数，可推出为周期函数，利用周期性即可求解.【解析】解：为上的奇函数，且当时，即，当时，为偶函数，又为上的奇函数，是周期为4的周期函数，故选：C.【小结】本题解题关键是根据为上的奇函数和为偶函数，推出函数为周期函数，利用周期性求解.4D【分析】先求出的解析式，利用导数讨论单调性，再对四个选项一一验证：对于A：由，再利用单调性得出，即可判断；对于B：由再利用单调性得出，即可判断；对于C：先计算和，利用单调性比较.即可判断；对于D：先计算和，利用单调性比较.即可判断.【解析】因

7、为函数，且，所以整理得：，即，解得：，所以.所以所以在上单增，在上单减，在上单增.因为，所以.对于A：由得：.因为，所以，所以.故A错误；对于B：由得：.因为，所以，所以.故B错误；对于C：.因为，所以，而，所以，所以，故C错误；对于D：，而，所以，所以，故D正确.故选：D【小结】利用单调性比较大小：（1）指、对数构造函数比较大小；（2）抽象（复合）函数利用单调性比较大小；（3）利用同构结构，构造新函数比较大小.5C【分析】在同一坐标系中画出两个函数的图像可得它们交点的个数，此数即为函数零点的个数.【解析】函数零点的个数就是与的图像交点的个数，在同一直角坐标系中作图，如下，它们共有5个不同的交

8、点，故零点的个数为5，故选：C.【小结】方法点睛：函数零点的个数判断，可以依据函数的单调性和零点存在定理，如果函数 比较复杂，则可以把的零点问题转化为的方程的解问题，其中，而后者又可以看成两个函数图像的交点问题，注意都是常见函数.6D【分析】令，可求得，集合满足，可得，必定为一奇一偶，即可得出结果.【解析】令，则有，又，从而集合中，可化为即，必定为一奇一偶若为偶数时，的取值可以为，共有2021个若为偶数时，同理也有2021个集合中的元素个数共有（个）【小结】关键点睛：解决本题的关键是求出，得出，判断出，必定为一奇一偶7D【分析】可得，作出函数的图象，可知满足不等式的整数解有且只有一个，从而可得

9、出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.【解析】由可得，令，其中，则.当时，此时函数单调递增，当时，此时函数单调递减.且当时，作出函数的图象如下图所示：由图可知，满足不等式的整数解有且只有一个，所以，所以，即.因此，实数的取值范围是.故选：D.【小结】本题考查利用函数不等式的整数解的个数求参数，解题的关键在于利用图象确定整数有哪些，进而可得出关于参数不等式（组）来进行求解.8D【分析】由函数定义域的求解方法可求得定义域，由奇偶性定义可知为偶函数，由单调性性质和复合函数单调性的判断方法可确定当时，单调递增，由偶函数性质知其在上单调递减，由此可得自变量的大小关系，结合函数定义域可构造不等式组

10、求得结果.【解析】由得：或，定义域为；，为偶函数；当时，又在上单调递增，在上单调递增，又在上单调递减，在上单调递增，为偶函数，在上单调递减；由得：，解得：；又，或，即使得成立的的取值范围为.故选：D.【小结】本题考查根据函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，解题关键是能够通过对函数单调性的判断，将函数值大小关系转化为自变量的大小关系；易错点是忽略函数定义域的要求，造成取值范围求解错误.9C【分析】由，可得函数的图像关于直线对称，由此可画出函数图像，而直线为过定点的一条直线，当直线与当时的函数的图像相切时，直线与在的图像有两个公共点，然后利用导数求出切线的斜率，再结合图像可得答案【解析】因为

11、，所以函数的图像关于直线对称.当时，则当时，的图像如图所示，直线为过定点的一条直线.当直线与当时的函数的图像相切时，直线与在的图像有两个公共点.当时，函数，设切点为，切线的斜率，则切线方程为，把点代入得，所以；当直线过点时，所以的取值范围为，故选：C.【小结】此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的几何意义，解题的关键是根据题意画出函数的图像，利用数形结合的思想求解即可，属于中档题10D【分析】由偶函数得函数在上递增，比较自变量的大小后可得函数值大小【解析】因为是定义在上的偶函数，且在上是减函数，所以在上递增，且，所以故选：D【小结】方法点睛：本题考查奇偶性与单调性的综合应用，考查对数函数的性

12、质，幂的运算法则这类问题常常由奇偶性得出函数的单调性，同时由奇偶性化函数值中自变量的值到同一单调区间上，然后根据指数函数、对数函数、三角函数等的性质比较自变量的大小，然后由单调性得出结论11BCD【分析】解方程、，分析二次函数的单调性，求出的取值范围，即可得出合适的选项.【解析】解方程，解得或，解方程，解得，由于函数区间上的值域为.若函数在区间上单调，则或，此时取得最小值；若函数在区间上不单调时，且当取最大值时，所以，的最大值为.所以，的取值范围是.故选：BCD.【小结】本题考查利用二次函数在区间上的值域参数，解题的关键在于充分分析二次函数的单调性，结合二次函数的基本性质求解.12AB【分析】

13、设，则由题可判断在有最大值，故只需依次判断每个选项是否满足此条件即可.【解析】设，若存在，对任意的，恒有，则在有最大值，对A，在有最大值，故A正确；对B，在有最大值，故B正确；对C，在无最大值，故C错误；对D，在无最大值，故D错误.故选：AB.【小结】本题考查对函数最值的理解，解题的关键是判断出在有最大值.13ACD【分析】推导出函数的周期，可判断A选项的正误；求出、的值，可判断B选项的正误；数形结合可判断C选项的正误；求出函数在区间上的解析式，可判断D选项的正误.【解析】对于A选项，由已知条件可得，所以，函数是以为周期的周期函数，A选项正确；对于B选项，则，B选项错误；对于C选项，作出函数与

14、函数的图象如下图所示：当时，结合图象可知，.当时，即函数与函数在上的图象无交点，由图可知，函数与函数的图象有个交点，C选项正确；对于D选项，当时，则，所以，D选项正确.故选：ACD.【小结】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.14BC【分析】先利用条件中的等式得到，再利用函数的奇偶性得到，然后结合条件中的等式逐个对选项进行分析判断即可【解析】令，得，故，又是上的奇函数，所以，所以，所以，所以，所以函数的周

15、期为8，选项C正确因为，所以，又是上的奇函数，所以，即，故，所以函数的图象关于直线对称，所以为偶函数，选项B正确是上的奇函数，则，又，且当时，所以当时，只有2个根又函数的图象关于直线对称，所以当时，只有，故当时，只有2个根，由对称性知，当时，只有2个根，所以函数在区间上有5个零点，故选项D错误若函数为奇函数，则，令，则，又，所以又函数的图象关于直线对称，所以，故，与当时，矛盾，故选项A错误故选：BC【小结】本题的关键是利用已知关系式及奇偶性得出函数的周期为8，且函数的图象关于直线对称15AC【分析】根据题设条件，借助函数的最值求出原命题为真命题的充要条件，在选项中找出这个充要条件所对集合的所有

16、真子集即可得解.【解析】，令，则，则函数在上单调递增，所以原命题为真命题的充要条件为，而，则满足A选项、C选项的a均有，时和都不一定成立，所以所求的一个充分不必要条件是选项A，C.故选：AC【小结】记，对应的集合分别为A，是的充分条件是的必要条件是的充要条件且是的充分不必要条件且AB是的充必要不充分条件且AB是的既不充分又不必要条件且且16BC【分析】先将已知不等式变形为，然后构造函数，利用导数研究的单调性，从而得出，的大小关系以及取值范围，最后利用不等式的性质及函数的单调性对各选项作出判断【解析】由得，令，则，易知在单调递增，因为，所以可得，故A选项错误；由A得，故B选项正确；因为，所以，即

17、，故C选项正确；令，则，当时，所以在上单调递减，于是有，即，故D选项错误故选：BC【小结】解决本题的关键是由得，进而利用导数工具得到，的大小关系以及取值范围17AC【分析】先将已知函数解析式变换为，然后根据函数在上不存在零点得到，从而求出在上存在零点时的取值范围，最后取其补集即可得解【解析】，函数的最小正周期，由函数在上不存在零点，可得，则函数的零点为，即，若，则，即，因为，所以或当时，得；当时，得因为函数在上不存在零点，所以的取值范围为故选：AC【小结】本题考查三角函数的周期性，理解掌握余弦函数在上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与轴的交点等）是解题关键解题方法是利用三角函数恒等变换化

18、函数为形式，然后结合余弦函数性质求解18ABD【分析】作出函数的图象，数形结合可判断AB选项的正误，利用对数的运算性质可判断C选项的正误，利用利用导数法可判断D选项的正误.【解析】作出函数与函数的图象如下图所示：对于A选项，由图可知，当当时，方程有三个不同的实数根，A正确；对于B选项，由图可知，解得，此时，B正确；对于C选项，当时，；当时，.由图可知，由可得，即，所以，C错误；对于D选项，因为，所以，且，记，则，令，得（舍去），所以当时，当时，所以的极小值也是最小值，所以的取值范围是，D正确.故选：ABD.【小结】已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解

19、方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.19AC【分析】求出导函数，为了确定的正负，还需对求导，由导数确定单调性得导数值的正负，然后由的正负确定单调性，极值，结合零点存在定理确定零点个数，由单调性得函数值范围得参数范围，根据奇偶性定义判断奇偶性然后判断各选项【解析】由题可得，令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，又，当时，所以当时，即，所以在上单调递减，所以A正确；当时，即，在上单调递增，故，所以B不

20、正确；恒成立，则，所以C正确；所以D不正确故选：AC【小结】本题考查导数的应用，解题方法是求出导函数，由导函数的正负确定函数的单调性，函数极值，然后由零点存在定理确定零点个数，利用不等式恒成立确定参数范围，根据奇偶性定义确定奇偶性要求掌握的知识点较多，难度中等20ACD【分析】利用类函数的定义逐个分析判断即可【解析】对于A，当时，满足新定义，故A正确；对于B，若函数是上的，令，则，令，得，则当时，单调递减，当时，单调递增，故，故无解，故B不正确；对于C，由函数是上不恒为零的类函数，是周期为的函数，故C正确；对于D，因为是上的类函数，所以，则，则，即，又，则，故D正确.故选:ACD.【小结】此题

21、考查函数中的新定义，解题关键是对新定义的正确理解， “新定义”主要是指即是定义新概念、新公式、新法则、新运算四种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，透过现象看本质，考查的还是教材知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好“三基”，以不变应万变才是制胜法宝.21【分析】由已知得点位于过的外心且垂直于面的直线上，若要四面体的体积最大，则在平面的同侧，且点满足平面，设外接球的半径，可得利用导数可得答案.【解析】由得，点位于过的外心且垂直于面的直线上，若要四面体的体积最大，则在平面的同侧，且点满足平面，如图所示，设外接球的球心，在平面上的射影为，外接球的半径，设，因为

22、为圆上的三点，所以，所以，设，则，易得在处取得最大值，所以，又，所以，解得，所以球的表面积.故答案为：.【小结】本题考查了球的内接三棱锥的问题，解题的关键点是求得，考查了学生的空间想象能力和计算能力.22【分析】首先根据分段函数的性质，先判断，再根据函数的性质可知，可知，再构造函数，利用导数求函数的最值的取值范围.【解析】当时，当时.当时，方程只有一个实数根.当或时，方程有两个实数根.当时，方程有三个不同的实数根，分别为，又，可知，且，且.记，则.当时，当，当时，的极小值也是最小值，又当时，的取值范围是.故答案为：【小结】本题考查函数与方程，根据方程实数根的个数，求参数的取值范围，本题的关键是

23、根据函数的图象和绝对值的性质，判断.23【分析】先求出时的解析式，再利用对数的运算性质参变分离后结合导数可求参数的取值范围.【解析】设，则，故，故不等式（ 且）对任意的恒成立即为：对任意的恒成立即对任意的恒成立.设，则，因为，故，故在为减函数，故，故，整理得到，故.故答案为：.【小结】与对数有关的不等式的恒成立问题，我们可以利用对数的函数的图象，也可以利用对数的性质把底数分离出来，再结合导数求新函数的最值，从而求出参数的取值范围.24【分析】求导，易知函数在上单调递增，在上单调递增，不妨设，将转化为令，转化为在上有解，即在上有解求解.【解析】由题可知，在上，因此函数在上单调递增，易知在上单调递

24、增，不妨设，因为，所以，即令，则，则函数在上存在增区间，则在上有解，即在上有解，所以令，则，令，则，又，所以单调递增，所以，所以所以实数的取值范围为故答案为：【小结】一是理解新定义并结合题中函数的性质去绝对值符号；二是对问题进行合理转化，并构造函数，最终将问题转化为存在性问题，进行分析求解25【分析】分析可知函数在区间上的最小值为，利用导数分析函数在区间上的单调性，结合可求得实数的值.【解析】设，由可得，的最小值为，即求函数在区间上的最小值为，且，当时，则，所以，函数在区间上为增函数，所以，解得.故答案为：.【小结】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法：（1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.26【分析】求得，利用导数分析函数在上的单调性，根据已知条件可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【解析】，令，则.当时，此时函数单调递增，当时，此时函数单调递减.因为函数在上有两个极值点，则，解得.因此，实数的取值范围