高考理科数学刷题练习解答题(七)

1、 TOC o 1-5 h z 解答题（七 ）（2019 江西名校 5 月联考）已知数列an有 an 0， Sn是它的前n 项和，a13，且当n 2时，S2n 3n2an Sn2 1.(1)求证：数列an an 1为等差数列；(2)求 an的前n项和Sn.解(1)证明：当n2 时，Sn23n2anSn21，(SnSn1)(SnSn1)3n2an，an0，所以(SnSn1)3n2，(Sn1Sn)3(n1)2，两式对应相减，得anan13(2n1)，所以(anan1)(an1an)6n3(6n3)6，又n2时，(3a2)212a29，所以a26，所以a39，所以(a2a3)(a1a2)69(36)6

2、，所以数列 anan 1是首项为9，公差为6的等差数列(2)当 n 为偶数时，Sn(a1a2)(a3a4) (an1an)3(37 (2nn2 3 2n 13n)1) 3 22 23(n2n)n 为奇数时，Sna1(a2a3) (an1an)33(59 (2n1)n n 123 35 2n 1综上，Sn(n2 n)（2019 福建南平二检）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是梯形，ABCD，AB2CD22，AD3，PC3，PAB 是正三角形，E 为 AB 的中点，平面PAB平面PCE.(1)求证：CE平面PAB；(2)在棱PD 上是否存在点F，使得二面角P AB F 的余弦值为31

3、938，若存19在，求出PPDF的值；若不存在，请说明理由解(1)证明：因为AE CD，且AE CD2，所以四边形AECD 是平行四边形，从而AD CE，且CE AD3，又在正PAB 中，PE 23AB6，则在PCE 中，满足PE2CE2PC2，所以CEPE，又平面PAB平面 PCE，平面PAB 平面 PCE PE， CE? 平面 PCE，所以 CE平面PAB.(2)由 (1)，知PE CE，且PEAB，CE ABE，CE， AB? 平面ABCD，所以 PE平面ABCD，又 AD 平面PAB，AE?平面PAB，所以ADAE，以点E 为坐标原点，分别以射线EC， EA，EP 为x 轴、y轴、z轴

4、的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系， TOC o 1-5 h z 则P（0,0，6），D（3，2，0），A（0，2，0），B（0，2，0），假设在棱PD 上存在点F 满足题意，设PF PD，则PF （ 3，2，6）（ 3 ，2，6），AFAPPF（0，2，6）（3，2，6）（3，22，66 ），BA（0， 22，0），设平面ABF 的法向量n（x，y，z），3x 2 2 y66 z 0，2 2y 0，2 1取z 1，得n ， 0， 1 ，PAB 的一个法向量m （1,0,0），所以|cos n ， m |cos n ， m |3 3819 ，2 13 3819 ，82 2 1 0， （4

5、1）（211）0，因为0，所以41，所以在棱PD 上存在点F 使得二面角PABF31938，且PPDF 41.19PD 419 （2019 河南六市联考一19 （2019 河南六市联考一）已知椭圆x2 y2C： a2 b21（ab0）的两个焦点分别为F1， F2，点P 是椭圆上的任意一点，且|PF1| |PF2|的最大值为4，椭圆C 的离心率22与双曲线4 1y2 1 的离心率互为倒数(1)求椭圆C的方程；33(2)设点 P 1， 2 ，过点 P 作两条直线l1， l2与圆(x 1)2 y2 r2 0r(k1)x2k 1 成立？若存在，请求出k 的最大值；若不存在，请说明理由(e 2.7182

6、8 )解(1)证明：由已知易得f(x)a(x1)xlnx1，所以f(x)a1lnx，令 f(x)a1 lnx0，得xe(a1)，显然，x(0，e(a1)时，f(x)0，函数f(x)单调递增，所以f(x)minf(e (a1)1ae(a1)，令t(a)f(x)min，则由t(a)1e(a1)0，得a1，所以a( ， 1)时，t(a)0，函数t(a)单调递增，a(1， )时，t(a)k(x 2)，令t(x)xlnx(1k)x2k，所以t(x)lnx2k，由t (x) lnx2k 0，得x ek 2，若ek 2 2，即k 2 ln 2 时，在x (2， )上，有t (x)0，故函数t(x)单调递增，

7、所以t(x)t(2) 2 2ln 20.若ek22，即k2ln 2 时，在x(2，ek2)上，有t(x)0.故函数t(x)在x(ek2， )上单调递增，所以在x(2，)上，t(x)mint(ek2)2kek2.故欲使xxln xk(x2)，只需t(x)mint(ek2)2kek20 即可令m(k)2kek2，所以m(k)2ek2，由m(k)2ek20，得k2ln 2，所以k2ln 2 时， m(k)0，m(5)25e5210e30，故kmax4.(2019 山东济南 3 月模拟)某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为三级过滤，使用寿命为十年如图1 所示，两个一级过滤器采用并联安装，二级过滤

8、器与三级过滤器为串联安装其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现，在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换(每个滤芯是否需要更换相互独立)，三级滤芯无需更换，若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个 80 元，二级滤芯每个160 元若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个200 元，二级滤芯每个400 元，现需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据100 套该款净水系统在十年使用期内更换滤芯的相关数据制成的图表，其中图2 是根据 200 个一级过滤器更换的滤芯个数制成的柱状图，下表是根据100个二级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表二级滤芯更换频数分布表：二

9、级滤芯更换的个数56频数6040以 200 个一级过滤器更换滤芯的频率代替1 个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以 100 个二级过滤器更换滤芯的频率代替1 个二级过滤器更换滤芯发生的概率 (1)求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30的概率；(2)记 X表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的一级滤芯总数，求X的分布列及数学期望；(3)记m， n 分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数若m n 28，且n 5， 6，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定m， n 的值解 (1)由题意可知，若一套净水系统在使用期内

10、需要更换的各级滤芯总个数恰好为30， 则该套净水系统中的两个一级过滤器均需更换12 个滤芯， 二级过滤器需要更换6 个滤芯，设“ 一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为30” 为事件A，因为一个一级过滤器需要更换12 个滤芯的概率为0.4，二级过滤器需要更换6 个滤芯的概率为0.4，所以P(A) 0.4 0.4 0.4 0.064.(2)由柱状图可知，一个一级过滤器需要更换的滤芯个数为10,11,12 的概率分别为 0.2,0.4,0.4.由题意，X可能的取值为20,21,22,23,24，并且P(X 20) 0.2 0.2 0.04，P(X 21) 0.2 0.4 2 0.16

11、，P(X 22) 0.4 0.4 0.2 0.4 2 0.32，P(X 23) 0.4 0.4 2 0.32，P(X 24) 0.4 0.4 0.16.所以 X的分布列为X2021222324P0.040.160.320.320.16E(X) 20 0.04 21 0.16 22 0.32 23 0.32 24 0.16 22.4.(3)解法一：因为mn28，n5,6 ，若m22，n6，则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为22 80 200 0.32 400 0.166 160 2848；若m 23， n 5，则该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为23 80

12、200 0.16 5 160 400 0.4 2832. TOC o 1-5 h z 故m， n 的值分别为23,5.解法二：因为mn28，n5,6 ，若m22，n6，设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为Y1(单位：元)，则Y11760196021600.520.320.160.520.320.16E(Y1) 1760 0.52 1960 0.32 2160 0.16 1888.设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为Y2(单位：元)，则Y26 160 960，E(Y2) 1 960 960.所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为E(Y1) E(Y2) 188

13、8 960 2848.若 m 23， n 5， TOC o 1-5 h z 设该客户在十年使用期内购买一级滤芯所需总费用为Z1(单位：元)，则Z118402040P0.840.16 TOC o 1-5 h z E(Z1) 1840 0.84 2040 0.16 1872.设该客户在十年使用期内购买二级滤芯所需总费用为Z2(单位：元)，则Z28001200P0.60.4 TOC o 1-5 h z E(Z2) 800 0.6 1200 0.4 960.所以该客户在十年使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为E(Z1) E(Z2) 1872 960 2832.故m， n 的值分别为23,5.22已

14、知直线l 的极坐标方程为sin 4 2 2，现以极点O 为原点，极轴x1 2cos，为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线 C1 的参数方程为(y2 2sin为参数 )(1)求直线 l 的直角坐标方程和曲线C1 的普通方程；(2)若曲线C2为曲线C1关于直线l 的对称曲线，点A， B分别为曲线C1、曲线C2上的动点，点P的坐标为(2,2)，求|AP| |BP|的最小值解 (1) sin 4 2 2，22 sin 22 cos 2 2，即cos sin 4，直线 l 的直角坐标方程为x y 4 0；x1 2cos，y2 2sin，曲线C1 的普通方程为(x 1)2 (y 2)2 4.(2)点 P 在直线x y 4上， 根据对称性，|AP|的最小值与|BP|的最小值相等曲线C1 是以( 1，2)为圆心，半径r 2 的圆|AP|min|PC1|r21222223. |AP| |BP|的最小值为2 3 6.23已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x) x2 2x.(1)解关于 x的不等式g(x) f(x) |x 1|；(2)如果对任意的x R，不等式g(x) c f(x) |x 1|恒成立，求实数c的取值范围解(1)函数f(x