函数可积性精品课件

1、函数可积性2022/9/151第1页，共26页，2022年，5月20日，9点26分，星期一第五讲 函数可积性 一、定积分的概念二、可积性条件与可积类2022/9/152第2页，共26页，2022年，5月20日，9点26分，星期一一、定积分的概念黎曼积分定义：2022/9/153第3页，共26页，2022年，5月20日，9点26分，星期一记作:积分上限积分下限称为积分区间定积分是 : 积分和式的极限2022/9/154第4页，共26页，2022年，5月20日，9点26分，星期一例如 曲边梯形的面积变速直线运动的路程2022/9/155第5页，共26页，2022年，5月20日，9点26分，星期一证

2、2022/9/156第6页，共26页，2022年，5月20日，9点26分，星期一解问：这个做法对不对？关键：定积分的存在性2022/9/157第7页，共26页，2022年，5月20日，9点26分，星期一 定积分作为黎曼和式的极限，其构造十分复杂，因此想计算这个和式的极限来研究定积分，实际上是不可行的. 另一途径是先研究其存在性，首先是简化和式结构，把“两个任意”(任分任取)简化为“一个任意”(任分)这就是达布上和与下和的来由。三、可积性条件与可积类2022/9/158第8页，共26页，2022年，5月20日，9点26分，星期一1.达布上和与达布下和(一)可积条件2022/9/159第9页，共2

3、6页，2022年，5月20日，9点26分，星期一定义：（达布上和与下和）达布上和 （大和）达布下和（小和）注意1 上和、下和是被划分唯一确定的 这是上和、下和与积分和的主要区别2022/9/1510第10页，共26页，2022年，5月20日，9点26分，星期一注意2 对同一个分法，上和与下和的关系是:2. 达布上和、下和的性质性质1：2022/9/1511第11页，共26页，2022年，5月20日，9点26分，星期一证因此即2022/9/1512第12页，共26页，2022年，5月20日，9点26分，星期一性质2：（分点增多时，小和不减，大和不增）其中2022/9/1513第13页，共26页，

4、2022年，5月20日，9点26分，星期一证只须证明增加一个新分点时，性质成立2022/9/1514第14页，共26页，2022年，5月20日，9点26分，星期一2022/9/1515第15页，共26页，2022年，5月20日，9点26分，星期一性质3： （下和总不超过上和）证根据性质2，有又对划分 有2022/9/1516第16页，共26页，2022年，5月20日，9点26分，星期一性质3说明: 全体上和所构成的数集与全体下 和所构成的数集，都是有界集。 任何一个下和都是全体上和所构成的数集的一个下界；任何一个上和都是全体下和所构成的数集的一个上界。下积分上积分性质4：（下积分不超过上积分）

5、 2022/9/1517第17页，共26页，2022年，5月20日，9点26分，星期一性质5：（达布定理） 对于上、下积分，有 证192022/9/1518第18页，共26页，2022年，5月20日，9点26分，星期一根据性质2，2022/9/1519第19页，共26页，2022年，5月20日，9点26分，星期一（三） 可积性条件定理1：证必要性2022/9/1520第20页，共26页，2022年，5月20日，9点26分，星期一2022/9/1521第21页，共26页，2022年，5月20日，9点26分，星期一再证充分性存在，且2022/9/1522第22页，共26页，2022年，5月20日，9点26分，星期一定理3：证明思路：反证法。假设f(x)在a,b上无界， 则至少在一个子区间上无界，所以黎曼 和式无界，与和式极限存在相矛盾.定理2：其中振幅2022/9/1523第23页，共26页，2022年，5月20日，9点26分，星期一二、可积函数类定理1：定理3：定理2：2022/9/1524第24页，共26页，2022年，5月20日，9点26分，星期一定理 1 的证明 :2022/