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文档简介

1、例析线段和差倍分问题的求解策略 在几何问题中，要证明一条线段是另外几条线段的和差，或是另一线段的几倍或几分之几，我们统称为线段的和差倍分问题，处理这类问题的指导思想是化归为线段的相等问题本文举例说明几种常见的求解策略 一、利用全等形或相似形 对于线段的倍分问题，通常可利用图形中特殊的分点为解题的突破口，找出图形中较短线段的倍分线段，再用全等三角形证明它与较长线段相等，或围绕特殊分点对应线段所在三角形寻找相似三角形，利用相似形对应线段的比例关系达到求证的目的 例1 如图1，在ABC中，ABBC，BEAC于点E，ADBC于点D，BAD45，AD与BE交于点F，连CF (1)求证：BF2AE；(2)

2、若CD，求AD的长分析 由图形的对称性，不难发现点E为AC的中点，即AC2AE，故问题(1)只要证明BFAC (2)略 例2如图2，点A、B、C、D在O上，ACBD于点E，过点O作OFBC于点F(1)求证：AEBOFC；(2)AD2OF 二、取长补短法 对于线段的和差问题，通常采用延长较短线段或截取较长线段的方式，化归为线段的相等问题（俗称取长补短法） 例3 如图3，已知点A、B、C、D顺次在O上，且ABBD，BMAC于点M，求证：AMCDCM 证明（延长法） 延长DC至点N，使CNCM，下面只要证明AMDN即可连BN，则由ABBD，得 ACBADBBADBCN，又CNCM，BC为公共边， 例

3、4 如图4，在菱形ABCD中，F为BC边的中点，DF与对角线AC交于点M，过点M作MECD于点E，12 (1)若CE1，求BC的长； (2)求证：AMDFME 解 (1)略；(2)证法1（截取法）如图4，连BD交AC于点O，分别证明AODF，OMME即可 证法2（延长法） 如图5，延长DF至点N，使FNME，只要证AMDN即可连CN、MB同证法1可得BCD为正三角形，M是正BCD的中心 三、几何变换法 用几何变换法证明线段的和差倍分问题，实质上是利用几何变换将线段移动，使较短线段在适当的位置进行“集中”，使隐含的数量关系明显化，从而达到证明的目的 例5 如图6，O外接于正方形ABCD，P为劣弧AD上任意一点，求证：恒为定值，并求出此定值证明 当P与A重合时，易知；一般情况下，可将ABP绕点B顺时针旋转90，得CBQ，则 综上，无论P为劣弧AD上哪一点，恒为定值，得证 例6 如图7，在四边形ABCD中，ABCD，E为BC边的中点，F在DC边的延长线上，且BAEEAF，求证：AB

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