中考数学满分之路（五）-瓜豆原理

1、第 页中考数学满分之路（五） 瓜豆原理引例 在平面直角坐标系中，过点B作直线BCx轴，点P是直线BC上的一个动点，以AP为边在AP右侧作RtAPQ，使APQ90，且，连接AB，BQ，则ABQ的周长的最小值为_.当我们对本题进行初步分析后，能较容易将“求ABQ周长的最小值”转化为求“AQBQ的最小值*，其中A，B为定点，Q为动点”，进而联想到“河-岸”模型，从而问题的关键转化为“求点Q如何运动”。*注：有同学已经知道，此处可将AQBQ打包转换出去，容易求解，后面会进一步说明。所谓瓜豆原理，是我们在考虑一个动点如何运动时的一种思考方向。观察下列图形中动点Q如何运动？并尝试推广（比如：点Q在线段OP

2、上且，点Q如何运动？点Q在OP的延长线上，OQ2OP，点Q如何运动？）。点O为定点，点P在定直线l上运动，点Q为线段OP的中点，点Q如何运动？ 点O为定点，点P在定圆M上运动，点Q为线段OP的中点，点Q如何运动？以下讨论的均为OQ在OP绕点Q顺时针旋转的方向。点O为定点，点P在定直线l（定圆M）上运动，OQOP，且，则点Q如何运动？ 点O为定点，OQOP，且，若点P的运动路径为英文单词path，则点Q的运动路径什么？点O为定点，POQ且，点P在定直线l（定圆M）上运动，OQOP，则点Q如何运动？ 瓜豆原理 若点O为定点，POQ为定角，为定值k，则点Q与点P的运动路径相同.需注意的是OQ始终在O

3、P绕点O顺时针旋转的方向上（或OQ始终在OP绕点O顺时针旋转的方向上），即线段OQ是由OP旋转放缩得来的.引例 在平面直角坐标系中，过点B作直线BCx轴，点P是直线BC上的一个动点，以AP为边在AP右侧作RtAPQ，使APQ90，且，连接AB，BQ，则ABQ的周长的最小值为_.当我们对本题进行初步分析后，能较容易将“求ABQ周长的最小值”转化为求“AQBQ的最小值*，其中A，B为定点，Q为动点”，进而联想到“河-岸”模型，从而问题的关键转化为“求点Q如何运动”。*注：有同学已经知道，此处可将AQBQ打包转换出去，容易求解，后面会进一步说明。点Q如何运动？点A为定点，PAQ60，AQ2AP，点P

4、在定直线BC上运动，则点Q在某条直线上运动. 至于在哪条直线上运动，需要抓住题目中不变的信息，即点A到直线BC的距离不变. 具体的处理方式如下：如图，过A作AMBC于点M，作MANPAQ60，AN在AM绕点A顺时针旋转60的方向上，射线AN交直线BC于点N，有AMNAPQ，进而ANQAMP，所以ANQAMP90，所以点Q在过点N且与AN垂直的直线上运动.方法小结 作出垂线段，构造旋转相似.到此，会发现其实原题早已经给我们做好了一组旋转相似，连接OP，根据ABQAOP，将AQBQ整体转化为2(APOP)，容易求解.反思 思路要灵活，不要固守于某个方法. 平时也要多积累各种作法.“Most peo

5、ple are trained in one model-economics and try to solve all problems in one way. You know the old saying: To the man with a hammer, the world looks like a nail. This is a dumb way of handling problems.”Charles T. Munger Poor Charlies Almanack那么，点P在定圆上运动时，我们又该如何确定点Q在哪个定圆上运动呢？解决问题的关键仍然在于：抓住题目中不变的信息，具体

6、如下：如图，点O为定点，点P在定圆M上运动，点Q为线段OP的中点，点Q如何运动？如图，点O为定点，点P在定圆M上运动，OQOP且，点Q如何运动？ 这两个问题中，始终不变的是两个定点间的距离即OM的长度以及M的半径即MP的长度.对于，连接MP，OM，取OM的中点N，连接NQ，有，点Q在以N为圆心，NQ为半径的圆上运动.对于，如图，连接MP，OM，过O作OM的垂线，在垂线上取，有ONQOMP，相似比为1:2，点Q在以N为圆心，NQ为半径的圆上运动.注意，若OQ在OP绕点O顺时针旋转90方向上，则ON在OM绕点O顺时针旋转90方向上.方法小结 连接定点，定半径，构造中位线或旋转相似. 核心为“抓住不

7、变的信息”.1. 在ABC中，边BC上的高为1，点D为AC的中点，则BD的最小值为_.2. 如图，在ABCD中，对角线BD10，点E是线段BC上的一动点，连接DE，过点D作DPDE，在射线DP上取点F，使得DFEDBC，连接CF，则DCF周长的最小值为_.3. 如图，在等腰RtABC中，点P 在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点. 当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是_.4. 如图，在RtABC中，ACB90，AC8，BC6，点D是以A为圆心，4为半径的圆上的一动点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值为_.5. 如图，在RtAOB中，O为坐标原点，若点A在反比例函数（）的图象上运动，则点B在某个函数的图象上运动，这个函数的解析式为_.（请写出自变量的取值范围）6. 如图，点在线段上，点，在同侧，,点为线段上的动点，连接，作，交直线与点，当点从点运动到的中点时,线段的中点所经过的路径（线段）长为_.7. 正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边EFG，连接CG，则CG的最小值为_.8. 矩形ABCD中，AB6，BC9，E在