数值分析课后习题与解答

1、课后习题解答第一章绪论习题一1设x0,x*的相对误差为5,求f(x)=lnX的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有噫)=1验)-验*)1尹必吧I加|殳血)已矢口x*的相对误差殳满足,而3=R=工*)=庄3=R=工*)=庄M*J，故曲曲-曲)丨工一切|JU瓦-JU%严1%|-|$、瓦*1一2_1一2即殳切=国石丈p2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。咒=门0刃*=0P釘近=氈0丸解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得记有5位有效数字，其误差限曲汽討,相对误差限)yxJO-+辽

2、有2位有效数字，咤)莘1从家)晋8茫有5位有效数字，曲)畤3下列公式如何才比较准确？刃解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。2)()打匸半爭=亦阿2)()打匸半爭=亦阿(!4+1)-丸匚网4G+汽)4近似数x*=0.0310,是G+汽)5计算住-几取住自z,利用：】式计算误差最小。邓+几G+y弘四个选项：4汽吨第二、三章插值与函数逼近习题二、三1.给定)=严的数值表puX-O&IQShl-OQ&3I-02I0S3Q-032QQA2X04020Q0A用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值并

3、应用误差估计(5.8)。线性插值时,用0.5及0.6两点,用Newton插值0Q-02十-o-m+_0.gJOS5Q+0d3m(o-N-cmow0Q-02|ytI|xxOOtxOoe=O008，故慘O)|斗戒|ytI|xxOOtxOoe=O008，故二次插值时，用05,0.6,0.7三点，作二次Newton插值P0卫寸自一0慫0刃3+MCT2OEOY(0N-03)(0N-0Q)=-0e303Id+(-Jst0820)x00 x(-00Q)=-0QJQ83d差W|yK3b-O2)(工-W|yK3b-O2)(工-OE)(工-OA)I1.uW=y1K3_nrgx=IQ，故|y3()|yxJQx00

4、x00ex0Je000J03st2.在-4WxW4上给出07的等距节点函数表，若用二次插值法求沁的近似值，要使误差不超过山函数表的步长h应取多少?解：用误差估计式（5.8）,只令工円Y卫+丁下=Y-工円円=壬一或Y+I=W+毕因y|mm时T)l=|扛jo_q得毕川是E0JW0P個3.若0=气+备+器+J，求気右和和心（片.解：由均差与导数关系回宀卜汽代=+3+J1PCi)W=o于是刘芬弓心尸讥卞，瓦=04.若參）=护）=住-住-归）住-必互异，求钳时如7的值，这里pWn+1.解：但）=鉀r（w）=oXo丁呵，由均差对称性上弄+1（卫；商计5珥F可知当E夺有wn而当P=n+1时于是得3會严=家何

5、）屈+于是得3會严=家何）屈+3=吕需=15.5.求证解：解：只要按差分定义直接展开得6.已知0=沪的函数表003013403023023II00030030020求出三次Newton均差插值多项式，计算f(023)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表020O23TT310030OT10QA0丁肌00030030-23IOOTSOOSOQA030O3079TOOQi000紺朗笑二砂再笑三砂牺笑由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400 x(x-0.2)(x-0.3)由此可得f(0

6、.23)N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得|Y3(033)|=计如曲1曲。立曲丸由于鼻时时外00丸W00齐皿|Y3(033)|05st35x0_Q给定f（x）=cosx的函数表3100000ObbSOOOSSOOA说2対0&3I0QOSAA2S0323001030304020Q用Newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表osqso777777777-O0233-OOOSAG-O0498O000oasioe-O00930oooooa-ooassO00092-O0000TO0223-O00S22OOOOIO-OOSAO

7、O00032-O00003oasooi-oooasoOOOOTS-oOHaaO00013oaaeoo-oooaaa-O00200T000000施(zA)V摆（氏X）（也代）v(aA)计算叫胁p胁讪干他,用n=4得Newton前插公式汀+叫一皿一叫顷赢T毗而7T亍朴硕訓刃弋外=辱）=丫+虞点+玮迩一j）+寻侬一j）您一+说办包一j）化一化一m）误差估计由公式（5.17）得刃（008）|寻隐-1）（*一5）（*-9（5-寸）忆可卫附2xJ0_i其中亦=|snj00=OK?计算込02弐时用Newton后插公式(5.18)卫*一02幺厂-03=08323-03寸x-00233+0eex=08323-0

8、3寸x-00233+0eex0000+5OOOOOdJ；-0008+1eQXuqeo卫狀吕垃(苏+誉)=鑿+应氏+侬+j)+爭”述+1)僱+s)+諾y侬+】)+恥+3)误差估计由公式(5.19)得F(ovee)|丈話檢+D代+恥+沁+对)|鬟门0削xJO-i这里用仍为0.565求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足KoMXoMXiMXO=iX3)=i解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造山刃使它满足=0帝八J)=J,显然声二工山-刃,再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由p(2)=l求出A=,于是気(刃=答3工+辛住_J)j=辛七令为八宁炸W汐称为第二类

9、Chebyshev多项式，试求寸的表达式，并证明门是T,l上带权昭=仁的正交多项式序列。解：因計（工）=込3+1）虹皿空EIU(S3+j)31CCO2YEIU(S3+j)31CCO2Y用最小二乘法求一个形如人=戏+沬的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.I&0333A33込glb32313S寸寸解：本题给出拟合曲线山汽，即，故法方程系数3-03-0兽二）=!，=汕寸（E玉）=为性卅二茨症jv3-03-0W畑）=5；=2鉴丫W佃）=性=厶羽餵逊3-0W弊）=工烤（）=2法方程为卫芬厶戏+迫M磁=艾3鉴JVV+333?=314解得戏=0小伽了?=0020032J最小二乘拟合曲线为二=0小伽

10、2+0炖任宀均方程为4)4)|就=|卜|；_曾玉o玉)=crowo11填空题满足条件Ka)=iXO=bXOX3)=3的插值多项式p(x)=().如皿+2,则f1,2,3,4=(),fl,2,3,4,5=().设眦円丁兀京为互异节点，为对应的四次插值基函数，则和J(),=().设r=0是区间0,1上权函数为p(x)=x的最高项系数为1的正交多项式序列，其中弊“,贝讥曲=(),*=()11)(2)W兀切壮JY丁代=o3-03-0为灯=o送(先+别二葺+第4章数值积分与数值微分习题4分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分.解本题只要根据复合梯形公式（6.11）及复合Simpson公式

11、（6.13）直接计算即可。对，取n二8,在分点处计算f（x）的值构造函数表。按式（6.11）求出A?=0JJJst03st，按式（6.13）求得嘗=寸，卩寸+6积分用Simpson公式求积分IJ甲，并估计误差解：直接用Simpson公式（6.7）得I：出（J+护仝+=0Q3323由（6.8）式估计误差，因、afg=j，故沖、|（J80VJ80JQ确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度仃）1；鼻邨出说+肌）+乱（2）护自VIr（-P）+N（O）+V（v）(3)1(3)1；（刃爭出W-卩）+E（0）解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的

12、参数。(1)令鼻訂曽叮込代入公式两端并使其相等，得F+姑+F+姑+G=J解此方程组得亍厂飞亍，于是有；(巧|(0)+ve訓再令得Z心旳严亍飞故求积公式具有3次代数精确度。(2)令訂心孑代入公式两端使其相等，得亍(一快+%=*拠TW+卄診审忙一毕)+即毕=o-V1审忙一毕)+即毕=o-V1+V=0vT+V+V=:仏声二討(-佚+阳=o而对=3不准确成立，故求积公式具有3次代数精确度。(3)令入w耳代入公式精确成立，得一闷+曲=0一闷+曲=0解得，討宀丹，得求积公式0=l；N呼主+龙毕）J=_扌料故求积公式具有2次代数精确度。计算积分一1”呻，若用复合Simpson公式要使误差不超过討.，问区间目

13、要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间。勺应分为多少等分?解：由Simpson公式余项及（刃=加1*0心得=YXJ0hm）k号（孚）蠢呵即宝n说,取n=6,即区间0勺分为12等分可使误差不对梯形公式同样蠶綢爲自，由余项公式得|Ysm|y（）yxj0_；即兔壬6）八10严汽小叫咒寸取n=255才更使复合梯形公式误差不超过亍U5.取=3解：本题只要对积分1宀泓使用Romberg算法（6.20）,计算到K=3,结果如下表所示。取=33oessays0633131OQOSTSOO63313030692410oeasiaeoeasissI0阳oeasaaa0oesaao于是积分号卜心心汕

14、,积分准确值为0.713272用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.I；宁抨于是解：本题直接应用三点Gauss公式计算即可。由于区间为句，所以先做变换莎+于是自#託x（j山養迫弄阴閃痂+（Jcr邛寸？迫）皿畑）+o懿强费J=cnj亞昂本题精确值二吕-汁0J838J838用三点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分解：本题直接用Gauss-Chebyshev求积公式计算55)即于是因n=2，即为二点公式，于是即于是因n=2，即为二点公式，于是即曲=C02-即曲=C02-存弋弱+J卜U2故8.试确定常数A,B,C，及a,使求积公式零乂-戏)+0(0)+鼐戏)有尽可能咼的代数精

15、确度，并指出所得求积公式的代数精确度是多少.它是否为Gauss型的求积公式?解：本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足的方程，令(”込对公式精确成立，得到込勺+戏Q=0V33汪冯+汪宀=疋_列+阻二；艸=0习+m+u=*工二寸由(2)(4)得A=C，这两个方程不独立。故可令2)=容，得由（5）解得y睫y吒，代入（1）得“佥则有求积公式公式精确成立，故求积公式具有5次代数精确度。三点求积公式最高代数精确度为5次，故它是Gauss型的。第五章解线性方程组的直接法习题五1.用Gauss消去法求解下列方程组.y1+曲+时=呂0+左工+?并=g*丁+yY3+yY3=解本题是Gauss消去法解具体方程组，

16、只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。0=-eO(-t+y)=Aed3故曲=-JNxJ23=-nAe&2.用列主元消去法求解方程组并求出2.用列主元消去法求解方程组并求出系数矩阵A系数矩阵A的行列式detA的值解：先选列主元,2行与1行交换得0消元-J8-J23行与2行交换消元0消元-J8-J23行与2行交换消元回代得解行列式得回代得解行列式得qef=-qq3.用Doolittle3.用Doolittle分解法求解.解：由矩阵乘法得解：由矩阵乘法得再由求得玉=（孑円*j科）丄由跑=玉解得=(-S3A081e3S1-Jed)下述矩阵能否作Doolittle分解，若能分解，分解式是否唯一?能分

17、解，寸A23能分解，寸A23QJ23寸J通=33J9=32J2I33.JJJ.3e.若A步分解后，z=捫二捫=计=寸0+0，相互矛盾，故A不能分解,对B,显然护=护=0，但护wo，若A中1行与对B,显然护=护=0，但它仍可分解为分解不唯一，评为一任意常数，且U奇异。C可分解，且唯e3J-G=sJJ3j_jse_用追赶法解三对角方程组Ax=b,其中00000-J300-J3-J00-J3-J0飞=0-J3-J0003-J000.丄解：用解对三角方程组的追赶法公式（3.1.2）和（3.1.3）计算得(7777Y=CI3777T=丈戏2=d寸？E吐斗宀4与転斗-寸S3-寸S3-寸J0用平方根法解方程

18、组解：用皆分解直接算得由卩=中及2=玉求得玉=(JFE)Jx=(f寸Sb7.设工7.设工E爲，证明iHrH3riwr即忖F耀，另一方面WO-3JS0-02WO-3JS0-02=班+睥+VE窝站蟲也=班+睥+VE窝站蟲也故悴|8OJoe03T计算A的行范数，列范数及F-范数和2范数解：KIP=解：KIP=j丁hll1=o韻K=血二cwWO-3JS0-02WO-3JS0-02WO-3JS0-02WO-3JS0-02故HI3=翌过=083829.设啊为珀上任一种范数，廣盼覚是非奇异的，定义忖“珂，证明NMI_T|t证明：根据矩阵算子定义和定义，得1111I剧卞血胡令人八工，因P非奇异，故x与y为一对

19、一，于是WO-3JS0-02WO-3JS0-02WO-3JS0-02WO-3JS0-0210求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计-JAd討。曲_卜-JAd討。曲_卜竝-3Jdr=bl，艮即中WO-3JS0-02WO-3JS0-02WO-3JS0-02WO-3JS0-02解：记-JAd5寸-JAd5寸0勺=0V0頤=则审*的解2（才汎，而氏+頤）（工+爭）=?的解0+警）=（眦L而II頤二0而II頤二0公恫-11頤=03Q0J3由（3.12）的误差估计得0t3d88JK_IMP0t3d88|1-3|210表明估计nr=略大，是符合实际的。是非题（若是在末尾（）填+,不是填-）：题目中1）

20、若1）若A对称正定严,则闻叽是色上的一种向量范数2）2）定义是一种范数矩阵定义卅目吩几是一种范数矩阵4）只要护m,则A总可分解为A=LU,其中L4）三角阵，U为非奇上三角阵（5）只要护m，则总可用列主元消去法求得方程组申*的解（）（6）若A对称正定，则A可分解为芯，其中L为对角元素为正的下三角阵()对任何时g都有恫、怵列划1()若A为正交矩阵丘沖(巧=()答案：(1)()(2)()(3)()(4)()(5)()(6)()(7)()(8)()第六章解线性方程组的迭代法习题六,Q用E,证明对于任意的矩阵A,序列1可亍兄了亍收敛于零矩阵解：由于忆k凤而饗阳erF0rF0亍兀百讯）二亍G-冏衬+列的）

21、飞=0丁百网吕+%）-瘪）取=。0叫，迭代到18次有仪皿）“如小J0f珀崗二（m说说浹乌说说駅T说说3）工GS迭代法计算公式为取）二（-寸00002取）二（-寸00002说逊宪000001ik）-Y（0）irJ，解此方程组的GS法不收敛。0戏JV=PJOP5设hoa0,detAH0,用b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收敛的充分必要条件.解J法迭代矩阵为0-f0-f00I*JOJOJOJO0坞耳One)=第TJOJO00T0W=Wz20J00z20、-,n)(缎P3p-30020戏畀3PJ00JO3PpJ00V由斫囲“得GS法收敛得充要条件是卜恥顽6.用SOR方法解方程组（分别取3=103,

22、s=l,s=l.1）-曲+3=-3_0+寸工_工总=寸$0-曲=J精确解IP，要求当帆）宀叫时迭代终止，并对每一个3值确定迭代次数解：用SOR方法解此方程组的迭代公式为弘=J列瘪）+秒（一？+轧M=o丁*%）=J列+秒（卄弘+j）+唏）斗网=（时珞）+舟（j+咚）取工=（0。叽,当=J03时，迭代5次达到要求七）=（00000羽丁000000匸-CW迪说紀k若取山门，迭代6次得%=（CQ000CG2O说逾观yCQ0000037.对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度，并求J法与GS法的渐近收敛速度.若要使k-)ir“Jg那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次?解：J法的迭代矩阵为f

23、=03=寸0f=03=寸00寸0寸1刑(邀_)=寸00J,故5戸亍住,因A为对称正定三对角阵,最优松弛因子J+t-J0333J法收敛速度K(B)=-PW)=-pAy由于mg，故K巧=_卩E)=寸00J若要求l%TK-%就5=小九，于是迭代次数药述_密对字岀_U门寸应習J03d2i3_.对于J法2弋厂w,取K=15锹亍心沢寸对于GS法尸干二苗药沁亦,取K=8以gT)丁寸ooj_对于SOR法八话二昴ME,取K=5填空题00叫要使霍恐=0应满足()03SJ門F03SJ已知方程组匕JH=kl,则解此方程组的已知方程组匕Jacobi迭代法是否收敛()它的渐近收敛速度R(B)=()_jjv(3)设方程组Ax=b,其中其J法的迭代矩阵是()GS法的迭代矩阵是()用GS法解方程组b+曲,其中a为实数,方法收敛的充要条件是a满足()(5)给定方程组匕jlp(5)给定方程组匕jlp3lp,a为实数当a满足(),且0VsV2时SOR迭代法收敛.答:卜口J法是收敛的，K凶=(-円陀)=卩0皆0曲习题七1.用二分法求方程的正根，使误差小于0.05解使用二分法先要确定有根区间心。本题f(x)=x2-x-l=0,