非线性方程求根方法

1、非线性方程求根方法第1页，共35页，2022年，5月20日，3点40分，星期四预备知识1. Taylor公式拉格朗日余项：第2页，共35页，2022年，5月20日，3点40分，星期四2. 拉格朗日中值定理预备知识若f(x)在a, b上连续，且f(x)在(a, b)内可导，则存在xa, b，使：或第3页，共35页，2022年，5月20日，3点40分，星期四设函数f(x)在区间a, b上连续，在(a, b)内可导，则f(x)在a, b上单调递增(递减)的充要条件是3. 函数的单调性预备知识第4页，共35页，2022年，5月20日，3点40分，星期四方程的一般形式：f(x)=0 ，满足方程的x值通常

2、叫做方程的根或解，也叫函数f(x)的零点。 实际问题 代数方程5次以上的方程无求根公式 超越方程：包含超越函数，如 sinx, lnx, ex近似求解第七章 非线性方程求根方法第5页，共35页，2022年，5月20日，3点40分，星期四 求根的隔根区间 ，即确定根所在区间 根的精确化。粗糙的近似值-满足精度的近似值 方程求根步骤：第七章 非线性方程求根方法第6页，共35页，2022年，5月20日，3点40分，星期四求根的隔根区间设函数f(x)在a, b内连续，严格单调，且有f(a)f(b)0，则在a, b内方程f(x)=0有且仅有一个实根。 函数y=f(x)与横轴(y=0)交点区间a, b内选

3、择x1, x2, x3, x4 ，根据f(x)在这些 点上值的符号确定 第七章 非线性方程求根方法第7页，共35页，2022年，5月20日，3点40分，星期四例1：考察方程 注意到 f (0)0，知f (x)至少有一个正的实根。 设从x = 0出发，取h = 0.5为步长向右进行根的扫描，列表记录各个结点上函数值的符号。 x00.51.01.5f (x) 的符号第七章 非线性方程求根方法第8页，共35页，2022年，5月20日，3点40分，星期四7.1 方程求根的二分法二分法也称对分区间法、对分法等，是最简单的求根方法，属于区间法求根类型。 设函数f(x)在a, b内连续，严格单调，且有f(a

4、)f(b)0，则在a, b内方程f(x)=0有且仅有一个实根。 第9页，共35页，2022年，5月20日，3点40分，星期四用二分法求f(x) =0的根：先将a,b等分为两个小区间，用介值定理判断根属于哪个小区间，保留有根区间、舍去无根区间；把有根区间再次一分为二，进一步判断根属于哪个更小的区间，如此周而复始，不断缩小隔根区间的长度.实际中只需求出满足精度要求的根的近似值、进行有限步计算即可。第10页，共35页，2022年，5月20日，3点40分，星期四第11页，共35页，2022年，5月20日，3点40分，星期四误差估计（定理7.2）对于所给定的精度 ，则可得7.1 方程求根的二分法第12页

5、，共35页，2022年，5月20日，3点40分，星期四例： 求方程 在区间1, 1.5内的实根, 要求计算的近似根准确到小数点后第2位.7.1 方程求根的二分法用二分法，a = 1, b = 1.5， 且f (a) 0。取区间a, b的中点x0 = 1.25将区间二等分，由于f (x0) 0， 即f (x0)与f (a)同号，故所求的根必在x0的右侧，这里应令a1 = x0 = 1.25，b1 = b = 1.5，而得到新的有根区间（a1, b1）。对区间（a1, b1）再用中点x1 = 1.375二分，并进行根的隔离，重复步骤2，直到所求根满足精度。 第13页，共35页，2022年，5月20

6、日，3点40分，星期四kakbkxkf (xk)的符号011.51.25-11.251.51.375+21.251.3751.3125-31.31251.3751.3438+41.31251.34381.3281+51.31251.32811.3203-61.32031.32811.3242-7.1 方程求根的二分法预先估计一下二分的次数：第14页，共35页，2022年，5月20日，3点40分，星期四基本思想：逐次逼近粗糙的初值校正后的近似值迭代公式END满足精度不满足精度7.2 简单迭代法第15页，共35页，2022年，5月20日，3点40分，星期四 迭代公式7.2 简单迭代法 迭代函数选取

7、方程的某一近似根可得序列 xk: x0, x1, x2, x3, 且当k时,序列xk有极限x*,则x*是方程f(x)=0的根如果g(x)是连续函数迭代序列xk收敛，则迭代法收敛；反之，则发散第16页，共35页，2022年，5月20日，3点40分，星期四用迭代法求下列方程在区间2, 4的根。取x0 =4，则收敛7.2 简单迭代法第17页，共35页，2022年，5月20日，3点40分，星期四取x0 =4，则发散7.2 简单迭代法迭代法收敛的充分条件以及迭代序列的误差估计由定理7.3表述(P98)：第18页，共35页，2022年，5月20日，3点40分，星期四若迭代函数 g(x) 满足两个条件 对任

8、意 xa, b，都有ag(x) b； 区间a, b上g(x)存在，且|g(x)| L 1; 则有如下结论：对任意x0 a, b，迭代格式xk+1 = g(xk)产生的迭代序列都收敛于方程x=g(x)在区间a, b上的唯一实根 x*； 定理2.1证明过程(P100-101)如下:第19页，共35页，2022年，5月20日，3点40分，星期四第20页，共35页，2022年，5月20日，3点40分，星期四第21页，共35页，2022年，5月20日，3点40分，星期四区间2, 4第22页，共35页，2022年，5月20日，3点40分，星期四几何意义7.2 简单迭代法第23页，共35页，2022年，5月

9、20日，3点40分，星期四y2=g(x)y2=g(x)第24页，共35页，2022年，5月20日，3点40分，星期四7.3 牛顿迭代法和割线法牛顿迭代公式第25页，共35页，2022年，5月20日，3点40分，星期四局部收敛性设方程 x = g(x)有根x，且在 x* 的某个领域 S = x | x x* - d, x* + d内存在一阶连续导数，则 当|g(x*) |1时，迭代格式xk+1 = g(xk)发散 7.3 牛顿迭代法和割线法第26页，共35页，2022年，5月20日，3点40分，星期四牛顿迭代法的局部收敛性7.3 牛顿迭代法和割线法第27页，共35页，2022年，5月20日，3点

10、40分，星期四例 用牛顿迭代法求 （c 0）f (x) = 2x，迭代公式为7.3 牛顿迭代法和割线法设 f(x) = x2 - c，（x 0）则 就是f (x) =0的正根。 第28页，共35页，2022年，5月20日，3点40分，星期四例：用以上公式求7.3 牛顿迭代法和割线法2.000000 2.5000002.7500002.6250002.6875002.6562502.6406252.6484382.6445312.6464842.6455082.6459962.6457522.6456302.6456912.6457212.6457372.6457442.6457482.6457

11、502.6457512.6457511.0000004.0000002.8750002.6548912.6457672.6457512.645751牛顿迭代法二分法3.0000002.6666672.6458332.6457512.645751第29页，共35页，2022年，5月20日，3点40分，星期四几何意义第30页，共35页，2022年，5月20日，3点40分，星期四x2x0 x1x*牛顿迭代法x3y=f(x)第31页，共35页，2022年，5月20日，3点40分，星期四7.3 牛顿迭代法和割线法第32页，共35页，2022年，5月20日，3点40分，星期四例：用割线法求方程x3-x-1=0在x = 1.5附近的根，使绝对误差精确到10-4。 7.3 牛顿迭代法和割线法取初值x0 = 1.5，x1 = 1.4，得迭代格式 x2 = 1.33522x3 = 1.32541x4 = 1.32472x5 =