观测平差教案

1、测量平差教案 PAGE 1第一章绪论第一节 观测误差一、观测值中为什么存在观测误差？观测条件对观测成果产生影响，不可避免产生观测误差。有观测就有误差的结论。判断：有观测就有误差。因为真值不可得，所以真误差不可得。只要测量方法得当，测量条件足够好， 误差是可以避免的。多余观测值可以控制和减小测量误差。测量误差可能由多项误差源组合产生，误差不可避免指测量中的每一项误差都无法避免。选择：观测条件是指：观测者、观测仪器和外界条件。（被观测量的真值大小） 二、观测误差的计算给出观测误差计算的纯量表达式和矩阵表达式。判断：观测误差=观测值-观测值对应观测量的真值；改正数=观测值-观测值对应观测量的估计值；

2、观测误差改正数；因为观测量的估计值近似于观测量的真值，所以观测误差接近于改正数。三、观测误差的分类及其处理1、分类给出误差分类的表达式，粗差、系统误差和偶然误差的定义。结合测角、测距和水准测量的全过程， 让学生分析哪些因素引起的误差属于粗差，那些哪些因素引起的误差属于系统误差，那些哪些因素引起的误差属于偶然误差。2、处理总结粗差、系统误差和偶然误差的处理方法，让学生举例说明测量上哪些操作是为了消除系统误差影响的，那些计算改正为了消除系统误差影响的。判断：粗差是一种观测误差；粗差属于观测错误，粗差可以避免；粗差属于观测误差，因为误差不可避免，所以粗差不能避免；观测误差分为偶然误差、系统误差和粗差

3、。选择：水准测量中哪些误差属于系统误差(读数误差、i 角测量误差、尺垫使用不当导致的测量误差、水准尺刻化误差、因地球曲率导致的测量误差、因水准器未按规定整平带来的误差、仪器对中误差)水平角测量中哪些误差属于偶然误差（读数误差、仪器整平误差、2C 误差、目镜视差、仪器对中误差）距离测量中属于粗差的是（定线误差、垂曲误差、读数误差、拉力误差、温度测量误差、零尺端误判）问答：举例说明 3 项垂直角测量中的偶然误差；偶然误差的特性是什么？系统误差的特性是什么？测量平差教案 PAGE 4四、测量平差的任务根据一系列含有观测误差的观测值求待定量的最佳估值。第二节测量平差学科的研究对象研究对象为含有观测误差

4、的各类观测值。举例说明。第三节测量平差的简史和发展一、测量平差理论的发展、经典平差理论的发展主要介绍高斯创立最小二乘原理和马尔可夫创立高斯-马尔可夫平差模型的历史背景和过程。、近代平差理论的发展主要介绍二十世纪四十年代以后出现的近代平差理论，结合导线网平差和我国南极考察、建站，重点介绍方差分量估计和秩亏网平差的理论、方法及其用途。二、平差计算方法的发展、手算阶段 、半自动平差阶段、全自动平差阶段第四节测量平差的任务和内容一、任务讲授测量平差的基本理论和基本方法，为进一步学习和研究测量平差打下深入的基础。二、内容课本各章的内容。小结：本节介绍了观测条件的定义，观测条件与观测误差的关系，观测误差的

5、定义、处理，以及测量平差的发展概况。第二章误差分布与精度指标第一节 正态分布一、一维正态分布绘一维正态分布图，列出分布函数，讲解，强调两个分布参数的含义。二、n 维正态分布讲解绘 n 维正态分布图，列出分布函数，讲解，强调两个分布参数的含义。第二节偶然误差的规律性一、偶然误差分布1、描述误差分布的三种方法列表法（通过实例列表讲解）绘图法（通过实例绘图讲解）密度函数法（通过实例绘图讲解）二、偶然误差的分布特性(1) 在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值。（界限性）(2) 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大。（小误差占优性）(3) 绝对值相等的正负误差出现的概率相等。（

6、对称性）三、两个重要概念由偶然误差的界限性，可以依据观测条件来确定误差限值(2) 由偶然误差的对称性知观测量的期望值就是其真值。小结：偶然误差有其统计规律，研究偶然误差的分布规律是为了更好的研究偶然误差的处理问题。第三节衡量精度的指标；第四节精度、准确度与精确度；第五节测量不确定度一、精密度指标（一）观测量的精密度指标1、观测条件与精密度配合误差分布曲线讲解精密度的定义和观测条件与精密度的关系。2、几种常用的精密度指标（1）方差与标准差推导相应公式，给出其估值公式，讲解应用实例极限误差分析误差出现在某一范围内的概率的大小，给出极限误差定义公式相对误差给出相对精度的定义，用实例讲解其应用范围。平

7、均误差与或然误差给出平均误差和或然误差的定义，讲解其在国际上应用的范围和地区，以及其与中误差的关系。（二）观测向量的精度指标1、n 维随机向量的方差阵导出 n 维随机向量的方差阵表达形式，指出该阵是对称矩阵，并讲解矩阵中各元素的含义，同时给出当 n 维随机向量中各随机变量不相关时的矩阵形式。2、两随机向量的互协方差阵导出两个随机向量互协方差阵表达形式，并讲解矩阵中各元素的含义，同时给出当维随机向量不相关时的矩阵形式。二、准确度和精确度指标分别给出准确度和精确度的定义，及其数值指标，绘图讲解其几何意义。三、测量不确定度给出测量数据的不确定性、不确定度的概念，可测不确定度的计算方法，不可测不确定度

8、的估计方法。小结：精度指标分为精密度指标、准确度指标和精确度指标三种，观测成果的质量应用精确度指标衡量，精密度指标中的方差、极限误差、相对误差几个指标应重点掌握。第三章协方差传播律及权第一节数学期望的传播律E(C) C;E(CX ) CE ( X );E( X1 X 2 X n ) E( X1 ) E( X 2 ) E( X n );当 Xi 相互独立时（i=1,2, ,n）,E( X1 , X 2 , X n ) E( X1 )E( X 2 )E( X n )第二节协方差传播律协方差传播律是观测值(向量)与其函数(向量)之间精度传递的规律。误差的传递1、线性函数误差的传递Y f1 x1 f

9、2 x2 . f n xn f 01Y f1 xf 2 x . f n x2n推导上述公式，讲解式中符号的含义2、非线性函数误差的传递2nY f x1x2.xn 1Y f1 xf 2 x . f n x测量平差教案 PAGE 9推导上述公式，讲解式中符号的含义3、函数向量误差的传递Y=FX+F0 Y=F(X) Y=FX讲解式中符号的含义，强调矩阵表达式与纯量表达式之间的相互表式二、协方差的传递1、基本公式函数向量其误差向量为则随机向量与其函数向量间的方差传递公式为DYY=F(X)Z=K(X)Y=FX Z=KXX F D FT DZ K DXKT T DYZDZYF DX K T K DX F

10、证明第一、第三式，并说明同理可证二、四式。2 独立观测量函数的方差传递YX11221n 2 F D FT f 2 2 f 2 2 . f 2 2讲解式中符号的含义，说明公式应用的条件，强调公式的重要性。3、分块向量函数向量的方差传递 X Z t,1 t r,1 Y r,1 X DDXY D t , tt , rDDZYXX r , tr , r证明上式，对阵中元素加以说明，给出两向量不相关时该矩阵的形式。通过五个典型例题的讲解说明方差-协方差传播公式的应用方法和计算中需注意的问题。小结：协方差传播律是观测值(向量)与其函数(向量)之间精度传递的规律，用其解决观测值函数（向量）的精度评定问题。本

11、节重点是利用协方差传播律解题的方法和步骤，以及只有一个观测值函数，且观测值之间不相关时的协方差传播公式的应用。第三节 协方差传播律的应用1、水准测量的精度绘制具有 N 个测站的水准高差示意图，应用协方差传播公式导出高差中误差计算公式： h N站进一步导出 S 公里观测高差的中误差计算公式：h Skm举例说明公式的应用。2、同精度独立观测值的算数平均值的精度由算术平均值公式，应用协方差传播公式导出其中误差计算公式N x 举例说明公式的应用。3、若干独立误差的联合影响 z 1 2 n 2 2 2 2Z12n即观测结果的方差，等于各独立误差所对应的方差之和。4、平面控制点的点位精度绘支导线略图，求未

12、知点点位中误差，用两种方法求解。解法一：、列函数式线性化应用协方差传播公式计算坐标方差计算点位方差解法二：利用纵向方差和横向方差进行计算。小结：本节的重点内容为水准测量高差和同精度独立观测算数平均值的精度计算问题，应熟记计算公式，能熟练应用公式进行相关计算。第四节 权与定权的常用方法一、权的定义权是衡量各观测值在平差结果中应起作用大小的数值。 02Pi 2 ii 1,2,., n0Pi 为观测值 Li 的权， 2 是可以任意选定的比例常数。观测值的权与观测值的方差成反比。二、单位权方差权的作用是衡量观测值的相对精度，称其为相对精度指标。确定一组权时，只能用同一个0， 令i=0，则得:20Pi

13、2i220 10上式说明 2 是单位权(权为 1)观测值的方差，简称为单位权方差。凡是方差等于 2 的观测值，其权000必等于 1。权为 1 的观测值，称为单位权观测值。无论 2 取何值，权之间的比例关系不变。举例（例1、例2）讲解。三、测量中常用的定权方法1、水准测量的权、用测站数定权（山地、起伏较大的丘陵）利用用测站数计算高差中误差的公式和权的定义式导出利用测站数定权的公式。CPh N解释式中符号的含义。、用路线长度定权（平地）利用用路线长度计算高差中误差的公式和权的定义式导出利用路线长度定权的公式。CPh S解释式中符号的含义。举例（例3、例4、例5）讲解。 2、距离量测的权距离长度可通

14、过钢尺丈量或测距仪测距得到。下面分别讨论两种情况下的定权方法。钢尺量距的权解释式中符号的含义。CPS S测距仪测距的权20PS 2S S 标称S 106标称解释式中符号的含义。3、等精度观测算术平均值的权利用等精度独立观测值算术平均值的方差计算公式和权的定义式导出利用观测次数定权的公式nSP C说明公式中符号的含义。小结：权是用来衡量观测成果的相对精度的，单位权方差可以根据计算方便任意选定，但观测值之间的比例关系不变。水准测量的权与测站数或路线长度成反比；钢尺量测的权与距离长度成反比，光电测距的权用定义式计算，其中测距方差由固定误差和比例误差两项组成；等精度算术平均值的权与观测次数成正比。应熟

15、记定权公式，明确公式中各符号的含义，掌握利用公式解题的方法。第五节 协因数和协因数传播律i一、协因数定义协因数权可表示为2Q 0iii2 1/ pi 1,2,.,n方差和标准差可表式为Pi 1 QiiQii i 0ii i 02 二、协因数阵1、n 维随机向量 X 的协因数阵定义互协因数：2 Q ,2Qij ij 0利用方差协方差与协因数弧协因数的关系导出协因数阵Q QQ.Q Q 1 D11 12Q.221n 2 nX2X0对称. Q nn 上式矩阵中，Qij Qji 。当Qij=0(ij)时，则 Xi 和Xj 互不相关。2、分块向量的协因数阵Z X Y QQ XQ XY XQYXQY 式中，

16、QX、QY 分别为 X、Y 向量的自协因数阵，而 QXY、QYX 分别为 X 向量关于 Y 向量的互协因数阵，QXY 与QYX 互为转置。当 QXY 等于零时，表示 X、Y 互不相关。三、权阵QQ.Q 1 PP. P QQ 11121n 11121n P Q1 Q21.222n P21P22.P2n . .QQn1m2. Qnn Pn1Pn2.Pnn 观测值的权一般要通过对权阵求逆得到协因数阵，再利用权与协因数的倒数关系求权。当权阵为对角阵时， Pi Pii 。举例（例1、例2）讲解、分析四协因数传播律将协方差传播公式乘以1 ，并顾及QY 201 DY20， QX 1，即可得到观测向量 X 与

17、其函数向量D2X0Y、Z 之间的协因数传播公式。列出相应公式，以及只有一个函数，且观测值之间不相关时的协因数传播公式。举例（例3、例4）讲解、分析小结：权与协因数互为倒数关系，权阵与协因数阵互为逆阵关系，一般情况下给了观测值的权阵求观测值的权要先求权阵的逆阵得到其协因数阵，再利用权与协因数的关系求权；协因数传播律与协方差传播律公式相仿，只记住其中一套公式，再记住协因数阵与协方差阵的关系即可。第六节 由真误差计算中误差及其实际应用一、利用不同精度的真误差计算单位权中误差的基本公式P n利用协因数传播律导出利用不同精度的真误差计算单位权中误差的基本公式0测量平差教案 PAGE 11二、由真误差计算

18、中误差的实际应用1、由三角形闭合差计算测角中误差WW 3n利用协因数传播律导出由三角形闭合差计算测角中误差的公式 说明公式的不严密性。2、利用双观测列之差求中误差求单位权中误差P dd2n利用协因数传播律导出利用双观测列之差求单位权中误差的公式不等精度观测等精度观测0 dd2n0 说明公式中符号的含义。1Pi求双观测列单次观测的中误差 Li Li 0求双观测列平均值的中误差利用协因数传播律导出相应公式不等精度观测 Li12Pi 0等精度观测2L1_ 0i水准测量双观测平差应用例题小结：本节重点是利用双观测之差计算中误差的公式及其应用，该公式在测量中应用广泛，应重点掌握。第七节系统误差的传播一、

19、观测值的系统误差与综合误差的方差1、观测值的系统误差偏差导出偏差表达公式2、观测值的综合误差方差可靠性如果系统误差部分是偶然中误差部分的三分之一或更小时，则可将系统误差的影响忽略不计。二、系统误差的传播导出传播公式三、系统误差与偶然误差的联合传播导出传播公式小结：了解系统误差的传播规律。第四章 平差数学模型与最小二乘原理第一节测量平差概述一、测量控制网简介高程控制网(水准网或三角高程网) 包括闭合水准网和符合水准网。绘出三组不同网形的水准网。网中元素：已知高程点，未知高程点和观测高差。平面控制网三角网根据观测量的不同,三角网分为测角三角网、测边三角网和边角同测三角网。1)测角三角网包括独立三角

20、网和符合三角网。绘出一组不同网形的三角网。网中元素：已知点，未知点和观测角度。2)测边三角网包括独立测边网和符合测边网。绘出一组不同网形的测边网。网中元素：已知点，未知点和观测边长。边角三角网包括独立边角网和符合边角网。绘出一组不同网形的边角网。网中元素：已知点，未知点，观测角度和边长。测量平差教案 PAGE 16导线网包括独立导线网和符合导线网。绘出一组不同网形的边角网。网中元素：已知点，未知点，观测角度和边长。还有三维网、GPS 控制网、航测控制网、工程专用网等将在后续相应课程中介绍。二、必要起算数据确定几何（物理）图形的位置所必须具有的已知数据水准网（三角高程网）：一个已知点高程测站平差

21、：一个已知方位测角网：一个已知点坐标，一个相邻已知方位，一个相邻已知边长或两个相邻点坐标。测边网和边角网：一个已知点坐标，一个相邻已知方位。各种控制网中少于等于必要起算数据的控制网成为独立网，多于必要起算数据的控制网成为非独立网或附合网。三、必要观测及其数目的确定确定几何、物理模型的形状、大小所必须进行的观测称为必要观测，其符号用符号 t 表示。高程网：t=p-q-1测站平差：t=p-q-1必要起算数据测角网：t=2p-q-4测边网和边角网：t=2p-q-3P:总点数或总方向数（测站平差）；q：多余起算数据数必要起算数据之外的起算数据四、多余观测及其数目的确定必要观测之外的观测称为多余观测，其

22、数目用符号 r 表示多余观测数观测总数必要观测数（r=n-t）五、必要观测和多余观测数目计算练习计算图 3-1 至图 3-7 的必要观测数和多余观测数。小结：本节介绍了测量控制网的类型，和各类控制网中应具备的必要起算元素，必要观测元素，应重点掌握必要观测元素数和多余观测元素数的计算。第二节函数模型1、条件平差法2、间接（参数）平差法F L 0r ,1L F X 3、附有参数的条件平差法n,1 t ,1 4、附有限制条件的间接（参数）平差法 F L, X0c,1 L F X n,1 u ,1 用简单控制网图形举例说明。 X 0 s,1第三节函数模型的线性化设FLXF , 用泰勒公式导出 F 的线

23、性形式为c,1 n,1 u ,1 F F L, X 0 A Bx根据上述函数模型线性化过程，可将各种平差方法的函数模型线性化1、 条件平差法A W 0式中A 2、间接平差法，W FFLLL Bx l式中B 3、附有参数的条件平差法， lL FXX 0F X 0 ，A Bx W 0式中W F L, X 0 ，4、附有限制条件的间接平差法 Bx l cx Wx 0式中c s,u，Wx XX 0 X 0第四节测量平差的数学模型1、各种平差方法的随机模型D 2 Q 2 P 12、各种平差方法的数学模型n,n0 n,n0 n,n各种平差方法函数模型的线性形式分别与平差的随机模型联立，即为相应平差方法的数

24、学模型。小结：本次课所讲的各种平差方法的函数模型均能建立各观测值之间的函数关系式，正确建立这种关系式，是正确求得观测值最可靠结果的前提。第五节 参数估计与最小二乘原理一、引例已知平面三角形三内角应满足或L1L2 1800 0L31 2 3 W 0式中W 1800 L L L111上方程中有三个未知数，是相容方程，只能在某一准则下求得式中未知数的估值。二、最小二乘准则: T D1 min顾及方差阵与权阵的关系，并用的估值 V 代替又可得 V T PV min观测量真值向量的估值公式为：L L V式中 L 称为观测向量的“最或然值”向量或“观测值的平差值”向量；V 称为改正数向量。三、最小二乘估计

25、根据最小二乘准则进行的估计称为最小二乘估计，按此准则求得一组估值的过程，称为最小二乘平差， 由此而得到的一组估值是满足方程的唯一解。如果方差阵 D 和权阵 P 是非对角阵，则表示观测值是相关的，按此准则进行的平差即称为相关观测平差。如果是对角阵，则表示观测值是彼此不相关的，此时称为独立观测平差。n当观测值不相关，即 P 为对角阵时，则有 V T PV P V 2 P V 2 P V 2 . P V 2 mini 1ii1122nnn当观测值不相关, 并为等精度,即 P=I 时, 则有: V T V V 2 V 2 V 2 .V 2 mini12ni 1小结：最小二乘原理是测量平差的基本原理，按

26、最小二乘准则求得的观测量及其函数的结果是最可靠的结果，后续所讲所有平差方法均按此准则求解。第五章条件平差第一节条件平差原理一、条件方程和改正数条件方程列出用观测值真值和真误差表示的条件平差函数模型导出用按最小二乘准则求得的观测值平差值和观测值改正数表示的条件平差的函数模型F Lr ,1 0 条件方程r ,1AV W 0 改正数条件方程r ,n n,1r ,1W F L改正数条件方程常数项（闭合差）计算式举例（单三角形函数模型的建立）二、条件方程的纯量表达式和矩阵表达式r个条件方程的纯量表达式：F L , L2 , Ln 011F L , L2 , Ln 021 Fr L , L2 , Ln 0

27、线性化后得改正数条件方程11122a v a v anvn wa 0b v b v b v w 0 1 12 2n nbr v r v rnvn wr 0 1 12 2其中11wa F L , L2 , Ln w F L , L , L b212n wr Fr L , L2 , Ln 1令aa2an w v 1bb1b w 1v A 12n , W 2 ,V 2 r ,1 n,1 rrr w v 12n r n 则改正数条件方程及其闭合差计算的矩阵表达式分别为AV W 0W F L三、基础方程按求函数极值的拉格朗日乘数法，设其乘数为 K kar ,1kb krT ，称为联系数向量。组成函数 V

28、 T PV 2K T AV W ， 对其求导整理得改正数V 的计算公式V P 1 AT K QA T K 改正数方程当P为对角阵时，改正数方程的纯量形式为pivi 1 ai ka bikb ri kr ,i 1,2, n改正数条件方程与改正数方程联立，称为条件平差的基础方程。此时，方程的个数与未知数的个数相同，方程有唯一解。四、基础方程的解将改正数方程代入改正数条件方程，得AQA T K W 0 ，令aaN AQA T AP 1 AT ，得Naa K W 0 联系数法方程aaaa秩 RN R AQA T RA r , 即 N是个r阶的满秩方阵，由此解出aaK N 1W当P为对角阵时，法方程的纯

29、量形式为papbpraaa k ab k ar k w 0ab k bb k br k w 0papbprbrpapbprar k br k rr kw 0解出K，将其代入改正数方程，求出改正数V，在按 L L V 可求得平差值。五、条件平差步骤及示例测量平差教案 PAGE 19用具有两个条件的符合水准网为例讲解。小结：本节应熟记条件方程，改正数条件方程，改正数条件方程闭合差计算式，法方程，改正数方程的表达形式，掌握用条件平差法平差的方法、步骤。第二节条件方程一、水准网（同5.1中所述,略） 二、测角网单三角形（同5.1中所述，略）中心多边形以中心三边形为例，画出示意图，列出其条件方程和改正数

30、条件方程的一般表达式。重点讲解极条件的列立方法和规律。举例（中心三边形实例）列条件方程和改正数条件方程。3、大地四边形画出示意图，列出其条件方程和改正数条件方程的表达式。重点讲解极条件的列立方法和规律。举例上图中，若以对角线交点为极列极条件，其极条件闭合差超限，说明角度观测存在问题，如何返工？先让让学生回答，然后教师讲解。三、测边网1.中心多边形画出测边中心三边形示意图。列出以反算角表示的条件方程和改正数条件方程建立反算角改正数与边改正数之间的关系导出以边改正数表示的条件方程2.大地四边形画出测边大地四边形示意图。列出以反算角表示的条件方程和改正数条件方程建立反算角改正数与边改正数之间的关系导

31、出以边改正数表示的条件方程四、边角网如图，t=2p-q-3=8-3-3=2,r=n-t=8-2=6应列出6个条件方程条件分析：内角和条件2个正弦条件2 个固定角条件1 个规定边条件1 个边角网条件方程列立例题讲解分析。小结：条件方程列立，首先应能正确确定应列的条件数目，保证方程之间不相关，其次应能分析条件类型，最后应掌握各类方程的列立规律，正确列出条件方程。第三节精度评定一、单位权方差估值计算0 2V T PVrV T PV 的计算：1、V T PVP V 2 P V 2 P V 2 权阵为对角阵时1 12 2n naa2、V T PV (QA T K )T P(QA T K ) K T AQ

32、PQA T K K T N K3、V T PV V T P(QA T K ) V T AT K W T K二、协因数阵设Z T LTW TK TV TLT列出各分块向量解的表达式及其微分式，利用协因数传播律导出各量的协因数阵和各量之间的互协因数阵的结果列于相应表中表中 L 与V、W、K的互协因数阵为零，说明 L 与V、W、K统计不相关证明：表中QVV 、QLL 的计算表达式。三、观测值平差值的精度评定D 2QLL0LL四、平差值函数的精度评定 1平差值函数表达式及其协因数计算列出平差值函数表达式f（L ，L ，, L ）12n按泰勒公式展开，并按协因数传播律导出平差值函数协因数的计算公式Q f

33、 T Qf AQf T N 1 AQfaafi（i=1,2,n）为偏导数值。2权函数式d f dL f dL f dL L 1 L 2 L n1 LL2 LLn LL122f1dL f dL fndLn 权函数式3平差值函数的方差D 2Q0 小结:本节主要介绍了利用改正数计算单位权中误差的公式，各种平差量协因数和互协因数及方差协方差的计算，平差值函数式和权函数式的列立方法，平差值函数协因数和互协因数及方差协方差的计算方法，应重点掌握。第六章 附有参数的条件平差一、概述测量平差教案 PAGE 21设 X ABD，又可列出 1 个极条件和一个固定边条件sin sin sin 极条件为（以 A 点为

34、极）：L5L7XL6 1sin L9 X sin L6 L8 sin L5sin sin 固定边条件为（由 AC 边推算到 AB 边）： SAB SACL2 sin L3L6L8Xsin 或Ssin sin ACL2L6 L8 1SAB sin L3 sin X由于选了一个参数，增加了一个条件，一般情况下，若选了 u 个参数，则条件方程的数目为 c=r+u. 从以上 5 个方程出发进行平差，就是附有参数的条件平差方法。二、基础方程观测量 L 和 X 的最佳估值 L L V ， X X 0 x ，用奇表示的附有参数的条件平差函数模型为F L, X 0 条件方程r ,1r ,1或AV B x W

35、0 改正数条件方程c,n n,1 c,u u ,1c,1W F L, X 0改正数条件方程常数项（闭合差）计算式按求函数极值的拉格朗日乘数法，设其乘数为 K kar ,1kb krT ，称为联系数向量。组成函数 V T PV 2K T AV Bx W ，将 对V 和 x 分别求一阶导数，并令其为零，导出改正数V 的计算公式V P 1 AT K QA T K 改正数方程附有参数的条件平差的基础方程为：AV B x W 0c,n n,1 c,u u ,1c,1V P 1 AT K QA T KBT K 0方程的个数与未知数的个数相同，方程有唯一解。三、基础方程的解aa将改正数方程代入改正数条件方程

36、，并令 N AQA T AP 1 AT ，则得法方程Naa K Bx W 0BT K 0法方程秩 RN R AQA T RA c ，即 N是个 c 阶的满秩方阵，顾及 N BT N 1 B由法方程aaaabbaa，可解出x N 1BT N 1W ,bbaaaaV QA T N 1 W Bx，四、精度评定（一）、单位权方差估值计算0 2V T PVV T PVrc - uV T PV 的计算：1、V T PVP V 2 P V 2 P V 2 权阵为对角阵时1 12 2n n2、V T PV (QA T K )T PV K T AV K TW K T Bx W T K3、V T PV W T K

37、 W T N 1W W T N 1 Bx W T N 1W BT N 1WT xaaaaaaaa（二）、协因数阵设Z T LTW TX TK TV TLT列出各分块向量解的表达式及其微分式，利用协因数传播律导出各量的协因数阵和各量之间的互协因数阵的结果列于相应表中证明：表中Q XX 、QVV 的计算表达式。（三）、观测值平差值的精度评定D 2QLL0LLDXX 2Q0XX（四）、平差值函数的精度评定设 L,X对其全微分，得权函数式：测量平差教案 PAGE 27d dL dX F T dL F T dXLXx式中F T LLL 12n F T xxxx 12n 按协因数传播律得 的协因数为：Q

38、F TF T QLLQLX F x QQF F T QF F T QXLFXX F T Qx F F T QF 的中误差为：LLLX xxXLxXX x 0Q小结：掌握此种平差方法的应用范围，平差的方法步骤。第七章间接平差第一节间接平差原理一、平差值方程与误差方程观测量 L 和 X 的最佳故值 L L V ， X X 0 x ，用平差值和改正数表示间接平差的函数模型为L F X 平差值方程（观测方程）n,1r ,1V B x l 误差方程n,1n,t t ,1 n,1l L F X 0 误差方程常数项（闭合差）计算式以测角单三角形为例，列出平差值方程和误差方程。二、方程的纯量表达式与矩阵表达式

39、设有n个条件方程：1112L F X , X , X n L2 F2 X1 , X 2 , X n 12n Ln FnX , X , X线性化后得误差方程为v a xb x t xt l 11 1v a x1 2b x1 t x1l 22 12 22 t2 vn an x1其中bn x2 tn xt ln l L F X 0 , X 0 , X 0 11112tl L F X 0 , X 0 , X 0 22212t l L F X 0 , X 0 , X 0 nnn12t 令abt111lv abt l v 11B 222 , l 2 ,V 2 abt l v 则误差方程的矩阵表达式为 nn

40、n n n V Bx l误差方程常数项（闭合差）计算式的矩阵表达式为l L F X 0三、基础方程误差方程中未知数个数（n+t）大于方程个数n，方程有无穷多组解。根据最小二程原理可求得满足方程的唯一一组解。求VTPV的自由极值得基础方程四、基础方程的解将基础方程第一式代入第二式，令 NVBx lBT PV0bbBT PB ， WBT Pl ，得法方程Nbb x W0法方程解上方程得：bbxN 1W当P为对角阵时，法方程的纯量形式为paax1 pabx2 patxt palpabx1 pbbx2 pbtxt pbl patx1 pbtx2 pttxt ptl 五、按间接平差法求平差值的计算步骤及

41、示例用水准网例题讲解平差的方法步骤。小结：本节应熟记观测方程，误差方程，误差方程常数项计算式，法方程的表达形式，掌握用间接平差法平差的方法、步骤。第二节误差方程一、参数个数的确定与选取参数个数：等于必要观测数t ；参数选取：水准网一般选择未知点高程为参数，也可选择观测高差为参数；平面控制网一般选择未知点坐标为参数，也可选择观测角度等为参数。参数选择要求：足数；参数间线性无关。二、平差值方程及误差方程的列立1、观测高差平差值方程及误差方程的列立例1，以具有两个未知点的符合水准网为例讲解2、观测方向平差值方程及其误差方程的列立设X X jYjX KYjTK计算参数近似值X0 X 0000 TYXY

42、jkk平差值方程：L jk Z j jk Z j arctgY YkjX k X j Z j 0 z j jk 0 JKjkjkjjjkJK LV Z 0 z 0 JK V jk z j l jk 其中jkjjkjk l Z 0 0 L 常数项计算式kj 0 arctgY 0 Y 0jk jkX 0 X 0 jkYj jkX k jkYkkjxyxyJK Xj j X X 0j X X 0k X X 0kX X 0 0YJKx0 X JKy0SYJKx 0SX JKySS0 2jJK0 2jJK0 2kJK0 2kJKjk sin 0 x cos 0jky sin 0jkx cos 0jkkk

43、yS0jS0jS0S0JKJKJKJK则观测方向的误差方程为： 0 00 00 0v zYJK xX JKyYJK xX JKy lSjkj或0 2jJKSJK0 2j2kSJK2kjkSJKjkjjkjjkjjk kjk kjkv z ax by ax by lajk、bjk称j、k方向的方向系数，对于任一方向jm有：jmjjmjjmjjm kjm kjmv z ax by ax by l坐标近似值的计算：可用支导线法、前方交会法等方法计算。定向角近似值的计算：Z 0 0 L ,i 1,2, njijijijjZ 0 0 L n j误差方程列立规律：符号；系数；特殊情况； T TJKKJ单位

44、：坐标改正数为厘米时系数除100，.。3、观测角度平差值方程及其误差方程的列立平差值方程：误差方程：00L ijhjkJKJKjhjkJhJKVi liijhjkil 0 0 L例2，以固定角内插一点得测角网为例讲解方程列立及求平差值的方法、步骤。4、观测边长平差值方程及其误差方程的列立j设： X XYjX kYTk平差值方程：X X2kjYY2kjiSi Vs isi S 0 其中siSiX j X X 0 x jy j SiYjX X 0X X 0 xkSiYkykX X 0SiX k0 X JKxYJKy0X JKxYJKy00jkkS 0S 0jS 0S 0jkjkjkjk误差方程：V

45、 0X JKx00YJKy X JKxYJKy lSS0Si0jjk0j0k0kijkjkjkSS cosT jk 0 x j sin T jk 0 y j cosT jk 0 xk sin T jk 0 yk li常数项：iiiil S S 0 S X 0 X 0 2 y 0 y 0 2 单 位 cm 或 dmkjkj例3，以中心三边形内差一点的测边网为例讲解求未知点坐标的方法、步骤。小结：观测方程和误差方程的列立，首先应能正确确定应选参数数目，保证所选参数之间线形无关， 其次应能掌握各类方程的列立规律，正确列出相应观测方程和误差方程。第三节 精度评定一、单位权方差估值计算0 2V T PV

46、rV T PV 的计算：1122nnV T PVP V 2 P V 2 P V 2 权阵为对角阵时V T PV Bx l T PV xT BT PV l T PV l T PBx l 顾及BT PV0 l T Pl l T PBx l T Pl BT Pl T x3、在线性方程组解算表中计算二、协因数阵与互协因数阵 设： L E0 xN 1BT PN 1BT PZ bbL bbF( X 0 )V BN 1BT P E BN 1BT P E bbbb L BN 1 BT P BN 1BT P E bbbb按协因数传播导出各量的协因数阵和各量之间的互协因数阵的结果列于各量的协因数阵和各量之间的互协

47、因数阵表中L 与V和 x 与V的互协因数阵为零，说明 L 与V、 x 与V统计不相关证明表中Qxx ， QVV ， QLL 的计算表达式。三、参数的精度评定设所求量（如未知点高程或纵横坐标）为参数Xi，i=1，2，t，则测量平差教案 PAGE 30 2 2Q四、参数函数的精度计算X i0X i X i设参数函数为：（X）（X1，X 2， X t）1t线性化得权函数式为：d X XX1 0dXX 2X X 0dX 2X XX t 0dX1t122t由协因数传播律得： f dX f dX f dX F T dXXQ F T Q FD 2Q0 五、各种平差量权函数式的列立1、高差平差值如图设未知点高

48、程为参数，所求高差平差值的函数式为ih X jX k其权函数式为iddh dX jdX k若j、k为已知点，其dX 前的系数为零。2、方位平差值Y如图设未知点坐标为参数，所求方位平差值的函数式为k arctg YjXjkkX j求全微分得其权函数式为 Y 0 X 0 Y 0 X 0djkJKdXJKS 0 2 10JK dYJKJS 02 10jJKdXJKS 02 10JKJKkS 02 10dYK式中d jk 的单位为（）， dX 、dY 的单位为分米，若j、k为已知点，其dX 、dY 前的系数为零。3、角度平差值hjkj如图设未知点坐标为参数，所求角度平差值的函数式为L arctgY Y

49、arctgY YjhjkX hX jX kX j求全微分得其权函数式为 Y 0 Y 0 X 0 X 0d jhjk dX jh jk dYjk S 0 2 10S 0 2 10 j S 0 2 10S 0 2 10 jjhjkjhjk Y 0 X 0 Y 0 X 0jkjkS 0 2 10dX k jkjkS 0 2 10dYK jhjhS 0 2 10dX h jhjhS 0 2 10dYh式中d jk 的单位为（）， dX 、dY 的单位为分米，若j、k为已知点，其dX 、dY 前的系数为零。4、边长平差值如图设未知点坐标为参数，所求边长平差值的函数式为X X2kjYY2kjS jk求全微

50、分得其权函数式为X 0Y 0X 0Y 0jkdS jk jk dX S 0jjk dY0j Sjk dX S 0kdYkS 0jkjkjkjhjk式中dS 、 dX 、dY 的单位为分米，若j、k为已知点，其dX 、dY 前的系数为零。第八章 附有限制条件的间接平差一、概述如上图，选取 i、k 两点的坐标为未知数, 可列出 4 个平差值方程。由于选定的未知数个数（u）多于必要观测数（t）, 所以在所选定的未知数之间存在 s=u-t 个限制条件。X XKi2YKY2i即Y YSik 0arctgKiX K X i jk 0把上列两式线性化得jkKcos 0 xjkKsin 0 ycos 0 xj

51、kKKsin 0 y w1 0jka jk xK b jk yK a jk xK b jk yK w2 0XX Y00200 2kjkjYw1 Sik Y 0 Y 0w2 jkarctgkiX 0 X 0ki二、基础方程已知附有参数的条件平差法的函数模型 L F X n,1 u ,1 其线性形式为 X 0 s,1 Bx l cx Wx 0其中l L F X 0Wx X 0测量平差教案 PAGE 32由于 n+sn+u,不能求得 和 x 的唯一解，只能按最小二乘原理求 和 x 的最佳故值 v 和 x ，从而求得观测量 L 和 X 的最佳故值 L 和 X ，即L L V X X 0 x为此，可用观

52、测值平差值和参数平差值表示附有参数的条件平差的函数模型，即L F X 平差值方程（观测方程）n,1r ,1 X 0 限制条件方程s,1或用观测值改正数和参数改正数表示附有限制条件的间接平差法的函数模型，即V B x l 误差方程n,1n,t t ,1 n,1Cx Wx 0 限制条件方程l L F X 0 误差方程常数项（闭合差）计算式xW X 0 限制条件方程常数项（闭合差）计算式1按求函数极值的拉格朗日乘数法，设其乘数为 K kS ,1k2ksT ，称为联系数向量。组成函数Sx V T PV 2K T Cx W ，将 对 x 求一阶导数，并令其为零，得 2V T P V2K T C 2V T

53、 PB 2K T C 0 ，转置得xxSSSBT PV CT K 0 ，上式与误差方程和限制条件方程联立得附有参数的条件平差的基础方程：SBT PV CT K 0V B x ln,1n,t t ,1 n,1Cx Wx 0方程的个数与未知数的个数相同，方程有唯一解。三、基础方程的解将基础方程的第二式代入第一式与第三式联立，得bbSN x CT K W 0 ，Cx Wx 0附有限制条件的间接平差法的法方程bb将法方程第一式左乘CN 1 与第二式相减，得bbSCN 1CT K CN 1W W 0bbx令 N cc CN 1CTbb则有TN cc KS CN 1W W 0bbccx式中 N的秩 R（

54、N）R（ CN 1CT ）R（C）S，且 N T CN 1CT CN 1CT ，故 N 为 sccbbccbbbbcc阶满秩对称方阵。SccbbxK N 1 CN 1W W将上式代入法方程第一式，可解得bbbbccbbbbccxx N 1 N 1CT N 1CN 1 W N 1CT N 1W ，代入误差方程可解出改正数 V，从而可解出：L L VX X 0 x四、精度评定（一）、单位权方差估值计算0V T PVV T PV2r n u sV T PV 的计算：1122nnV T PVP V 2 P V 2 P V 2 权阵为对角阵时SV T PV Bx l T PV xT BT PV l T

55、PVS xT CT K l T PBx l S l T Pl xT CT K l T PBx顾及BT PV CT KxS l T Pl W T K W T x测量平差教案 PAGE 403、在线性方程组解算表中计算K（二）、协因数阵与互协因数阵令 ： ZT LTWTTX TV TLTS列出各分块向量解的表达式及其微分式，利用协因数传播律导出各量的协因数阵和各量之间的互协因数阵的结果列于相应表中，讲解。（三）、参数的精度评定设所求量（如未知点高程或纵横坐标）为参数 Xi,i=1,2,t,则 2 2Q（四）、参数函数的精度计算Xi0Xi Xi设参数函数为：（X）（X1，X 2， X t）线性化得权

56、函数式为：d X XX1 0dXX 2X X 0dX 2X XX t 0dX1t122t1t f dX f dX f dX F T dX由协因数传播律得：XQ F T Q FD 2Q0 Q0小结：掌握此种平差方法的应用范围，平差的方法步骤。第九章误差椭圆9.1 概述；9.2 点位误差一、点位误差的概念及计算1、点位真误差如图可得：2 2 2 ,2 2 2 ，PxyPSu无法求得（为什么?） 2、点位方差及其计算由方差的定义式可得：xx 2E（xEx）2 E（xx）2 E（xx）2 E（ 2）yy 2E（yEy）2 E（yy）2 E（yy）2 E（ 2）故有E（ 2）E（ 2）E（ 2） 2 2

57、Pxyxy同理有：E（ 2）E（2）E（ 2） 2 2p记 2E（PP2），则有：suSu 2 2 2 2 2点位方差计算式PxysuP上式说明点位方差2 的大小与坐标轴的方向无关,即与坐标系的选择无关。用点位方差衡量 P 点精度的缺陷：不能完善说明 P 点在任一各方向上的精度情况，不能确定 P 点在哪一个方向上的精度最好（最差）。二、P 点在任意方向上的位差由图可得下列关系式: PP PP P P cosx sin y cossin xy由协方差传播律得: 2 2 cos2 2 sin 2 2 sin 2xyxy或 2 2Q0 0 x 2 Qcos2 Qsin 2 Qsin 2yxy上式即为

58、求任意方位角方向上点位方差的计算公式。三、位差的极值方向、极大值和极小值的确定P0由位差计算式可以看出, 随着值的变化而改变，其具有最大值和最小值。函数有极值，其一阶导数等于零，设位差的极值方向为 ,求导得出0tg22Qxy0将 代入位差计算式得:Qx Qy00 x 2 2 (Qcos2 Qysin 2 Qxysin 20 )000 x0 2 (Qcos2 Qysin 2 Qxy2tg0 1 tg 200极值方向的判别方法:Qxy 0，极大值在第、象限 ，极小值方向在第、象限； Qxy 0，极大值在第、象限，极小值方向在第、象限位差极大值、极小值的计算：EF用 表示极大值方向、 90 0 表示

59、极小值方向；用 E、F 分别表示位差的极大值和极小值。e则有0 xE 2 2 (QEcos2 QyEsin 2 Qxysin 2E) 0 xF 2 2 (Qcos2 Qysin 2 Qxysin 2F)0FF把 代入位差计算式整理得E 2 1 2 (Q Q ) K 20 xy1F 2 2 (Q02xQy) K 其中Q Q2xy 4Q2xyK P 2 与E 2 、 F 2 有下面关系:P2 E 2 F 2四、用 E、F 表示的任意方向上的位差由图可知,任意方向在两个坐标系中的方位角有如下关系: EE把 代入位差计算式整理得: 2 E 2 cos2 F 2 sin 2 cm2 s2例 1 如图,在

60、固定三角形内插入一点 P,经过平差后求得 P 点坐标的协因数阵为: QxQxy 3.81 0.36Qy yxQ 0.362.93 单位权方差估值为 2 1.96 s2 。0试求(1) 位差的极值方向E 和F , (2) 位差的极大值 E 与极小值 F, (3) 已算出 PM 的方位角PM 75 29,PM 方向上的点位误差为多少, (4) P 点的点位方差。例 2如图, 已知xA 4578.67m,yA 3956.74m, 。ABT 34518为确定 P 点的位置,作如下观测: 891542 4.0,S 600.150m 10mm试确定 P 点位差的极大值及其方向。PAPA例 3在例 2 中,