2023届浙江省名校协作体高三上学期开学考试数学试题（解析版）

1、试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页第 Page * MergeFormat 19 页 共 NUMPAGES * MergeFormat 19 页2023届浙江省名校协作体高三上学期开学考试数学试题一、单选题1设，则（）ABCD【答案】C【分析】化简集合，再利用交集的定义求解.【详解】解：由题得或，所以.故选：C2已知为虚数单位，则在复平面上对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】A【分析】根据复数的除法运算化简，即可得对应点进行求解.【详解】由,所以在复平面对应的点为，在第一象限.故选：A3设命题，则的否定为（）ABCD【答案】C【分析

2、】利用全称命题的否定方法进行求解.【详解】因为命题，所以的否定为：.故选：C.4已知数列为递增数列，前项和，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】根据可求，要使为递增数列只需满足即可求解.【详解】当时，故可知当时，单调递增，故为递增数列只需满足，即故选：B5已知，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式的性质以及充分不必要条件的判断，即可求解.【详解】若时，则,因此，若时，比如，但不满足，因此“”是“”的充分不必要条件.故选：A6牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中为时间（单位：为环境温度，为物体初始温度

3、，为冷却后温度.假设在室内温度为的情况下，一杯饮料由降低到需要，则此饮料从降低到需要（）ABCD【答案】B【分析】根据已知条件，将已知数据代入即可求解，进而将，代入解析式中即可求解时间【详解】由题意可得，代入，解得，故，解得故当，时，将其代入得，解得，故选：B7已知分别为椭圆的左右焦点，过的直线与交于两点，若，则的离心率是（）ABCD【答案】D【分析】由已知，画出图像，根据，可令，然后表示出，然后利用椭圆定义找到与之间的关系，然后用分别表示出、，在中，利用勾股定理判定，然后在中，可表示出与之间的关系，从而求解离心率.【详解】由已知，可根据条件做出下图：因为，令，所以，由椭圆的定义可知，所以，所

4、以，由椭圆的定义可知，在中，所以,在中， ，所以所以.所以的离心率是.故选：D.8若不等式（其中为自然对数的底数，约为2.71828）对一切正实数都成立，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】B【分析】根据已知条件将式子变形为，构造函数，求导，利用导数求解单调性，进而可求最值进行求解.【详解】由得，记，由于，所以，故对一切正实数都成立等价于对都成立.，令在同一直角坐标系中画出的图象，由图可知：存在满足，且当时，即，当时，即，故在单调递减，在单调递增，故因为，故，由于，故，因此，解得，故选：B【点睛】本题考查了导数的应用，主要解决不等式恒成立问题，解决恒成立问题，可将问题等价转化，构造函数，利用

5、导数解决单调性，进而可通过求最值方式求参数的范围.二、多选题9已知函数，则（）A的图象可由函数的图象向右平移个单位B在上递减C的图象关于直线对称D当时，的取值范围是【答案】BCD【分析】根据辅助角公式得，进而结合三角函数的性质即可逐一求解.【详解】由得，对于A:向右平移得到，故错误；对于B:当时，故在上递减，B正确;对于C:,故是的对称轴；故C对；对于D：当时，当时，取最大值2，当时，取最小值，故值域为，D正确；故选：BCD10甲袋中有4个红球，4个白球和2个黑球；乙袋中有3个红球，3个白球和4个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以表示事件“取出的是红球”“取出的是白球”“取出的是黑球

6、”；再从乙袋中随机取出一球，以表示事件“取出的是红球”，则下列的结论中正确的是（）A事件是两两互斥的事件B事件与事件相互独立CD【答案】AC【分析】根据互斥事件和相互独立事件即可判断AB,由概率计算值即可判断CD.【详解】由题意可得，,事件是两两互斥的事件，故A正确，,故事件与事件不是相互独立,故B错误，故C选项正确，,故D错误，故选：AC11已知是定义在上的奇函数，当时，恒成立，则（）A在上单调递增B在上单调递减CD【答案】BC【分析】由已知，结合题意给的不等关系，两边同除得到，然后根据，即可判断与两者的大小，从而判断选项A，选项B由前面得到的不等关系，通过放缩，即可确定与的大小，从而确定函

7、数的单调性，选项C和选项D，可利用前面得到的不等式，令，带入，然后借助是奇函数进行变换即可完成判断.【详解】由已知，所以，即，因为，所以，所以，因为，所以，因为是定义在上的奇函数，所以，所以，所以，因为，所以在上单调递增，故选项A错误；因为，所以，所以，即，又因为，所以在上单调递减，选项B正确；因为时，恒成立，所以令，代入上式得，即，又因为是定义在上的奇函数，所以，所以，故选项C正确，选项D错误.故选：BC.12如图，矩形中，将沿直线翻折成，若为线段的点，满足，则在翻折过程中（点不在平面内），下面四个选项中正确的是（）A平面B点在某个圆上运动C存在某个位置，使D线段的长的取值范围是【答案】AB

8、D【分析】由已知，选项A，在上取一点，令，可通过面面平行的判定定理证明平面平面，从而证明平面；选项B，可通过,，借助余弦定理可知为定值，从而确定点的轨迹；选项C，可先假设成立，然后借助线面垂直的判定定理和性质定理得到，然后在中，利用勾股定理验证是否满足，即可做出判断；选项D，可通过点运行轨迹，分别找出最大值和最小值点，然后求解即可做出判断.【详解】如上图所示，在上取一点，令，连接，在矩形中，且，又因为，所以且，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为，所以，又因为平面，平面，所以平面，又因为且平面,所以平面平面，又因为平面,所以平面，选项A正确；由，,可得,由，可知，而

9、，由余弦定理可知，为定值，而为定点，故在以为圆心，为半径的圆上运动，故选项B正确；取的中点，连接、，在中，所以，假设成立，平面,所以平面，又因为平面，所以，而，在中，所以，故不成立，所以假设不成立，该选项C错误；在上取一点，令，在翻折过程中, 线段的最大值是与点重合，此时，线段的最小值是与点重合，此时，又因为点不在平面内，所以线段的长的取值范围是，选项D正确；故选：ABD.三、填空题13的展开式的二项式系数的和是_.（用数字作答）【答案】1024【分析】根据二项式定理的二项式系数和性质即可求解.【详解】由于，所以二项式系数的和为，故答案为：102414在中，若，则_.【答案】【分析】根据向量的

10、线性运算可用表示，根据数量积的运算律即可求解.【详解】,所以.故答案为：15如图，抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过点斜率为的直线与交于点在轴上方），则_.【答案】3【分析】根据题意可得直线方程，联立直线与抛物线方程可解坐标，进而根据两点间距离公式即可求解.【详解】由题意可知,直线方程为：，联立方程，解得，由于在轴上方,故可得，因此，故答案为：316已知实数满足，则的最小值是_.【答案】【分析】利用换元法，将问题转化为一元二次方程根的分布，即可求解.【详解】令则，由得，两边平方得，化简得：，令，则（）有正的实数根，因为当时，不成立，则满足：，且，即，且解得,当时，此时（）式的根为，即，故的最小

11、值为故答案为：bu四、解答题17已知的内角所对的边分别为，且满足.(1)求；(2)若为边的中点，求的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据余弦定理边角互化，即可求解.（2）根据余弦定理可求，由三角形中向量加法，由模长公式即可求解.【详解】(1)因为，由余弦定理得，化简得，所以，结合，得；(2)设，根据，解得(负根舍去)，又，所以.18已知数列的前项和为，且，数列为等差数列，且.(1)求与的通项公式；(2)记，求的前项和为.【答案】(1)，(2)【分析】（1）由已知，根据条件给的与的关系，令，递推作差得到与的关系，然后再令，验证与是否满足，最后利用给等比数列的定义证明数列为等比数列，然后直接

12、求解其通项公式，设出数列的公差，然后根据题意列方程解出公差和首项，即可利用等差数列通项公式完成求解；（2）将（1）问中数列与的通项公式带入到中，然后利用错位相减可直接进行求和.【详解】(1)时，又，所以是首项是1，公比是的等比数列，所以；设的公差为，则由，得 .(2)由（1）知，所以，所以.19为调查某小学学生的视力情况，随机抽取了该校150名学生（男生100人，女生50人），统计了他们的视力情况，结果如下：男生中有60人视力正常，女生中有40人视力正常.(1)是否有99%的把握认为视力正常与否与性别有关？(2)如果用这150名学生中，男生和女生视力正常的频率分别代替该校男生和女生视力正常的概

13、率，且每位学生视力正常与否相互独立，现从该校学生中随机抽取3人（2男1女），设随机变量表示“3人视力正常”的人数，试求的分布列和数学期望.附：.【答案】(1)没有的把握认为视力正常与性别有关(2)分布列答案见解析，数学期望：【分析】（1）根据题意，写出列联表，结合独立性检验的公式，可得答案；（2）由题意，可得此为离散型分布，利用其概率公式和分布律的定义，结合均值计算公式，可得答案.【详解】(1)由已知得150名学生男女视力正常与否的列联表为：视力正常视力不正常总计男生6040100女生401050总计10050150所以，所以没有的把握认为视力正常与性别有关.(2)由已知得该小学男女生视力正常

14、的概率分别为.的取值有，且，即的分布列为0123从而的均值.20如图，在三棱柱中，点为的中点.(1)求的长；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据线线垂直可证明平面,进而线面垂直得线线垂直，在直角三角形中，即可由勾股定理进行求解.（2）建立空间直角坐标系，根据向量运算求解平面法向量和直线方向向量，根据向量的夹角求线面角.【详解】(1)取中点，连.因为，所以，又平面,所以平面,因为，所以，所以.(2)以为原点，所在的直线为轴，如图建立直角坐标系，则，因为轴，故可设根据且可得因为，所以，因为，所以，故所以,设平面的法向量，所以所以，取，则，所以平面的法向量，设直线

15、与平面所成角为，则21如图，已知双曲线，经过点且斜率为的直线与交于两点，与的渐近线交于两点（从左至右的顺序依次为），其中.(1)若点是的中点，求的值；(2)求面积的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）联立直线与双曲线方程，根据点是的中点，列方程求解即可.（2）联立直线与双曲线方程，表示出的长，根据点到直线的距离公式表示出三角形的高，从而得到三角形面积表达式，即可求得结果.【详解】(1)设联立直线与双曲线方程，消去得，由韦达定理可知，联立直线与其中一条渐近线方程，解得即，同理可得，则，则可知的中点与中点重合.由于是的中点，所以，解得；(2)与联立，消去得由（1）知，.或由于，所以，又到直线的距离，所以整理得，令，则，当，即时，的最大值为2，所以的最小值为.22已知函数，其中为自然对数的底数，约为.(1)求函数的极小值；(2)若实数满足且，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用函数极值的定义及导数法求函数极值的步骤即可求解；（2）根据已知